高中数学必修四知识点总结

1、精品文档必修四数学公式概念第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1、一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合Sk 360 , kZ .与角终边垂直的角的集合：S90k 180 ,kZ .1.1.2弧度制2、如图，圆O 的半径为1，的长等于1，AOB 就是 1 弧度的角。ll3、角的弧度数的绝对值是：r变形： lrr其中 半径 r ，圆心角，弧长 l .4、特殊弧度数度0153045607590120135150弧度0523512643122346度180210225240270300315330360弧度75435711264323465、弧长公式： lr“弧度”与

2、“度”计算公式：6、扇形面积公式：S扇形1lr1r 2弧度度180度弧度 180221.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1、如图： OP rx2y 20正弦： sinyxr余弦： cosr正切： tany (x0)x2 三角函数定义域3、三角函数值的符号三角函数定义域sinR.精品文档cosR_+tank , k Z2_+4、诱导公式一sin(k2)sin,cos(k2)cos,tan(k2)tan,其中 kZ.利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为0,2内的三角函数值。5、三角函数线如图， sinyMP,cosxOM , tanATyx6、特殊角的三角函数角度0304560

3、90120 135150 180270 360sin01231321010正弦222222co弦222222tan0313不存3130不存0正切3在3在.精品文档x=y补充 1、如图，角平分线落在一、 三象限线xy 上方，则 sin xcos x .补充 2、如图，当0,2时， sintan证明：S OPAS扇形 OPAS OAT1OAOM121OAATOA222MPATsintan1.2.2 同角三角函数的基本关系7、平方关系： sin 2cos21变形： sin 21cos2， cos21 sin 28、商数关系：sintan变形： sintancos， coss

4、incostan9、推导公式：21 sin2tan2 cos1tan 21 tan2 sincos212 sincos sincos2sincos221.3三角函数的诱导公式公式二：公式三：公式四：sinsin,sinsin,sinsin ,coscos,coscos,coscos ,tantan .tantan .tantan .公式五：公式六：sincos,sincos,22cossin,cossin,22tan1 .tan1 .2tan2tan1.4三角函数图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1、正弦、余弦函数图象.精品文档2、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：ys

5、in x ， x0,2：0,0, 1, 0,31,2, 0,22ycosx ， x0,2： 0,1, 0,1 ,3, 0,2, 1221.4.2正弦函数、余弦函数的性质3fx，如果存在一个非零常数T ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有、对于函数f x Tfx，那么函数f x就叫做周期函数、非零常数 T 就叫做这个函数的周期 。函数 yAsinx及函数 yA cosx的周期 T2.4、重要推论（1）若函数f axf ax ，则 fx 关于 xa 对称；若函数 f axf ax ，则 f x 关于点a, 0 对称 .（2）与周期相关的结论 fxafx ，则函数 fx 的一个周期 T2a ； f

6、xa1，则函数 fx的一个周期 T2a ；fx fxa1x 的一个周期 T2a ；f，则函数 fx fxafxb，则函数 fx 的一个周期 Tab ； fxa1fx，则函数 fx 的一个周期 T4a；1fx f x 关于 xa 和 xb 对称，则 fx 周期 T2 ab ； f x 关于 a,0和 b, 0 对称，则 fx 周期 T2 ab ； fx关于 a,0和 x b 对称，则 fx 周期 T4 ab .5、正弦函数ysin x 的定义域为 R ；值域为1,1.当 x22kk Z 时， y 取最大值 1；当 x22k k Z 时， y 取最小值 1.精品文档6ycosx的定义域为 R ；值

7、域为1,1 .、余弦函数当x 2k k Z时， y 取最大值1x2k k Z时，y 取最小值1.；当7、奇偶性由诱导公式 sinxsin x ， cosxcos x 可知：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。8、对称性（1）正弦曲线对称中心坐标为k , 0kZ ；对称轴方程是 x kk Z .2（2）余弦曲线对称中心坐标为9、单调性k, 0kZ ；对称轴方程是xkkZ .2（1）正弦函数 ysin x 在kkk Z上都是增函数， 其值从 1增大2,222到 1；在k3kkZ上都是减函数，其值从1 减小到1.2,222（2）余弦函数 ycosx 在2k, 2kkZ上都是增函数，其值从1增大到1；

8、在 2k ,2kkZ 上都是减函数，其值从1 减小到1.1.4.3正切函数的性质与图像11、正切函数 ytan x 的定义域是：10、正切函数的图像x x k,k Z .212、周期性由诱导公式 tan xtanx, xR ,x2k, kZ 可知， 正切函数是周期函数，周期是 T.13、奇偶性由诱导公式 tanxtan x, xR ，x2k, kZ 可知， 正切函数是奇函数。.精品文档14、单调性：正切函数在开区间k ,kk Z 内都是增函数。2215、值域：正切函数的值域为R.1.5 函数 yA sinx的图像、对 ysin x，xR图像的影响1函数 ysin x（0 ）的图像，可以看做是把

9、ysin x 的图像上各点向左 （0 ）或向右（0 ）平移个单位得到的。 （可简记为左“”右“”）2、0 对 ysinx图像的影响函数 ysin( x) 的图像上点的横坐标缩短1 或伸长01 到原来的1倍（纵坐标不变）而得到的。3、A A0 对 yA sinx图像的影响函数 yAsinx的图像，可以看做是把 ysinx上所有点的纵坐标伸长( A1) 或缩短 (0A 1)到原来的 A 倍（横坐标不变）而得到。4、 yAsin x，x0,， A0,0的性质k（1）对称轴：令 sinx1 ，即xk， x2(k Z )2（2）对称中心：令 sinx0 ，xk ，k，xk, 0kZ（3）最值： ymax

10、1,x2k ,ymin1, x2k22（4）单调区间：A,均大于 0 以后，将x整体代入、当函数 y Asinxx 0 A0,0 表示一个振动量时，A为振幅 ，2 T5是周期 ， f1是频率 ，x为相位 ，为初相 。T2.精品文档第二章 平面向量2.1平面向量的基本概念2.1.1平面向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。2.1.2向量的几何表示3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。uuur4、向量的模：向量可以用有向线段表示。向量AB 的大小，也uuu

11、ruuur就是向量 AB 的长度（或称模） ，记作AB 或者 a .5、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向不确定，是任意的。6、单位向量：长度等于1 个单位长度的向量，叫做单位向量。7、向量的字母表示：向量在印刷体时，用黑体小写字母a、b、c 、 表示向量；手写时，r r r写成带箭头的小写字母 a、b、c 表示。8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常记作 a / b 。零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有 0 / a .平行向量也叫做共线向量。2.1.3相等向量与共线向量9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。10、共线向量： 任

12、一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义1、三角形法则：如图，已知非零向量a 、 b ，在平面内任uuuruuuruuur取一点 A ，作 AB a ，BCb ，则向量 AC 叫做 a 与 b的和，记作 a b ，即 abuuuruuuruuurABBCAC .对于零向量与任一向量a ，仍然有 0 + a = a + 0 = a2、平行四边形法则：如图，以同一点 O 为起点的两个已知向uuur量 a 、 b 为邻边作 YOACB ，则以 O 为起点的对角线OC 就是 a 与 b 的和。记作 auuurb = A

13、C .3、向量 a 、 b 、 ab 的关系（ 1） a 、 b 都为非零向量（）当 a 、 b 不共线时，.精品文档ababab（）当 a 、 b 共线时，同向，则abab ；反向，则abab（2）当 a 、 b 至少有一个为零向量时，ababab综上所述：当 a 、 b 不共线时，一般地，我们有ababab .4、向量加法（ 1）交换律： a bba（ 2）结合律：abcabc2.2.2向量减法运算及其几何意义5、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a .若 a 、 b 是互为相反的向量，则ab ， ba ， ab0 .6、向量的减法：如图，已知向量a 于 b

14、 ，在平面uuuruuurb ，则内任取一点 O，作 OAa ， OBuuurb ，即 ab 表示的向量从向量b 的终点BA a指向向量 a 的终点的向量。7、向量 a 、 b 、 ab 的关系（ 1） a 、 b 都为非零向量，（）当 a 、 b 不共线时： ababab（）当 a 、 b 共线时，同向，则abab ；方向，则abab（2）当 a 、 b 少有一个为零向量时，ababab综上所述：当 a 、 b 不共线时，一般地，我们有ababab .2.2.3向量乘法运算及其几何意义8、向量的数乘：实数于向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a ，它的长度与方向规定如下：a

15、aaa 结果也是向量a当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0.9、向量满足的运算律设、为实数，则有结合律：aa ；第一分配律：aaa ；第二分配律：abab .特别的，我们有aaa ；abab .精品文档10、数乘向量与原向量之间的位置关系（1）当 a0 时，a 与 a 共线；（2）当 a0 时，a 与 a 同向，则0 ；反向，则0 .11、对于向量 a a0 、 b ，如果有一个实数，使 ba ，那么由向量数乘的定义知，a 与 b 共线。12、共线向量定理（1）判定定理：如果baR ，那么 a / b（2）性质定理：如果a/ b ，

16、a0，那么存在唯一一个实数，使得 ba2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1、 2，使a 1e12e2 .我们把不共线的向量e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。2、两向量的夹角uuuruuur如图，非零向量a 、 b 中，作 OAa ， OBb ，则AOB0o108o 叫做向量 a 与 b 的夹角。如果 a 与 b 的夹角是 90，我们说 a 与 b 垂直，记作 a b .2.3.2平面性量的正交分解及

17、坐标表示3、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解4、如图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实x 、 y 使得axiyj .把 ax, y 叫做向量的坐标表示。2.3.3平面向量的坐标运算5、向量的加减法运算若 ax1 , y1 ， bx2 , y2 ，则 abx1x2 , y1y2 ， abx1x2 , y1y2两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差。6、实数于向量的积若 a x1 , y1， b x2 , y2，则 ax1, y1x1 , y1实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。uuur7、若 A x1 , y1， B

18、 x2 , y2，则 ABx2 x1, y2y1.精品文档一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2.3.4平面向量共线的坐标表示8、设 A x1 , y1， B x2 , y2，其中 b0 ，当且仅当 x1 y2 x2 y10 时，向量 a 、 b 共线。即 a / b （ b0 ）x1 y2x2 y1 0 .2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的含义1、数量积：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量a b cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 agb ，即 agbab cos.其中，是 a 与 b 的夹角。我们规定，零向量与任一向量的数量积为

19、0.即 0 a0 .注意：（ 1） a 、 b 运算结果是数量； （ 2）它在0,为正，,为负。222、根据向量数量积的定义得出的结论（1） a bagb 0（2）当 a 与 b 同向时， agba b ；当 a 与 b 反向时， agba b . 特别的，2a2 或 aa2aga .aga a（3） agba b （共线时取等号）（ 4）求投影，由求夹角，由agba b cosa cosagb.bagba b coscosagba b3、平面向量数量积的几何意义数量积 agb 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影b cos的乘积。4、向量的运算律（1）交换律： agbbga（

20、 2）结合律：a gbagb ag b（3）分配律：ab gcagcbgc2a22agbb2（5） a b g aba2b2（4） a b2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5、平面向量数量积的坐标表示设 A x1 , y1 ， B x2 , y2 ，则 agbx1x2y1 y2 .精品文档也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。6、向量的长度（模）的坐标表示（1）向量的长度（模） ：若 ax, y ，则有2x2y2 ， ax2y2 .a（2）两点间的距离公式：设A 、 B 两点坐标分别为xA ,yA ， xB ,yB，则AB2yByB2xA xA7、两向量垂直的充要条件

21、的坐标表示设 ax1 , y1 ， bx2 , y2，则 a bx1 x2y1 y208、两向量夹角的坐标表示设 a x1 , y1， bx2 , y2， a ， b 的夹角为，则有agbx1 x2y1 y2cosa bx12y12x22y22平面向量补充内容补充 1、平面内不同四点为O, A, B,C ，则A, B, C 三点共线uuuruuuruuur1 或OCOAOBuuuruuur1uuurOCOAOB .特别的，当1uuur1 uuuruuur2时， C 为 AB中点， OCOAOB .2uuuruuuruuur0，则 G 为 ABC 的重心。补充 2、（ 1）若 GAGBGC（ 2

22、）若 A x1,y1， B x2 ,y2， C x3 ,y3，则 G 坐标为xx1x2x33yy1y2y33uuuruuur补充 3、当 PP1PP2 时，则xx1, yy1x2x, y2 yx1x2xx1x2xx1yy1y2yyy1y21.精品文档uuuuuruuuuurx起x终 ,y起y终总结：若 P起 P分P分 P终 ，则.11第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式1、 coscoscossinsin（ C）给出任意角，的正弦、余弦值与其夹角的余弦值之间的关系.称为差角的余弦公式。简记作 C.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式2、两角和的余弦公式coscoscos sinsin（ C）3、两角和（差）的正弦公式sinsincoscossin（ S）sinsincoscossin（ S）4、两角和（差）的正切公式tantantan（ T）1 tantantantantan（ T）1 tantan3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式5、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sincos（ S2）cos2cos2sin 22cos 2112s