奥数基础讲座二次函数（含解答

1、二次函数讲座问题选讲 1二次函数y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c（各式中，a0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式y=ax2y=（ax-h） 2y=a（x-h） 2+ky=ax2+bx+c顶点坐标对称轴 2抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象；当a0时，开口向上，当a0，当x-时，y随x的增大而减小；当x-时，y随x的增大而增大若a0，图象与x轴交于两点A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根这两点间的距离AB=x1-x2= 当=0，图象与x轴只有一个交点；

2、当0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0 5用待定系数法求二次函数的解析式 （1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c（a0） （2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x-h）2+k（a0） （3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a0） 6二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目因此，以二次函数知识为主的综合性题目是热点考题，往往以大题形式出

3、现 例题剖析 例1 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2-1，则抛物线A所对应的函数表达式是（ ）（A）y=-2（x+3）2-2; （B）y=-2（x+3）2+2; （C）y=-2（x-1）2-2; （D）y=-2（x-1）2+2 例2 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）一个解x的范围是（ ） x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030

4、.07 （A）3x3.23 （B）3.23x3.24 （C）3.24x3.25 （D）3.25x0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一，则a的值是（ ） （A）1 （B）-1 （C） 例6 （2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0），则S=a+b+c的值的变化范围是_ 例7 （2005年全国初中数学竞赛试题）RtABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴若斜边上的高为h，则（ ） （A）h1 （B）h=1 （C）1h2 例8 （1993年江苏初中数学竞赛试

5、题）已知是两位数，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间距离不超过2 （1）求证：0m2-4n4； （2）求出所有这样的两位数 例9 （1997年天津市初中数学竞赛试题）已知函数y=x2-x-12的图象与x轴交于相异两点A，B，另一抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，顶点为P，且APB是等腰直角三角形，求a，b，c 例10 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）已知二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1 （1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由 （2）如果直线y=x+1经过二

6、次函数y=x2+2（m+1）x-m+1图象的顶点P，求此时m的值 例11 （2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题）通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平衡的状态，随后开始分散学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）当0x10时，图象是抛物线的一部分，当10x20和20x40时，图象是线段 （1）当0x10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意

7、力的指标数都不低于36 例12 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区）已知A1、A2、A3是抛物线y=x2上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C （1）如图（a），若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长； （2）如图（b），若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2-x+1，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；（3）若将抛物线y=x2改为抛物线y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写

8、出答案） 例13 设抛物线C的解析式为y=x2-2kx+（+k）k，k为实数 （1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）； （2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标，试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象； （3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切，设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a0时，情况相反 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同 一元二次方程ax2+bx

9、+c=0（a0）的根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标 （A） （B） （C） （D）3若函数y=的图象经过点（1，-2），那么抛物线y=ax2+（a-1）x+a+3的性质说得全对的是（ ） （A）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交 （B）开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交 （C）开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交 （D）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交4函数y=ax2与y=（a0，0 （B）a0，0 （C）a0 （D）a0，07已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是（ ） （

10、A）有两个不相等的正实数根 （B）有两个异号实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根8为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图），则下列结论： a-；-a0；0b-12a，其中正确的结论是（ ）（A） （B） （C） （D） (第8题) (第12题) (第15题)9已知：二次函数y=x2+bx+c与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其顶点坐标为P（-），AB=x1-x2，若SAPB=1，则b与c的关系式是（ ） （A）b2-4c+1=0 （B）b2-4c-1=0

11、（C）b2-4c+4=0 （D）b2-4c-4=010若函数y=（x2-100x+196+x2-100x+196），则当自变量x取1、2、3、10这100个自然数时，函数值的和是（ ） A.540; B.390; C.194; D.9711已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有（ ） （A）最小值0 （B）最大值1 （C）最大值2 （D）有最小值12抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（ ）（A）ac+1=b （B）ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是13若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则

12、S=a+b+c的变化范围是（ ） （A）0S1 （C）1S2 （D）-1Sa+c （C）c2b （D）abcy2成立的x的取值范围是_ (第3题) (第6题) (第9题)4有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：_5对于反比例函数y=-与二次函数y=-x2+3，请说出它们的两个相同点_；再说出它们的两个不同点_，_6如图，已知点M（p，q）在抛物线y=x2-1上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且

13、A、B两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根，则弦AB的长等于_7设x、y、z满足关系式x-1=，则x2+y2+z2的最小值为_8已知二次函数y=ax2（a1）的图象上两点A、B的横坐标分别是-1、2，点O是坐标原点，如果AOB是直角三角形，则OAB的周长为_9如图，A、B、C是二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像上三点，根据图中给出的三点的位置，可得a_0，c_0，_010炮弹从炮口射出后，飞行的h（m）高度与飞行的时间t（s）之间的函数关系是h=v0tsina-5t2，其中v是炮弹发射的初速度，a是炮弹的发射角，当v0=300（m/s），sina=时，炮弹飞行的最大高度

14、是_11抛物线y=-（x-L）（x-3-k）+L与抛物线y=（x-3）2+4关于原点对称，则L+k=_12（2000年全国初中数学联合竞赛试题）a，b是正数，并且抛物线y=x2+ax+2b和y=x2+2bx+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是_13已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A、B两点，O为坐标原点，那么OAB的面积等于_14（2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为_15（2005年全国初中数学竞赛浙江赛区试题）在直角

15、坐标系中，抛物线y=x2+mx-m2（m0）与x轴交于A，B两点，若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足=，则m的值等于_三、解答题1已知抛物线y=x2与直线y=x+k有交点，求k的取值范围2如图，P是抛物线y=x2上第一象限内的一个点，A点的坐标是（3，0） （1）令P点坐标为（x，y），求OPA的面积S；（2）S是y的什么函数？ （3）S是x的什么函数？（4）当S=6时，求点P的坐标；（5）在抛物线y=x2上求一点P，使OPA的两边PO=PA3抛物线y=ax2+bx+c的顶点位于直线y=x-1和y=-2x-4的交点上，且与直线y=4x-4有唯一交点，试求函数表达式4已知实数pq，

16、抛物线y1=x2-px+2q与y2=x2-qx+2p在x轴上有相同的交点A（1）求A点坐标；（2）求p+q的值5已知抛物线y=x2+kx+k-1 （1）求证：无论k是什么实数，抛物线经过x轴上一个定点； （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且满足：x1x2，x10）的对称轴上一点（0，-）作对称轴的垂线L，则抛物线上任一点P到点F（0，）的距离与P到L的距离一定相等我们将点F与直线L分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x的焦点为（0，）问题：若直线y=kx+b交抛物线y=x2于A、B，AC、BD垂直于抛物线的准线L，垂足分别为C、D（如图） （1）求抛物

17、线y=x2的焦点F的坐标；（2）求证：直线AB过焦点F时，CFDF；（3）当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线L相切时，求这直线对应的函数解析式9已知某绿色蔬菜生产基地收获的蒜苔，从四月一日起开始上市的30天内，蒜苔每10千克的批发价y（元）是上市时间x（元）的二次函数，由近几年的行情可知如下信息：x（天）51520y（元）151015 （1）求y关于x的函数解析式；（2）蒜台每10千克的批发价为10.8元时，问是在上市的多少天？10已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0） （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）D是抛物线与y轴的交点，

18、C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式； （3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由11已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实数为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标12改革开放以来，某镇通过多种途径发展地方经济，1995年该镇国民生产总值为2亿元，根据测算，该

19、镇国民生产总产值为5亿元时，可达到小康水平 （1）若从1996年开始，该镇国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元，该镇通过几年可达到小康水平？ （2）设以2001年为第一年，该镇第x年的国民生产总值为y亿元，y与x之间的关系是y=x2+x+5（x0）该镇那一年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番（即达到1995年的年国民生产总值的4倍）？13已知：二次函数y=-x2+x+c与x轴交于点M（x，0），N（x，0）两点，与y轴交于点H （1）若HMO=45，MHN=105时，求：函数解析式；（2）若x12+x22=1，当点Q（b，c）在直线y=x+上时，求二次函数y=-x+x+c的解析式14

20、如图，一次函数y=kx+n的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，2）， 线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D （1）试确定这个一次函数关系式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式15如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动 （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式 （2）试在（1）中的抛物线上找

21、一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与AOC全等，请直接写出点D的坐标 （3）设从出发起，运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围（4）设从出发起，运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由16抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3） （1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若

22、存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径答案：一、19CDBDD DCBD10B提示：x2-100x+196=（x-2）（x-98），当2x98时，x2-100x+196=-（x2-100x+196）当自变量x取2、3、98时，函数值都为0而当x取1、99、100时，x2-100x+196=x2-100x+196，故所求的和为：（1-2）（1-98）+（99-2）（99-98）+（100-2）（100-98）=97+97+196=3901115DAACC二、1互为相反数 2-17，（2，3）3x8

23、 4y=x2-x+3等5图象都是曲线，都过点（-1，2）；图象形状不同，x取值范围不同613.2 7 84+2 9、 101125m 11-9 122013如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A（1，1），B（-3，9），作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，SOAB=S梯形AA1BB1-SAA1O -SBB1O =（1+9）（1+3）-11-93=614由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以 因为二次函数图象与x轴有两个不的交点，所以=b2-4ac0，（-a-1）2-4a（3-2a）0，即（9a-1）（a-1）0，由于a是正整数，故a1，所以a

24、2又因为b+c=-3a+2-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c的最大值为-4152提示：设方程x2+mx-m2=0的两根分别x1，x2，且x1x2，则有x1+x2=-m0，x1x2=-m20，所以x10，由=，可知OAOB，又m0，所以抛物线的对称轴y轴的左侧，于是OA=x1=-x1，OB=x2所以=，=，故=，解得m=2三、1由题意知，方程组有实数解，即方程x2=x+k有实数解，整理，得2x2-3x-3k=0，=9-42（-3k）0，k-2（1）S=y，又y=x2，S=x2；（2）正比例函数；（3）二次函数；（4）P（2，4）；（5）P（，）3y=x2+x-4（1）A（

25、-2，0）；（2）p+q=-25（1）（-1，0）；（2）过A，B，C三点的圆与抛物线有第四个交点Dx1x2，C点在y轴上，点C不是抛物线的顶点，由于抛物线都是轴对称图形，过A、B、C三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形，所以过A、B、C三点的圆与抛物线第四个交点与C是对称点x1=-10，x1x2，x11，即x2-1，-k1，k0，SABC=6，1-k）（1+1-k）=6，（1-k）2+（1-k）-12=0，解得1-k=-4或1-k=3，k=-2或k=5（舍去），y=x2-2x-3其对称轴为x=1，据对称性，D点坐标为（2，-3）6（1）A（1，0），B（0，2），AD=2； （2）y=x2-x

26、+27y=-x2；5小时8（1）F（0，1）；（2）AC=AF，ACF=AFC又ACOF，ACF=CFO，CF平分AFO同理DF平分BFO而AFO+BFO=180，CFO+DFO=（AFO+BFO）=90，CFDF（3）设圆心为M切L于N，连结MN，MN=AB在直角梯形ACDB中，M是AB中点，MN=（AC+BC）而AC=AF，BD=BF，MN=（AF+BF），AF+BF=ABAB过焦点F（0，1），又AB过点（-1，0）， AB对应的函数解析式为y=x+19（1）设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c根据题意，得 解这个三元一次方程组，得 这个函数解析式为：y=x2-x+（或y=（x-1

27、5）2+10）（2）把y=10.8代入上式，得10.8=（x-15）2+10，（或10.8=x2-x+）整理，得x2-30x+209=0，（x-11）（x-19）=0，x1=11，x2=19，经检验x=11，x=19都符合题意即蒜苔每10千克批发价为10.8元时，是上市11天、9天10（1）依题意，抛物线的对称轴为y=x-2抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（-3，0）（2）抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0），a（-1）2+4a（-1）+t=0，t=3ay=ax2+4ax+3aD（0，3a）梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上，C（-4，3a），AB=2，CD=4，梯形ABCD的面积为9，（AB+CD）OD=9（2+4）3a=9，a=1所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3（3）设点E坐标为（x0，y0），依题意x00，且=y=-设点E在抛物线y=