第二章数学模型simple

1、第二章数学模型simple 数学模型 是是描述系统中各变量间关系的数学形式， 是分析和设计系统的基础是分析和设计系统的基础。 第二章数学模型simple 数学模型的形式数学模型的形式 时间域：时间域： 微分方程 差分方程 状态方程 脉冲响应 频率域：频率域： 传递函数 频率响应 第二章数学模型simple 各种数学模型之间的关系各种数学模型之间的关系 线性系统线性系统 传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性 拉氏拉氏 变换变换 傅氏傅氏 变换变换 第二章数学模型simple 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 依据系统及元件各变量之间所遵依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理或化学

2、规律列写出相应的数学关循的物理或化学规律列写出相应的数学关 系式，建立模型。系式，建立模型。 人为地对系统施加某种测试信号，人为地对系统施加某种测试信号， 记录其输出响应，并用适当的数学模型进记录其输出响应，并用适当的数学模型进 行逼近。这种方法也称为行逼近。这种方法也称为 第二章数学模型simple 本章主要内容 2-12-1 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 2-22-2 非线性方程的线性化非线性方程的线性化 2-32-3 拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换 2-42-4 传递函数与典型环节的传递函数传递函数与典型环节的传递函数 2-5 2-5 典型环节的方框图典型环节的方框图

3、2-6 2-6 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 2-7 2-7 控制系统方框图及其简化控制系统方框图及其简化 第二章数学模型simple 步骤步骤 划分环节 写出每个环节(元件) 运动方程式 消去中间变量 写成标准形式 第二章数学模型simple 划分环节划分环节 恒温箱自动控制系统恒温箱自动控制系统 第二章数学模型simple 由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用 与相互制约的关系。 第二章数学模型simple 写出每个环节写出每个环节( (元件元件) ) 运动方程式运动方程式 找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反找

4、出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反 映这种内在联系的物理规律。映这种内在联系的物理规律。列写运动方程的关列写运动方程的关 键要了解元件或系统所属学科领域的有关规律，键要了解元件或系统所属学科领域的有关规律， 而不是数学本身。而不是数学本身。 例如：例如： 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化， 考虑忽略一些次要因素；参数时变）。考虑忽略一些次要因素；参数时变）。 注：数学模型的准确性和简化的矛盾。注：数学模型的准确性和简化的矛盾。 第二章数学模型simple 线性定常系统的微分方程一般表达式为线性定常系统的微分方程一般表达式为 其中，其中，

5、x2( (t t ) )为输出量，为输出量， x1(1(t t ) )为输入量为输入量 : 12 ()( ) 0112 1 ()( ) 0111 nnn pa pa papaxt nn mm b pb pbpbxt mm 设描述系统的微分方程为 第二章数学模型simple 入变量的运动方程。 (t)为输输入电压U(t)为输出变量和以压U 试求出以输出电成的电路，如图所示. 和电阻R组设有由电感L，电容C 例1 io L i(t) Uo(t) Ui(t) R C 第二章数学模型simple io oo UU dt dU RC 2 dt U 2 d LC 第二章数学模型simple 解： 系统的运

6、动方程作用产生位移Y，求该 物体受到外力系统，图中质量为m的如图所示为一弹簧阻尼 例2， y m 0 dt dy f ky F 第二章数学模型simple F K）yfP 2 （mP 则有： 2 dt 2 d 2 P dt d P 记 FKy dt dy f 2 dt y 2 d m 第二章数学模型simple Ua 4 解解： 的的系系统统运运动动方方程程 为为输输出出量量时时及及角角位位移移动动机机输输出出轴轴角角速速度度为为输输入入变变量量和和分分别别以以电电 以以电电枢枢电电压压统统，如如图图所所示示，试试列列写写设设有有带带载载直直流流电电动动机机系系例例 消消去去中中间间变变量量得

7、得： 磁磁力力矩矩为为在在恒恒定定磁磁场场中中产产生生的的电电电电枢枢电电流流 ，当当电电动动机机空空载载时时， 成成正正比比，即即而而电电动动机机的的反反电电动动势势与与 运运动动方方程程为为： 流流电电动动机机电电枢枢回回路路的的根根据据基基尔尔霍霍夫夫定定律律，直直 iCMi 0M CeE UEiR M L aa fM dt d J dt di La 第二章数学模型simple 可可得得相相应应运运动动方方程程。为为输输出出量量，则则根根据据关关系系若若以以 ）（）（ ，则则由由牛牛顿顿定定律律有有时时，当当电电动动机机输输出出轴轴带带负负载载 ）（）（ dt d MR dt dM LU

8、CCCfR dt d fLJR dt d JL dt La L aaMeMaaaa 2 2 L L aMeMaaa 2 2 a M-f-M dt d J 0M UCCCfR dt d fLJR d JL 第二章数学模型simple 定义：将非线性微分方程在一定的条件 下转化为线性微分方程的方法。 小偏差线性化： 基本假设变量偏离其预期工作点的 偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差 线性化。 第二章数学模型simple 几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替 工作点附近的曲线。 说明： A.线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导 数或偏导数存在,如：继电器特性，导数不存 在，本质非线性； B.必

9、须明确工作点的参数； C.如果非线性运动方程较接近线性时，则线性 化运动方程对于变量的增量在较大范围适用， 反之，只能适用于变量的微小变化。 第二章数学模型simple 2-3 拉氏变换及反变换 拉氏变换定义 典型函数的拉氏变换 拉氏变换的性质 拉氏反变换 只含不同单极点 含共轭复极点 含多重极点 一用拉氏变换求解常系数线性微分方程 第二章数学模型simple 一. 传递函数的定义传递函数的定义 求拉式变换。 : 12 ()( ) 0112 1 ()( ) 0111 nnn pa pa papaxt nn mm b pb pbpbxt mm 设描述系统的微分方程为 第二章数学模型simple

10、n aS n a n Sa n S m b m Sb m Sb SX SX SG 1 1 1 1 10 )( 1 )( 2 则有： 定义定义 传递函数传递函数： 初始条件为初始条件为 零时，线性定常系统或零时，线性定常系统或 元件输出信号的拉氏变换与输入元件输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏信号的拉氏 变换的比，称为该系统或元件的传递函数。变换的比，称为该系统或元件的传递函数。 第二章数学模型simple 解： 网络的传递函数，试求例CLR1 2 LCP1 2 1 1 2 1 RCPU tU t LCPRCSUU U G U LCSRCS 由前面知 （） （） （） 求该微分方程在零初始条件

11、下的拉氏变换有 （） 第二章数学模型simple 二. 传递函数传递函数注释注释 1 .线性定常系统或元件的运动方程与传递线性定常系统或元件的运动方程与传递 函数一一对应，它们是在不同域对同一函数一一对应，它们是在不同域对同一 系统或元件的描述。系统或元件的描述。 2 .传递函数是表征线性定常系统或元件自传递函数是表征线性定常系统或元件自 身的固有特性，它与其输入信号的形式身的固有特性，它与其输入信号的形式 无关无关 ，但和输入信号的作用位置及输出，但和输入信号的作用位置及输出 信号的取出位置有关。信号的取出位置有关。 第二章数学模型simple (S-Z )().() G(S)k (S-P)

12、().() SZSZm SPSP n 3.传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母 多项式的各项系数均为实数， 。比微分方 程简单。 4.传递函数写成 的形式，则 和 为G(S)的零点和极点。 m ZZZZ 321 , n PPPP 321 , 5.物理性质不同的系统可以有相同的传递函数。 第二章数学模型simple 6.6.传递函数与单位脉冲响应 单位脉冲响应：零初始条件下，单位脉冲输入下 的输出； 任意输入函数下的时域响应= 输入函数与单位脉冲响应函数的卷积； 系统传递函数为单位脉冲响应的象函数； 第二章数学模型simple 三三. 典型环节传递函数典型环节传递函数 典型环节：典型环节：

13、物理系统由各种元件组成，但若考物理系统由各种元件组成，但若考 察其数学模型，却可划分成为数不多的几种基察其数学模型，却可划分成为数不多的几种基 本类型。本类型。 比例环节比例环节 惯性环节惯性环节 积分环节积分环节 振荡环节振荡环节 微分环节微分环节 1.1.纯滞后环节纯滞后环节 第二章数学模型simple G(S) X1(S)X2(S) X(S)X(S) X(S) (S)G(S)X(S)X 12 典型环节的方框图典型环节的方框图 1.定义:每个环节的功能和信号流向的图解表示 ； (3).分支点:信号分出的一点,称为分支点,通过分 支点的信号都是相同的； (4).方框:对信号进行的数学变换；

14、(S)X-(S)XE(S) 21 2.常用符号及术语 E(S)X1(S) X2(S) (2).相加点(比较点） (1).信号线:带箭头的直线,箭头表示信号方向； 第二章数学模型simple G1(S) G2(S) X1(S) X3(S) X2(S) G1(S) G2(S) + + X3(S) X1(S) X2(S) X4(S) G2(S) G1(S) + Y(S) X1(S) E(S) X2(S) （5）.方框图的串联、并联、反馈连接。 第二章数学模型simple G1(S) G2(S) X1(S) X3(S) X2(S) (S)(S)GGG(S) )()()(X )()()(X 21 113

15、 322 SXSGS SXSGS 3方框图的运算 (1)串联连接的传递函数 结论：二环节串联传递函数等于二传函之积。 推广：N环节串联，传递函数等于N个环节传 函之积。 第二章数学模型simple G1(S) G2(S) + + X3(S) X1(S) X2(S) X4(S) )(.)()()( 21 SGSGSGSG n )()( )( )()( (S)X (S)X G(S) 21 1 43 1 2 SGSG SX SXSX (2)并联连接的传递函数 结论：二环节并联，其等效传函等于二环节传 函之和。 推广：N环节并联，其等效传函等于各环节传 函之和。 第二章数学模型simple G2(S)

16、 G1(S) + Y(S) X1(S)X2(S) (3)反馈回路传递函数的求取 前向通道：由偏差信号至输出信号的通道； 反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道。 e(S) 第二章数学模型simple 21 1 22 211 21122 2111 S ( )( ) ( ) (1) ( )X ( )-Y( ) (2) Y( )G ( )X ( ) (3) (2)(1) X ( )( )X ( )-Y( ) (4) (3)(4) X ( )( )X ( )-G ( )X ( ) X ( )( )X ( )-( ) SSS SSS SSS SSS SSSSS SSSS XG G G GG e e e e

17、 代代入入 代代入入 22 21 112 S G ( )X ( ) X ( )( ) ( ) X ( )1( )G ( ) SS SS SSS G G 第二章数学模型simple 1 前前向向通通道道传传函函 闭闭环环传传函函 前前向向通通道道传传函函反反馈馈通通道道传传函函 结论： 第二章数学模型simple ) 1 ( :1递函数试求如图所示系统的传例 G1(S) G2(S) G3(S) G4(S) (S)(S)G(S)GG(S)(S)G(S)GG )()()()()( 431421 4321 SGSGSGSGSG )()()()(1 (S)(S)GG (S) 4321 21 SGSGSG

18、SG (2) G1(S) G2(S) G3(S) G4(S) 第二章数学模型simple )( )()()(1 )( )( )()()(1 )()( )( )()()( )()()( )()()( )()()( )()()( 21 2 21 21 12 2 11 SF SHSGSG SG SR SHSGSG SGSG SC SFSXSX SXSGSC SCSHSY SYSRS SSGSX e e e e G1(S)G2(S) H(S) R(S) X1(S) X2(S) Y(S) - C(S)e(S) F(S) 第二章数学模型simple (1)若 则 定义：C(S)/R(S)为系统输出对于输入

19、信号的闭 环传函，记为 ，即 开环传函：前向通道与反馈通道传递函数之积 称为开环传函，记为G(S)。 单位反馈：若H(S)=1，则系统称为单位反馈系 统。 )(S )()()(1 )()( )( )( )( )()()(1 )()( )( )( 21 21 21 21 SHSGSG SGSG SR SC S SHSGSG SGSG SR SC 0)(SF 第二章数学模型simple (2)若 定义：C(S)/F(S)为系统输出对于扰动信号的闭 环传函，记为 。 (3) 定义 为误差传函 ()0 ()() 2 () ()1()()() 12 ()()()R(S) 2 (S) 1G(S)G(S)H

20、(S)1()()() 1212 ( )1 () ()1G(S)G(S)H(S) 12 R S GSC S S f FSGSG S HS GS HS FS GS GS HS s S e R S e e e e )(S f 第二章数学模型simple 控制系统方框图：应用函数方框把控制系统 的全部变量联系起来以描述信号在系统中流 通过程的图示。 一. 方框图的绘制 步骤: 1.写出组成系统的各环节的运动方程及传递函数; 2. 根据传递函数画出各环节相应的方框； 3. 按信号流向将方框一一连接起来。 第二章数学模型simple 1 : 例例试试绘绘制制如如图图所所示示无无 源源网网络络的的方方框框图图 解解 式有式有由由(1) (4) )( CS 1 (S)IR c 1 (3) I(S)R(S)U (2) (S)U(S)RI(S)U (1) (S)I(S)II(S) 211112 2020 011i011 2121 SIiRdti iRu uRiui iii C i i1 i2 R1R2 Ui U0 I2(S) I1(S)