高数导数公式（干货分享）

1、1 高数导数公式 2020/12/152 , 1 1 )(arcsin 2 x x 另外还有反三角函数的导数公式： , 1 1 )(arccos 2 x x , 1 1 )(arctan 2 x x . 1 1 )cotarc( 2 x x 2020/12/153 定理2. 1设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， )0)( )( )( xu xu xv 在 x 处也可导， (u(x) v(x) = u(x) v (x); (u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x); . )( )()()()( )( )( 2 xu xvxuxvxu xu xv 导数的四则运算 且

2、则它们的和、差、积与商 2020/12/154 推论 1(cu(x) = cu(x) (c 为常数). 推论 2 . )( )( )( 1 2 xu xu xu ()uvwu vwuv wuvw 乘法法则的推广： 2020/12/155 补充例题： 求下列函数的导数： 解根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)， (cos x) = - sin x， (ex) = ex，(1) = 0， 故f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1) = (3x4) (ex ) + (5cos x) (1) = 12x3 ex 5sin x . f (

3、0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1 又(x4) = 4x3， 例 1设 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0). 2020/12/156 例 2设 y = xlnx ， 求 y . 解根据乘法公式，有 y = (xlnx)= x (lnx) (x)lnx x x xln1 1 .ln1x 2020/12/157 解根据除法公式，有 22 22 2 )1( )1()1()1)(1( 1 1 x xxxx x x y 例 3设 , 1 1 2 x x y 求 y . 22 22 )1( )1()1()()1()(1( x xx

4、xx . )1( 12 )1( )1(2)1( 22 2 22 2 x xx x xxx 2020/12/158 教材P32 例2 求下列函数的导数： 3 (1)cosyxx 2 (2) x yx e 2 (3) 1 x y x 32 (4)23 sinyxxxe 解： 332 (1)(cos )() (cos )3sinyxxxxxx 2222 (2)()()()2(2) xxxxxx yx exex exex exxe 22 222 (1)(1) (3)() 1(1) xxxxx y xx 2 22 1( 2 ) (1) xxx x 22 2 )1 ( 1 x x 32 (4)(2) (3

5、 sin ) ()yxxxe 0)sin( 3)(2 3 xxx )cos(sin36 2 xxxx 2020/12/159 高阶导数 如 果 可 以 对 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 f ( x ) 再 求 导 ， 所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数， . d d 2 2 x y 记作 f (x) 或 y 或 如对二阶导数再求导，则称三阶导数， . d d 3 3 x y 记作 f (x) 或 四阶或四阶以上导数记为 y(4)，y(5)， ， y(n) , d d 4 4 x y , d d n n x y 或 ， 而把 f (x) 称为 f (x) 的一

6、阶导数. 2020/12/1510 例3 求下列函数的二阶导数 (1)cosyxx(2)arctanyx (1)cos( sin )cossinyxxxxxx xxxxxxxycossin2)cos(sinsin 2 1 (2) 1 y x 22 2 )1 ( )1 ( x x y 22 )1 ( 2 x x 解： 二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算 2020/12/1511 2.2.4 复合函数的求导法则 2.2 ( )( ) ( ( ) ( ) ( ) dydy du dxdu dx dy fuu x d uu xxyf u uyf u x x x 定理若函数在点 可导，函数 在点

7、处可导，则复合函数 在点 可导，且 或记作： 推论设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x) 也可导， . xvux vuyy 2020/12/1512 以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 23 tan 4. 1(31) ; 2)sin(2); 3)lncos ;4); 5)2 x x yxyx yxye y 例 求下列函数的导数： ） 32 32222 2222 (1)( ), ( )31, ( )3( )( )3(31)(31) 3(31)618 (31) yux u

8、xx yuxuxu xxx xxxx 解： 函数可以分解为 2020/12/1513 (2)2 cos(2) (2) 1 cos(2) 2 cos(2) 2 x yxx x x x x 把当作中间变量， (3)cos 1sin (cos )tan coscos x x yxx xx 把当作中间变量， 2020/12/1514 tantan2tan (4)tan ()(tan )sec xxx x yeexxe 把当作中间变量， (5) (2 )2 ln2 ()2 ln2 xxx x yx 把当作中间变量， 2020/12/1515 先将要求导的函数分解成基本初等函数,或常数与基本初等函 数的和

9、、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公 式和上述复合函数的求导法则求出. 复合函数求导的关键: 正确分解初等函数的复合结构. 求导方法小结： 2020/12/1516 2 322 1( 1) ; (2)cos3 (3)32 4 lgcos(32) x yxyyxxx 练习：求下列函数的导数(课堂练习) （）；（ ） 22 2 22 22 22 (1) 6 ( 1) (2) 3 ln3 sin3 23 (3) 232 cos(32)sin(32) (4) (32)4 tan(32) cos(32)cos(32) xx yxx y x y xx xx yxxx xx

10、解: 2020/12/1517 例5：求下列函数的导数 （1） （2） （3） （4） 2 cosxy 23 2 xx ey xylnlnln )1ln( 2 xxy 2020/12/1518 2.2.5 隐函数的导数 0 0( ) yxF xy F xyyy x 与 的关系由方程（ ， ） 确定，未解出因变量的 方程（ ， ）= 所确定的函数称为隐函数 6( )1. y dy yy xyxe dx 例 设函数由方程所确定，求 (1) (), () (1) 1 y yyyy yy y y xyxe yexeex ey xeye e y xe 解：上式两边对 求导，则有 即 2020/12/15

11、19 1 ; 2. xy y y 隐函数的求导步骤： （）方程两边对 求导，求导过程中把 视为中间变量， 得到一个含有 的等式 （ ）从所得等式中解出 2020/12/1520 22 7( )cos(). dy yy xyxyx dx 例 设函数由方程所确定，求 2222 22 2222 2222 22 22 sin() () 1 sin() (22) 1 2 sin()2 sin() 12 sin() 1 2 sin() 1 2 sin() 12 sin() x xyxyxy yxyxyy yxxyyxyy yxyyxxy xxy y yxy 解：方程两边分别对 求导，得 2020/12/1

12、521 2 ( )2. dy yy xxyyx dx 练习：设函数由方程所确定，求 2 () ()2 22 (2 )2 2 2 x xyy yx yy y xyyy y y xy 解：两边分别对 求导，得 2020/12/1522 二元函数的偏导数的求法 求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将另一自变量 (或 )看作常 数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算. ),(yxfz xy y x 例1 设函数324 ( , )23,f x yxx yy 求 ( , ), x fx y ( , ), y fx y (1,1), x f (1, 1), y f 解： xyxyyxxyxf

13、xx 43)32(),( 2423 32423 122)32(),(yxyyxxyxf yy 111413) 1 , 1 ( 2 x f 14) 1(1212) 1, 1 ( 32 y f 2020/12/1523 例2 设函数 求),ln()( 2222 yxyxz x z y z 解： xx yxyxyxyx x z )ln()ln()( 22222222 222222 22 1 2 ln()()()xxxyxyxy xy 22 2 ln()2xxyx 22 2 ln() 1xxy 类似可得 22 2222 2 )()ln(2 yx y yxyxy y z 22 2 ln()1yxy 20

14、20/12/1524 二元函数的二阶偏导数 函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数 ),(yxf x z x ),(yxf y z y 一般说来仍然是 x , y 的函数， 如果这两个函数关于 x , y 的偏导数也存在， 则称它们的偏导数是 f (x , y)的二阶偏导数. 依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四个：（用符号表示如下） 2020/12/1525 x z xx z x 2 2 x z ),(yxf xx ; xx z x z yx z y yx z 2 ),(yxf xy ; xy z y z xy z x xy z 2 ),(yxf yx ; yx z y z yy z y 2 2 y z ),(yxf yy . yy z 2020/12/1526 其中 及 称为二阶混合偏导数. ),(yxf xy ),(yxf yx 类似的，可以定义三阶、四阶、 、n 阶偏导数， 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，