傅里叶变换公式

1、名师推荐精心整理学习必备 第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析-傅里叶级数 非周期信号分析-傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段 2- 1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定 的。 进一步分为：周期信口 非周期信号。 cp I 01 非确定性信号（随机信号）：给定条件下 取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散, 并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方 法:将信

2、号看成许多谐波(简谐信号)之 和，每一个谐波称作该信号的一个频率 成分，考察信号含有那些频率的谐波， 以及各谐波的幅值和相角。 vp age break 2-2周期信号与离散频谱 一、周期信号傅里叶级数的三角函数 形式 周期信号时域表达式 x(t)= x(t+T)= x(t +2T)=x(t+nT) (n = 1，土 2 ,) T:周期。注意n的取值：周期信号 无始无 终” # 傅里叶级数的三角函数展开式 x(t) = a0 + 送(an cosn 0t + bn sin n 0t) n=1 (n=1,2, 3,) 傅立叶系数： a。 an bn T 1 2 J 丁 x(t)dt T -T 2

3、 T 2 2 J t x(t)cos n 0tdt T 2 T 2 2 J T x(t)sinn 0tdt T 2 式中T-周期；3 0-基频，3o=2”/T。 三角函数展开式的另一种形式： 频谱图 02 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐 波性、收敛性 性非对称周期方波的傅立叶 例1:求周期， 级数并画出频谱图 解： x(t)l -A 非对称周期方波 解： 信号的基频 周期方波 傅里叶系数 t的偶函数 奇函数：ao = an vO 2 2 bn 二一J T x(t)sin n otdt T - 4 二2A /2 Asin n otdt = 1 一 cosn兀 T 00 4A n为奇数 n兀

4、0n为偶数 n次谐波的幅值和相角 An = Ja： + b：= (n= 1,3,5,) 最后得傅立叶级数 4 A兀 一cosZ 巧)“1, 3 W 05 3 0 ,5,) 频谱图 4A 幅频谱图 相频谱图 An八 周期信号傅里叶级数的复指数形 .、 式 欧拉公式 e=cos t- Jsn t I cos t 二 1(ej ejt) 2 Lejt- ejE 2 傅立叶级数的复指数形式 =V-1 oC x(t) = z cnej0t(n = 0, 士 n =-处 1, 2, 3,) 复数傅里叶系数的表达式 1 2 Co = a f 2rx(t)dt T石 Cn = an jbn d T -/2rX

5、(t)ej0tdt T 2 其中an, bn的计算公式与三角函数形式相 司，只是n包括全部整数。 一般Cn是个复数。 因为an是n的偶函数,bn是n的奇函数, 因此# ana-n bn = - bn = -* n -n O j*n C- n 即：实部相等，虚部相反，Cn与C-n共轭。 Cn的复指数形式 Cne 共轭性还可以表示为 相角相反 即：Cn与C-n模相等， 傅立叶级数复指数也描述信号频率结 构。它与三角函数形式的关系 对于n0 Jan + Cbn)2An 22 （等于三角 函数模的一半 arctgd an （与三角函数形式中的 相角相等） c _ An 2 * _n = - arctg

6、 n = arctg n anan 种 n- :幅频谱图：| Cn|-。,相频谱 用Cn画频谱：双边频谱 第一 图： An A n * 丨2 0 2 0 * 1 * 单边频谱 第二种 ImCn- # Cn 2 0 2 0 -* * 1 1 n I * f 2 2 ol 5丨 1 - 0 12厂 -* 1 2 * 1 :实谱频谱图：Recn- ；也就是an-和-bn- 双边频谱 ,虚频谱图: p age break 2-3非周期信号与连续频谱 分两类： a. 准周期信号 定义：由没有公共周期（频率）的周期 信号组成 频谱特性：离散 判断方法：周期分量的频率比（或周期 比）不是有理数 b. 瞬变非

7、周期信号 x(t)* 一、 傅里叶变换 演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成： x(t)的傅里叶变换X( 3 ) 定义x(t)的傅里叶变换X(3 ) xe y Cx(t)etdt X( 3 )的傅里叶反变换x(t)： 1比+ x(t)二丄J X伫怡回* 2兀 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信 号可以分解为角频率连续变化的无数 谐波 1 xe)尹中 的叠加。称xe )其为函数x(t)的频谱密度函 数。 对应关系: Ix (豹)dB le说 2沢 r 1 jn ot 二cne xe )描述了 X的频率结构 xe)的指数形式为 以频率f (Hz)为自变量，因为

8、f=w/(2P)， 得 x ( f x(t)e 3 ftdt _QC x(t)= J X(f)e0ftdf X( f )的指数形式 X(fr |x(f)|e(f) 频谱图 幅值频谱图和相位频谱图: 幅值频谱图 |xe ） 相位频谱图 O 角为 实频谱图Re（ 3 ）和虚频谱图Im（ 3 ） 如果xe）是实函数，可用一张xe）图表示 负值理解为幅值为xe）的绝对值，相 *一冗。 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性 aiXi(t) + a2X2(t)-戸T aiXi(f)+ a2X2(f) （二）对称性 X(t)-戸T x( f) （注意翻转） x(tt0)-戸Tx(f)e0fto （幅值不变，相

9、位随f改变卄to） （四）频移性质 x(t)e0fto-X f0) （注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性 弓反） 1 f x(at)= X() a a （六）微分性质 dtn 戸 T(j2 f )nX(f) （1）卷积定义 oC x(tT y(t)=)y(t 八妙 （2）卷积定理 x(t)”y(t)T X(f)Y(f) x(t)y(t)-乩 X(f)Y(f) 1、 脉冲函数及其频谱 ；一） 脉冲函数： x（t）fx（圳 A (t to) to -/2 定义5函数（要通过函数值和面积两方面定 义） 函数值： t= 0 3；0 oC 脉冲强度（面积） (t)dt 二 1 （二）脉冲函数的

10、样质 1.脉冲函数的采性（相乘）样质: 函数值: t = 0 心3；0 Lo 强度: J_x(t尸(t - to)dt = x(to)J J (t - to)dt = x(to) 结论：1结果是一个脉冲，脉冲强度是x（t） 在脉冲发生时刻的函数值 2 (a) 2.脉冲函数与任意函数乘积的积分 等于该函数在脉冲发生时刻的的值 脉冲函数的卷积性质： 利用结论2 oC x(ty 抵(tp fxf ) (t 八)d oC =x(t) J (t - t )d cC =x(t) (b) 利用结论2 x(ty yt - t0) = J xf 尸(t - t0 八)dT oC =x(t - to)J & (t - to - T )dT =x(t - to) 结论: 平移 （三）脉冲函数的频谱 弋)-乩 (f)= / (t)ej2ftdt= 1 均匀幅值谱 由此导出的其他3个结果 tto)-bT ejft0 （利用时移, 、匕 质） 一 -6 (- f )= $ ( f （利用对称, 、匕 质） ej2%t -上Tt 6 (f- fo) （对上式， 再用频移性