高中数学-直线与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系直线的方程斜截式斜率 ky=kx+b不包括垂直于 x 轴的直线纵截距 b点斜式点 P 1(x 1 ,y 1 )y y1 =k（ xx1 ）不包括垂直于 x 轴的直线斜率 k两点式点 P1(x1,y)yy1x不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线1x1和 P 2 (x 2 ,y 2 )y2y1x2x1截距式横截距 a线xy1不包括坐标轴， 平行于坐标轴和过原点的直ab纵坐标 b一般式Ax+By+C=0A、 B 不同时为 0圆的方程标准式： ( xa)2( yb) 2r 2 ，其中 r 为圆的半径，(a, b) 为圆心一般式： x2y 2DxEyF0（D2E 24F0 ） . 其中圆心

2、为D ,E ，22半径为 1D2E24F2， xar cos参数方程 :xr cos(是参数） .消去 可得普通方程yr sinybr sin典型例题例 1.已知一个圆和y 轴相切，在直线 yx 上截得的弦长为2 7 ，且圆心在直线x3 y0上，求圆的方程。练习：求过点A 1,2 和 B 1,10 且与直线 x2y10 相切的圆的方程。练习：已知圆C 和 y 轴相切，圆心在直线x3y0 上，且被直线yx 截得的弦长为27，求圆 C 的方程。点与圆的位置关系：已知点 M222 r 0 ，x0 , y0 及圆 C：x-ay br（ 1）点 M 在圆 C外（ 2）点 M 在圆 C内（ 3）点 M 在

3、圆 C上CMrx2yb22 ；a0r0CMrx2yb22 ；0ar0CMrx02y0b22ar圆的切线(1) 切线：过圆x2y2R2 上 一点 P( x0 , y0 ) 圆 的切线 方程 是： xx0yy0R2 ，过圆( xa) 2( yb)2R2上一点P( x0 , y0 )圆的切线方程是：( x a)( x0 a) ( y a)( y0 a) R2 ，一般地， 如何求圆的切线方程？ （抓住圆心到直线的距离等于半径） ；从 圆外一点引圆的切线一定有两条 ，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知

4、圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就 是 过 两 切 点 的 直 线 方 程 ； 切 线 长 ： 过 圆 x2y2Dx Ey F 0（ ( x a) 2( y b) 2R2） 外 一 点 P( x0 , y0 )所引圆的切线的长为x02y02Dx0 Ey0F （( x0a)2( y0 b) 2R2 ）；例 2.已知圆的方程为x2y2r 2，P(x0. y0 ) 是圆外一点，经过P 点作圆的切线两切线，切点分别为A,B, 求直线 AB 的方程。练习： 写出过圆 x 2y210 上的一点 M(2,6) 的切线方程练习： 设 A 为圆 (x 1)2y21上动点， PA 是圆的切线，且

5、 |PA|=1，则 P 点的轨迹方程为-直线与圆的位置关系：直线 l : Ax ByC0 和圆 C：x2b2r0 有相交、相离、相切。ayr 2可从代数和几何两个方面来判断：（ 1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；d ，则（ 2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d r相交； dr相离； dr相切。 提醒 ：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷例 3. 已知直线方程为xy m 0圆方程为 ( x1)2y21则当 m 为何值时，直线与圆（1）相切 (2) 相离（ 3）相交例 4. 已知 C：(x-1) 2+(y-

6、2)2=2， P(2,-1)，过 P 作 C 的切线，切点为A、B。求切线直线PA、 PB的方程练习： 若直线 (1a) x y 10 与圆 x2y22x0相切，则 a 的值为（d）A. 1 或-1B. 2,或 -2C. 1D. -1练习： 已知过 A(1,0), B(0,2)的直线与圆 (x1)2( ya)21相切，则 a=?练习： 已知圆 C 与直线 x y0 及 x y 4 0 都相切，圆心在直线 x y 0 上，则圆 C 的方程为弦长求法l2（1）几何法： 弦心距 d，圆半径 r ，弦长 l，则 d 2r 2 或者 AB2r 2d 2 .2（ 2）解析法：用韦达定理，弦长公式. 直线

7、ykxb 与圆 ( x a)2( yb)2r 2相交两点 A,B. AB1 k 2 xA xB(1+k2 ) ( xAxB )24xA xB例 5.已知直线 l : ykx 1 ，圆 C： ( x 1)2( y1)29 .(1) 试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C总有两个交点；(2) 当 k 取何值时，直线 l 被圆 C截得的弦长最短，并求出最短弦的长。练习： 已知圆 C： x2y22x 4 y 30 和直线 l ： xy 1 0 ，则圆 C 到直线 l 的距离为 2 的点共有（）A、1个B、 2 个C、3个D、4个例 6. 已知直线 l : ykx2 和曲线 C: y2x2 有两

8、个交点 , 求实数 k 的取值范围 .练习： 圆 x2y28 内有一点 P( 1,2) ， AB 为经过点 P 且倾斜角为的弦。3（1）当时，求弦AB 的长；（ 2）当弦 AB 被点 P 平分时求直线AB 的方程。4练习： 已知直线 ymx与圆 x2y28x6 y210 交于 P, Q 两点， O 为坐标原点，求OP OQ 的值。课后练习 :1设 m0，则直线2( xy)1 m0 与圆 x2y2m 的位置关系为A 相切B相交C相切或相离D相交或相切3(0, a)，其斜率为1,且与圆x2y22,设直线过点相切 则 a 的值为A 2B 2C2 2D 44“ ab ”是“直线 yx2 与圆 (xa)

9、2( yb) 22 相切”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5. 若直线 2axby20(a0, b0) 始终平分圆 x 2y22x4y10的周长 , 则11的最小值为abA 1B 1C 4D4428在坐标平面内，与点A（ 1， 2）距离为1，且与点 B（ 3， 1）距离为2 的直线共有A1 条B2 条C3 条D4 条9若圆（ x3） 2（ y+5）2 r2 上有且只有两个点到直线4x 3y=2 的距离等于1，则半径r 的范围是A. （4， 6）B. 4，6）C.（ 4，6D.4，6（二）填空题：11设 P 为圆 x2y 21 上的动点，则点P 到直线 3x4 y100 的距离的最小值为_ .已知圆 C : (x5) 2y 2r 2(r0)和直线 l : 3xy5 0.若圆C与直线l没有公共12点，则 r 的取值范围是.13设直线 axy30 与圆 (x1)2( y2)24 相交于 A 、 B 两点，且弦 AB的长为23，则 a_14过点（