保险精算练习题

1、1李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。解：（1）5000（1+410%）=7000（元） 4.33=7556.8（元） 5000（1+10%）（2） 2把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年末的存款累计额。 55=12385（元） （1+11%解：5000（1+8%） 3李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利11%下1990年1月1日的现值。（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。

2、-4=5934.51（元）1+11%） （1）10000（解：4=6274.22（元） 2）10000（1-11%（ 4假设1000元在半年后成为1200元，求 (2)(3)id。 i, ，(2)i(2)1000?(1?)?12004.?i0；所以 解： 2(2)i2)1?i?(1?44?0.i；所以 2(n)(m)di?1?mn(1?)?1?i?(1?d)?(1?) ； mn(3)d3?1(1?)?(1?i)(3?0.34335d ； 所以， 3 (n)(n)?id?id?。时，证明：5当 1?n(n)dd? 证明：，为因(n)(n)(n)(n)dddd012n323)(C)C1CC(1d(

3、1? nnnn nnnn(n)d1? )(ndd? 所以得到，；(n)?d ?423423 ?)?1C?1?C?()?C?()?(em?)(n )e(1?d?mm ；nnnmmmmm?)n(?)(1?d?m1?所以， m(n)?i (n)i)(nin1?1?i?)1?iln(1?)?ln(n? 即， nn? (n)i?n?(e?1)n 所以，? 434232?1?)C?e?1?C?()?()?C?(n? nnnmmmmm ?(n)?)?1?n(i1? n(n)?ii (n)(n)(n)iii)(ni)n22(n011?C?1?C?C?()?1?in1?1?i nnn ， nnnn)(nii?

4、所以， 6证明下列等式成立，并进行直观解释：maav?a? ；nnm?mmv?1n?nmmv1?vv?n?mv1?a?mm?va?va? imiin ，解：in?mn?mmmv?1?v?vma?ava? imnnm?所以， msva?a?nm?nm ；mv1?n?mv?1nmm?v?v?aa?m?vs im in?m ，解：，innmm?mvv?1?vma?a?vs imnm?n所以， mas?s?(1?i) nmm?n ；m1?i)(1?mnnm?)?i)?(11(1?i)?1(?i?smm?)1(?i(1?i)s? i ，解：miinmnmm?)1?i)1?(1?i?()(1?i?ms?(

5、1?i)as? imm?nn 所以，mai)1s?s?(?nnm?m。 解：（同上题）略。 岁退元，7某人今年30岁， 其计划每年初存300共存30年建立个人存款能从6020休开始每年年末得到固定金额，共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%，后 年为12%，求每年能取的养老金额。10101(1?i)(?11?i)?202021?(si)?1?i)ss?(1? 22 解：ii103020215?s59759.300? 30 60所以岁时存款有（元）sX?a?X=7774.122020由此知，（元） ，可得 从存入最后一笔款后的元建立职工奖励基金。年内每年存入银行5000208某单位在年起，每

6、年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续2第 8%，求每次能够提取的最大金额。下去。假设存款的利率为182?.?2288095000?sX?A?X7918304.X? 解：。所以（元）i20? 证明：9i a?a?a?s1n ；?nnnnivi1?v1?a?a ?inn证明： i)?(1i?1 a?as?s? 1n n?1 ，所以?n?e1? ?an ? ；?nn?n?ne)1?v?1(1?i1?)1?(e ?a?n ? ?n1e? ?sn ?。 ?nnn1i)e?(e)1?1(1? ?sn ? 证明： 1000增加到一次收付假设每年第一年收付200元，以后每隔一年增加收

7、付100元，10，求这一12%元时不在增加，并一直保持每年1000元的水平连续收付。假设年利率为 年金的现值。a?100a?100(Ia)?1000a?91?8a)(1?i?8?18 解：91?1000?v?4362)(?1001?i?100.94 ii 1依据生命表的基础填充下表： xlqpd xxxx 0.1 0.9 0 1000 100 (1/6) 1 (5/6) (900) (150) (0.2) 0.8 2 750 (150) (0.5) (600) (0.5) (300) 3 0.6 (180) 4 (0.4) 300 (1) 5 (0) (120) (120) 6 0 x)l?1

8、000(1?已知3. ，计算： x120qdlpl；， ，2030330302012025岁的人至少再活20，最多活25年的概率； 岁的概率。80岁的人均存活到25三个1200)?0l?1000(1?1000?l?1000(1?) 120 0120 解：；120251?1000?d?l?l? 343333 3120ll?l750203?0.q?50?p? 2030l 3020 ；9l2030ll?15045?q 25520 19l25l83380074646449.p?()?(?0) 255519l 25x?c44000?l)100000(l?35 x，求：， 4若x?c c的值； 生命表中的

9、最大年龄； 岁的概率；从出生存活到50 岁之间死亡的概率。15岁的人在405035c?44000)?l100000(c=90 35 。所以，解：35?cx?900l?100000()? x?90? ，所以，x?90l450?p? 05013l 0ll?25040?q? 15 10253l 。15 5证明并作直观解释： q?p?pxmxnnx? mn； l?lllx?n?x?x?nnmx?n?mq?p?p xx?xmnn mnlll证明： xxxq?p?qxn?xnxn ； l?llllx?nn?11x?nx?nx?x?n?q?p?q x?xxnn nllll证明： nxxxx?p?p?p。 n

10、nxx?n?mmxlllx?n?mx?nmx?n?p?pp? x?mx?nnxmnlll 证明：x?nxx 6证明： ?x?dt?llxx?x?tt0； ?x?dt?p1ttxx?； 0?)(?p?p? txtxxx?t?x ；?pp x?xxttt?t 。?x?dt?l?l?ll?l?l?xx?x?t?t?xx0?xx 证明：0l1?1?1?x?x?x?t?x?1?pldt?)?(dl?1dll? ?x?x?tttxxx?tx?xllll000x?txxx ；llDl?Dl?l?tx?tx?xxx?t?p() xt2lx?x?)l(xxDllDlDlDlxttxx?t?x?x?t? )(?(

11、?)?p? txxx?tlllllxxxx?xtlDlDll?t?x?txx?tx?t?p?)?p( xtx?ttxllll?t?x 。t?xxxx给出的生命表计分别在死亡均匀分布，死亡力恒定和鲍德希假设下，用课本附表17 算：?qq125140150 ；。5 342d98021.11625?q0?.00030575t1q?p? 251t25x解： 1595650.44l? 254 略。?17746l?7681l?40 ：，计算，8若4041 4 死亡均匀分布假设； 鲍德希假设；l?1000100?x 假设xq40?0.008409068? 11?t?q 解：；40 404?140 4?te?

12、p?xtl?41e?p?可令t?1, xl40?0.?008426834qx?0.008444573 11?(1?t)q40 。 x4q与n证明在鲍德希规律下，无关。 9x nx?1x)?s( ?s(x?n)?s(x?n?1)1 证明：q? x n?xx)s(qx n与n所以，无关。 1某人10岁买了定期生存保险，这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金，以附表2转换函数值计算这一年金现值。 N?N10?8?810?8?1?12000?a?2000?2000?0.22775?455.5 10 88（元） 解：N102证明下列等式成立，并解释其含义。 ?a?vpaxxx?1； N

13、N?Dx?1xx?a?vpa?a?1 xx?1xxDD 证明：xx?a?vpa1?1xx?x ；?avpa?1?1xx?x 证明：?aa?1?vp1xx?x所以， ?)E1?a?(axn n:nxx: ；)?N?D(N?DN?NDnx?1?1x?nX?xx?1?x?n?1nX?)?a?(1?)?(1?E xnDDDnx:xxxNN? 证明：nxx?a? Dnx:xnaa?v?p?nxxx?n n ；NNNnn1?n?1nx?n?1?xxa?v?pa?E?v?p? xxnnxxnx?n nDDDxnxx? 证明： Exnmap?a?a?v?xm n:x:n?m:mx?mx ； 证明：N?Nx?n

14、?m?x?11?a Dm?x:nxN?Nx?1m?1x?a Dmx:xN?NN?N m1?m?1?n?1x1x?m?n?x?mx?m?p?a?v?E? xxmmDDnm:x?xx?mNN?N?NNN?m1n?xm?11x?m?n?1x?x?1?x?m1?xm?a?v?p?aa xmDDDx?:xn?mmm:nx:xxx?(1?i)ap?a1xx?x1? Np?Np?Nxx1x?x1x?p?p?a?(1?i)a x?1xx?x1?1DE?Dv?p?D证明： x1?x1x1x?1x?1 元的生存年金。假设购k某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购买了每月给付3 值。买后次月开始给付，求k111

15、12?)12(50000)?12k?(12.26683?a12k?a?12k?(?) 505024122? 解：62.k?338 年的生存年金转换函数元，第一次从60岁开始，共付104给付50岁的人每月200 表达式。13)12)(12()aa?2400?a2400?2400?EaE?( 70501050106050 解： 1010241060: 元，以后每年比1000以转换函数表达下面变动年金的现值。对（x）第一年末给付7元的幅度递减，5000元时，又以每年1000上年增加给付500元，当年给付金额达到 直到1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止。914av?Da()?1000?500v

16、?500(Ia)?1000?v14x?4?9x:8:x 解： ?pr)?(1p?p8为基础计算的终身年金假设对所有x，证明以利率i和，有xxxi?r?i和为基础计算的终身年金现值相等。现值与以 p 1?rxi,p为计算基础解：以 x?1?ttp)?pa?tE?v?tp?p(? xxxtxxx?1i1?1?t?1t1 ?ttp?pp)(?()?1?r? tx?xx1i1?i?rp?i 计算以、 xr?1?1?ttp?p?v?tpp(a?)tE? txxxx?x?x1i1?1?1t?tr1? ?tpp?p()? txxx?1?i1?xl?1000(1?),i?0.10 假设100000元终身寿险的

17、精1，求50岁的人投保x115算现值。 1000?(t?1?l?l)d 1?xt?xx 解：1151151?1?t100000A?t)100000?v?(1? 50l 0?t50 2某保单规定，若被保险人在投保后20年内死亡，则在第20年末给付1单位保险金，若被保险人在投保20年以后死亡，则在死亡年年末给付1单位保险金。写出对（x）的保单精算现值的表达式。 解： 19?t?201qvq)?)A?(vxx ttt?0t?2019 ?20A)(?q?vxx 20t0?t3某人在30岁时投保了10000元延期25年的定期寿险，求这一保单的精算现值。 M?Mm?n?t?1nmx?xm?q?A?v x

18、tm Dnx: 解：m?txM?M7555?1000010000A 30 D20:25251069.6405?403.7249 所以，?10000?298.80 22286.35 A?vq?vpA，并说明其意义。4证明： 1xxx?x 证明：MMx?11xx?vd,A?,C?A? xxx?1xDDx?x1xx?1?l,vvpD?M,D?vD?l,D?MC?xx?1?xx1x1xx1xx?x?C?Mvp(C?M)v?p?Cv?p?Mx?xx?x1?x11xxxx?A? xDDDDx?111xx?x? l1x?1?xdv?.v? xdlxxAp?v?p?A?v?qv?v?p?A?v? 1xx1xx?1xx?x?1x?llv?x1?xvpAx?x1vq之和。，在一年后死亡赔付的精算现值X）寿险精算现值等于在第一年内死亡赔付 即（x Adx ?A()?x xx证明：，并说明其意义。5 dx?dyD?M yyxx ?A x 证明：DDxx?dyD?yyxd?D?dyD?D?D DAdxxyxyxxxx? 2dxdx)D(xxx?lll?vDv?lnv xxxx? ?)?A(lnvA?A?xx xxxxxDlvl xxx ?(?A)xxx qkq?n?x，其他年龄的死亡率不