水平宽铅垂高求三角形面积完整版

1、水平宽铅垂高求三角形面积HEN system office room HEN 16H-HENS2AHENS8Q8-H作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法二次函数教学反思铅垂咼如图，过AABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直 线之间的距离叫AABC的“水平宽” （a）,中间的这条直线在AABC内部线段的 长度叫AABC的“铅垂高”（h）.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： SZXABC二12 ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角 形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风

2、趣地说遇到“歪歪 三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1,过 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫遊 的“水平宽” ）,中间的这条直线在遊内部线段的长度叫的铅垂高”.我们可得岀一种计算三角形面积的新方法：Swc=丄必，即三角形面积等 2例1o（2）束纟yb如图,顺f在直角坐标系申【连结创：将线段妙詡彳的坐标为于水平宽与铅垂高乘积的一半.得到学段0B.”0、B兰点、的抛杨劇祜尿（3） 4（2）中抛物线的对称轴上是否存在点G使疋的周长最小？若存在，求岀点C的坐标；若不存在，请说明理曲.（4）如果点尸是（2）中的抛物线上的动点，且在X轴的下方，那

3、么验是否有最大面积？若有, 求出此时尸点的坐标及別5的最大面积；若没有，请说明理由（2）设抛物线的解析式为尸祗3”，代入点方（1,石），得因此（3）如图，抛物线的对称轴是直线A1,当点。位于对称轴与线段M的交点 时，必疋的周长最小.设直线月万为尸炽b所以J因此直线妙为y =黑亠,3333当沪一1时，尸,因此点C的坐标为(一1, V3/3).(4) 如图，过尸作y轴的平行线交月万于0.当L丄时，5万的面积的最大值为迟此时心，-纠9x/3例2. (2014益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点1, 4),交x轴于点4(3,0), 交y轴于点 (1)求抛物线和直线初的解析式；(2)点尸是抛物线(在第一象限

4、内) 上的一个动点，连结丹1, PB,当尸点运动到顶点。时，求万的铅垂高Q及(3)是否存在一点只使若存在，求出尸点的坐标；若不存O在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：y! =(x-l)2 + 4把A (3,0)代入解析式求得0=-1所以月=-(-1)2 + 4 = -x2 +2x + 3设直线M的解析式为：旳=kx+b由儿=-x2 +2x + 3求得万点的 坐标为(0,3)把 4(3,0), 3(0,3)代入 y2 =kx+b 中 解得:k=f(2)因为C点坐标为(1,4)所以当x=l时，y】 = 4, yz=2所以CD= 4-2=2S1CAB =-x3x2 = 3 (平方单位)2(

5、3)假设存在符合条件的点只 设尸点的横坐标为弘別5的铅垂高为怡 则9h = y y2 =(一对 + 2x + 3) (x + 3)= 一广 + 3x 山53得81 QQQx 3 x (-x2 +3x) = x3化简得：4亍-12x + 9 = 0 解得，x = x = KA2 822比=+2“3中，解得尸点坐标为(|,乎)例3.(2015江津)如图,抛物线y = -x2+bx + c与x轴交于A(l,0),B(- 3, 0)两点，(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该 抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得AQAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐 标；若不存在，请说明

6、理山.(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点匕 使磁的面积最大？,若存在，求出点P的坐标及磁的面积最大值若 没有，请说明理山.解:(1)将 A(l, 0), B(-3, 0)代歹=-x2+bx+c 中得”-l + /? + c=O-9-3b + c = O% = 2抛物线解析式为：y = -x2-2x + 3(2)存在。理山如下：山题知A. B两点关于抛物线的对称轴x = _l对称直线BC与兀=-1的交点即为Q点，此时AAQC周长最小 y = -x2 - 2x + 3C的坐标为：(0, 3)直线BC解析式为：y = x + 3 Q点坐标即为Y = 1AQ(-b 2)y = 2(3)

7、答：存在。理由如下:了9设F点(Xf x 2x + 3) (一3 x 0) . S负。=S四边形= S四边形叭。牙若S四边形肿co有最大值，则比叭就最大S四边形bpco=Sr3pe +悌形peoc = 2 肚 * PE + OE( PE + OC)1 133927=三(x + 3)(对2x + 3) + (-x)(-x 2x + 3 + 3)= 三(x + Y + + 2 2 2 2 2 83 叭 c曰+估_ 927 c 曰+_ 927927|X = -llJ , S闷边形BPCO収人值一牙于瓦 人一匸3 153 15当X = -W，疋2兀+ 3 =上点P坐标为(二，)2424同学们可以做以下

8、练习：1.(2015浙江湖州)已知如图，矩形OABC的长抛物线CP段(不AAOC沿AC翻折得APC。(1) 填空：ZPCB二度，P点坐标为(,)；4(2) 若P, A两点在抛物线y二一一x+bx+c上，求b, c3此抛物线上;(3)在(2)中的的值，并说明点C在包括C, F点)上，是否存在一点M,使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值 及此时M点的坐标；若不存在，请说明理山。2. （湖北省十堰市2014）如图，已知抛物线y =川+加+ 3 （#0）与兀轴交于点J（l, 0）和点B （-3, 0）,与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式；（2） 设抛物线的对称轴与x轴交于点，问在对

9、称轴上是否存在点只 使C0为等腰 三角形？若存在，请直接写岀所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理III- （3）如图，若点尸为第二象限抛物纯上一动点，连接宓CE.求四边形 万血面积的最大值，并求此时疋点的坐标.7图图3. （2015年恩施）如图11,在平面直甦棕谕中，二次函数y = x2+bx + c的图象与 x轴交于川、B/两点，力点在原点的左侧，万点购#标为（3,卩：与y轴交于C （0, -3）点， 点尸是直线应下方的抛物线0 （1）求这个二次函数的表达式（2）连结尸0、PC,并把沿CO翻折，得到四边形POP G 那么是否存在 点只 使四边形POP C为菱形？若存在，请求岀此时点尸

10、的坐标；若不存在，请说 明理山.（3）当点尸运动到什么位置时，四边形如0的面积最大并求出此时尸点的坐标Ay和四边形月肿C的最大面积.解：（1）将5 C两点的坐标代入得乙=一2解得：所以二次函数的表达式为：y = x2-2x-3图11c = 一3（2）存在点只 使四边形POP C为菱形.设尸点坐标为（x,2x-3）, 交00于疋若四边形POP C是菱形，则有 = P0.疗警I （不合题意，舍连结 M 则 PE丄CO于 E /.OE=EO7y=-2.r. x2-2x-3=-1 解得為二 2丁92 2去）.p点的坐标为（寸弓）（3）过点尸作y轴的平行线与交于点0,与0B交于点E设PgW-2x-3）,

11、易得,直线恭的解析式为y = x-3则0点的坐标为（弘x3）21 2)75+ 8当x =-时，四边形月眈的面积最大2（3 1SA的最大值为兰此时尸点的坐标为-二，四边形丽的面积8 .U 4丿25.（2015绵阳）如图，抛物线y二/+ bx + 4与x轴的两个交点分别为月（-4, 0）、B （2, 0）,与y轴交于点G顶点为0 5（1, 2）为线段肚的中点，恭的垂直平分线与x轴、y轴分别交于只G.（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点。的坐标；（2）在直线矿上求一点使创的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当攵运动到什么位置时，耐的面【解析】（1）山题意，得 严一弘+

12、 4 = 0,解得“ =_丄，b二一1 4“ + 2b + 4 = 0,2所以抛物线的解析式为y = -lx2-A- + 4,顶点D的坐标为（一1, ?）.2 2（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG 的对称点为B,连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点乩 使DH + CH最小， 即最小为DH + CH 二 DH + HB 二 BD =yiBM2 +DM1 =-y/3 而2 ACDH的周长最小值为CD + DR + CH二、厅护、订32 所以直线BD的解析式为y二_Jx + 3-由于BC二2 CE二BC/2二$ RtA设直线BD的解析式为y二klx +

13、b,则2k +bx =0,9解得一|, bl = 3.2CEGs/XCOB,得CE : CO = CG : CB,所以CG二，GO = . G (0,).同理可求得直线EF的解 析式为y二丄x +-.2 2联立直线BD与EF的方程，解得使ACDH的周长最小的点H (?,兰).48(3) 如图所示，设K (t,丄八一/ + 4), xFVtVxE.过K作x轴的垂线交EF于2N.则 KN = yK-yN =-1/2-/+4-(丄t +丄)+2 2 2 2 2 2所以 SAEFK 二 SAKFN + SAKNE 二丄KN (t + 3) + 丄KN (1-t)二 2KN 二-f-3t2 224TTr

14、-T U-4 丄土I 坯牛讨,.胡即当t二送时，8FK的面积最大，最大面积为普，此时K却平面直角坐标系中三角形面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题解题时我们要注意其 中的解题方法和解题技巧.1. 有一边在坐标轴上：例1：如图1,平面直角坐标系中，AABC的顶点坐标分别为(一3, 0) ,(0,3) ,(0, -1),求AABC 的面积.分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，AABC的边BC在y 由图形可得BC=4,点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就尾匚耳 A点横坐标的绝对值3,然后根据三角形的面积公式求解.2. 有一边与坐标轴平行：例2：如图2,三角形ABC三

15、个顶点的坐标分别为A (4, 1) , B血匚車匚 1, 2),求ZXABC的面积.r分析：由A (4, 1) , B (4, 5)两点的横坐标相同，可知边AB_ 与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD,就可求得线段 CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.?3. 三边均不与坐标轴平行：彳列3:巳知平面内三点A,BtC的坐标如图所示，求4BC的面积.分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直邇二n 求边长，也无法求高，因此得另想办法.4. _aAABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，I 直线之间的距离叫ABC的“水平宽” (a),中间的这h: A ABC内部线段的长度叫AABC的“铅垂高” (h) 我朮茴理应：也2)水看垂高CU 丄丄农一种计算三角形面积的新方