空间向量专题练习答案

1、空间向量专题练习、填空题(本大题共4小题，共20.0分)1平面a的法向量为(1 , 0, -1 )，平面3的法向量为(0, -1 , 1 ),则平面 a与平 面3所成二面角的大小为 :【答案】【解析】解：设平面a的法向量为1? = (1 , 0 , -1)，平面3的法向量为?= (0 , -1 , 1 ),则 cosv 7?,? =1X 0+0 x (-1)+(-1)v2?v2X1 12?力？? =，3平面a与平面3所成的角与V ,?相等或互补,? 2?a与3所成的角为3或才.故答案为:?J 2?口或33 利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出.本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查

2、了计算能力，属于基础题.2平面a经过三点 A (-1 , 0, 1 ), B (1 , 1 , 2) , C (2 , -1 , 0),则平面 a的法向 量？可以是 (写出一个即可)【答案】(0 , 1, -1 )【解析】解: ?(2, 1, 1) , ? ( 3 , -1 , -1 ),设平面a的法向量？= (x , y , z),?”？=? 2?+ ?+ ?= 0 .则,令 z=-1 , y=1 , x=0 .?= 3?- ? ?= 0 ?= (0 , 1, -1). 故答案为：(0, 1 , -1).设平面a的法向量?= (x , y , z),则 0，解出即可.?= 3?- ? ?=

3、0本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题.3已知？?？( 1 , 0 , 2) , ? (2 , 1 , 1),贝 U平面 ABC 的一个法向量为 .【答案】(-2 , 3 , 1 )【解析】解: ?(1 , 0 , 2) , ? ( 2 , 1 , 1),设平面ABC的法向量为?= (x , y , z),则?=? 0?= 0?+ 2?= 0,即2?+ ? ?= 0,取 x=-2 ,则 z=1 , y=3. ?= (-2 , 3, 1). 故答案为：(-2 , 3, 1).设平面ABC的法向量为?= (x, y, z),则?=? 0，解出即可. ? 0本题考查了平面的法向

4、量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题.4.在三角形 ABC 中，A ( 1, -2 , -1 ), B ( 0, -3 , 1 ) , C (2 , -2 , 1 ),若向量？与平面 ABC垂直，且何,则？?勺坐标为 .【答案】(2 , -4 , -1 )或(-2 , 4 , 1)【解析】解：设平面ABC的法向量为? = (x , y , z),则勿？?=?,且 I?, ?(-1 , -1 , 2), ? (1, 0 , 2),?+ 2?= 0 ,?= -2?即,?= 4?令 z=1 ,贝 U x=-2 , y=4 , 即勿=(-2 , 4 , 1), 若向量？与平面ABC垂直，向量? H?

5、,设？=入1?= (-2入，4入，入)，1?1=历, v2T?| 入 |= v2T , 即|入|=1 ,解得入= 1, ?的坐标为(2 , -4 , -1)或(-2 , 4 , 1 ), 故答案为：(2 , -4 , -1 )或(-2 , 4 , 1 )根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论.本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本 题的关键.二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)5如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为菱形, / BAD=60 , Q 为 AD 的中点.(1 )若PA=PD ,求证：平面 PQB丄平面 PAD;1

6、(2 )点M在线段PC上,?= - ?若平面3PAD 丄平面 ABCD ,且 PA=PD=AD=2 ,求二面角 M-BQ-C的大小.【答案】解：(1)证明：由题意知： PQ丄AD, BQ丄AD, PQQ BQ=Q , AD丄平面PQB,又 AD?平面 PAD,平面 PQB丄平面 PAD.(2)T PA=PD=AD , Q 为 AD 的中点， PQ 丄 AD,平面 PAD丄平面 ABCD，平面PADA平面 ABCD=AD , PQ丄平面ABCD,以Q这坐标原点，分别以 QA, QB, QP为x, y, z轴， 建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q (0 , 0, 0), A (1, 0,

7、0),P (0 , 0, v3), B (0, v3 , 0), C (-2 , v3 , 0)设曙是平面MBQ的一个法向量，则 ? ?= 0 ,? 0 ,-2?芒?+2?=01), 3j 宀=(, 0又= (0, 0 , 1)平面BQC的一个法向量,1 COSV ?,遷 =-,二面角 M-BQ-C的大小是60 .【解析】(1) 由题设条件推导出 PQ丄AD , BQ丄AD ,从而得到AD丄平面PQB,由此能够证明 平面PQB丄平面PAD.(2) 以Q这坐标原点，分别以 QA , QB , QP为x , y , z轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出二面角 M-BQ-C的大小.本题考查平

8、面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注 意向量法的合理运用.6如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧 棱PD丄底面 ABCD , PD=DC=2 ,点E是PC的中点，F 在直线PA上.(1 )若EF丄PA,求-的值；(2 )求二面角 P-BD-E的大小.【答案】解：(1 )在四棱锥 P-ABCD中，底 面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底面ABCD,以D为原点，DA为x轴，DC为y 轴，DP为z轴，建立空间直角坐标 系， PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上， P (0, 0, 2), A (2, 0, 0), C(0, 2, 0), E

9、(0,1,1),设 F (a , 0 , c), ?= ?则(a , 0 , c-2)=入(2 , 0 , -2)=(2 入，0,-2 入)， a=2 入，c=2-2 入，F (2 入，0 ,2-2 入)，? (2 入，-1 ,1-2 入)，? (2 ,0 , -2),1 EF丄 PA,.柄？4 入-2+4 入=0 ,解得？?= 4,? 1(2) P (0 , 0 , 2), B (2, 2 , 0), D?( 0 , 0 , 2), ? (2 , 2 , 0), ? ( 0 , 1, 设平面BDP的法向量?= (x , y , z),？=2?+2?=0卄则 ,取 x=1 ,得?= (1 ,

10、-1 ,?=? 2?= 0设平面BDE的法向量1?= (x , y , z),? ? 2?+ 2?= 0丿、?= ?+ ? 0设二面角P-BD-E的大小为(0, 0 , 0),E (0, 1 , 1),1),取x=1 ,得聖=(1, -1, 1),? 4I?2瓦则cos0 =|莎而?五3=乎-二面角P-BD-E的大小为【解析】DP为z轴，建立空间直角坐标系，禾【J用(1 )以D为原点，DA为x轴，DC为y轴, 向量法能求出需的值.(2)求出平面BDP的法向量和设平面 BDE的法向量，由此能求出二面角 P-BD-E的 大小.本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审

11、 题，注意向量法的合理运用.7如图所示的几何体是由棱台ABC-Ai BiCi和棱锥D-AAiCiC拼接而成的组合体，其底面四 边形ABCD是边长为2的菱形，且/ BAD=60 , BBi 丄平面 ABCD,BBi=2A iBi=2 .(I)求证：平面 ABiC丄平面BBiD;(H)求二面角 Ai-BD-Ci的余弦值.【答案】(I)证明： BBi丄平面 ABCD, BBi 丄 AC,/ ABCD 是菱形， BD丄AC,又 BDn BBi=B , AC丄平面 BBiD, AC?平面ABiC,.平面ABiC丄平面 BBiD;(n)设BD、AC交于点O,以O为坐标原 点，以OA为x轴，以OD为y轴，建

12、立如图 所示空间直角坐标系.则？?(0, - i, 0) , ?(0, i, 0), ?(0,-i , 2) , ?(昉,0, 0) , ?(#, - 2 , 2) , ?(-乎,-2 , 2), 耐=(”，2, 2), ? ?= (0, 2 , 0), ?=(-扌，2, 2).设平面 AiBD的法向量？?= (?=迈？?+ 2?= 由牡22 ?= 2?= 0? ?)0,取 z= v3，得？?= (-4 ,v3),设平面 DCF的法向量 =(? ?)? ?= 2?= 0 由勿?=-空？?i 2设二面角Ai-BD-Ci为i?+2,取 z= v3,得? = (4 , 0v3).i3则?|?|?|i9 【解析】(I)由BBi丄平面ABCD，得BBi丄AC ,再由ABCD是菱形，得 BD丄AC ,由线面垂 进一步得到平面 A