（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2.3 二次函数与幂函数课件 理

1、2.3 二次函数与幂函数 高考理数高考理数 (课标专用) 五年高考 自主命题自主命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组 考点一二次函数考点一二次函数 1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m() A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 答案答案B本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类 讨论思想. 解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min. 故M-m与b无关. 又a=1时,g(x)max-g(x

2、)min=2, a=2时,g(x)max-g(x)min=3, 故M-m与a有关.故选B. 解法二:(1)当-1,即a-2时,f(x)在0,1上为减函数,M-m=f(0)-f(1)=-a-1. (2)当-1,即-2a-1时,M=f(0),m=f,从而M-m=f(0)-f=b-=a2. (3)当0-,即-1a0时,M=f(1),m=f,从而M-m=f(1)-f=a2+a+1. (4)当-0,即a0时,f(x)在0,1上为增函数,M-m=f(1)-f(0)=a+1. 2 a 1 22 a 2 a 2 a 2 4 a b 1 4 2 a1 22 a 2 a 1 4 2 a 即有M-m= M-m与a有

3、关,与b无关.故选B. 2 2 1(0), 1 1( 10), 4 1 ( 21), 4 1(2). aa aaa aa aa 2.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,那么 mn的最大值为() A.16B.18C.25D. 1 2 1 ,2 2 81 2 答案答案B当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间上单调递减,则n-80n8,于是mn16,则mn无 最大值.当m0,2)时,f(x)的图象开口向下,要使f(x)在区间上单调递减,需-,即2n +m18,又n0,则mnm=-m2+9m.而g(m)=-m2+9m在0,2

4、)上为增函数,m0,2)时, g(m)2时,f(x)的图象开口向上,要使f(x)在区间上单调递减,需-2,即2m+n12,而2 m+n2,所以mn18,当且仅当即时,取“=”,此时满足m2.故(mn)max =18.故选B. 1 ,2 2 1 ,2 2 8 2 n m 1 2 9 2 m 1 2 1 2 1 ,2 2 8 2 n m 2m n 212, 2, mn mn 3, 6 m n 3.(2019浙江,16,4分)已知aR,函数f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|,则实数a的最大 值是. 2 3 答案答案 4 3 解析解析本题考查绝对值不等式的解法及二次函数的

5、最值等相关知识;以三次函数为背景,对不 等式化简变形,考查学生运算求解能力,将不等式有解问题转化为函数值域(最值)问题,考查学 生的化归与转化思想、数形结合思想;突出考查了数学运算的核心素养. |f(t+2)-f(t)|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|6at2+12at+8a-2|3at2+6at+4a-1|-3at2 +6at+4a-1a(3t2+6t+4), 3t2+6t+4=3(t+1)2+11, 若存在tR,使不等式成立,则需a0, 故a(3t2+6t+4)a,+), 只需a,+)即可,0a, 故a的最大值为. 疑难突破疑难突破能够将原绝对值不等式化繁为简,将问题简化为一元

6、二次不等式有解问题,再进一 步转化为值域交集非空是求解本题的关键. 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 4 3 2 4 , 3 3 4 3 4 3 考点二幂函数考点二幂函数 (2018上海,7,5分)已知.若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减, 则=. 1 1 2, 1,1,2,3 2 2 答案答案-1 解析解析本题主要考查幂函数的性质.幂函数f(x)=x为奇函数,可取-1,1,3,又f(x)=x在(0,+)上 递减,0,则幂函数的图象过原点,并且在区间0,+)上为增函数; 如果0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+

7、的 最小值为. 3 a 4 b 5 c 答案答案-2 解析解析设2a+b=t,则2a=t-b,由已知得关于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有 解. 故=9t2-24(t2-c)0, 所以t2c, 所以|t|max=,此时c=t2,b=t,2a=t-b=, 所以a=. 故-+=-+=8=8-2-2. 所以-+的最小值为-2. 8 5 2 10 5 c5 8 1 4 3 4 t 3 8 t 3 a 4 b 5 c 8 t 16 t 2 8 t 2 11 tt 2 11 2t 3 a 4 b 5 c 5.(2015浙江,18,15分)已知函数f(

8、x)=x2+ax+b(a,bR),记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值. (1)证明:当|a|2时,M(a,b)2; (2)当a,b满足M(a,b)2时,求|a|+|b|的最大值. 解析解析(1)证明:由f(x)=+b-,得对称轴为直线x=-. 由|a|2,得1,故f(x)在-1,1上单调, 所以M(a,b)=max|f(1)|,|f(-1)|. 当a2时,由f(1)-f(-1)=2a4, 得maxf(1),-f(-1)2, 即M(a,b)2. 当a-2时,由f(-1)-f(1)=-2a4, 得maxf(-1),-f(1)2,即M(a,b)2. 综上,当|a|2时,M(a,b)

9、2. (2)由M(a,b)2得|1+a+b|=|f(1)|2,|1-a+b|=|f(-1)|2, 故|a+b|3,|a-b|3, 由|a|+|b|=得|a|+|b|3. 当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,|f(x)|=|x2+2x-1|,此时易知|f(x)|在-1,1上的最大值为2,即M(2,-1)=2. 所以|a|+|b|的最大值为3. 2 2 a x 2 4 a 2 a 2 a |,0, |,0, ab ab ab ab 考点二幂函数考点二幂函数 1.(2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x0),g(x)=logax的图象可能是() 答案答案D因为a0,

10、所以f(x)=xa在(0,+)上为增函数,故A错.在B中,由f(x)的图象知a1,由g(x) 的图象知0a1,矛盾,故B错.在C中,由f(x)的图象知0a1,矛盾,故C错.在D 中,由f(x)的图象知0a1,由g(x)的图象知0a1,相符,故选D. 2.(2014上海,9,4分)若f(x)=-,则满足f(x)0的x的取值范围是. 2 3 x 1 2 x 答案答案(0,1) 解析解析令y1=,y2=,则f(x)0即为y1y2.函数y1=,y2=的图象如图所示,由图象知:当0 x1 时,y1y2,所以满足f(x)0的x的取值范围是(0,1). 2 3 x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 考点一

11、二次函数考点一二次函数 1.(2018湖北荆州模拟,8)二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2),f(0)=3,f(2)=1,若在0,m上有最大值3, 最小值1,则m的取值范围是() A.(0,+)B.2,+) C.(0,2D.2,4 三年模拟 A组 20172019年高考模拟考点基础题组 答案答案D二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),其图象的对称轴是x=2,又f(0)=3,f(4)=3,又f(2) f(0),f(x)的图象开口向上,f(0)=3,f(2)=1,f(4)=3,f(x)在0,m上的最大值为3,最小值为1, 由二次函数的性质知2m4.故选D. 2.(2018河南

12、南阳模拟,9)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x1,3,f(x)-m+4恒成立,则实数m的取 值范围为() A.(-,0B. C.(-,0)D. 5 0, 7 5 0, 7 5 , 7 答案答案Df(x)-m+4对于x1,3恒成立即m(x2-x+1)5对于x1,3恒成立.当x1,3时,x2-x +11,7,不等式f(x)-m+4等价于m.当x=3时,取最小值,若要不等式 m对于x1,3恒成立,则必须满足m,因此,实数m的取值范围为,故选D. 2 5 1xx 2 5 1xx 5 7 2 5 1xx 5 7 5 , 7 3.(2019河北唐山模拟,7)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g

13、(x)=x+4,若对任意x1(0,+),存在x2(-,-1, 使f(x1)g(x2),则实数a的最大值为() A.6B.4C.3D.2 答案答案A由题意可知问题转化为f(x)maxg(x)max.f(x)=-x2+ax-6=-(x2-ax)-6=-+-6,当x= 0,即a0时,f(x)在(0,+)上单调递减,f(x)0,即a0时,f(x)max=f=-6.而 g(x)=x+4在(-,-1上单调递增,故g(x)max=g(-1)=3.故或解得a6,所以a的最大 值是6,故选A. 2 2 a x 2 4 a 2 a 2 a 2 a 2 4 a 0, 63, a 2 0, 63, 4 a a 4.(

14、2019广东珠海模拟,6)已知函数y=x2-4x+5在闭区间0,m上有最大值5,最小值1,则m的取值范 围是() A.0,1B.1,2 C.0,2D.2,4 答案答案D设y=f(x)=x2-4x+5.函数y=f(x)=x2-4x+5在闭区间0,m上有最大值5,最小值1,f(x)的 图象的对称轴方程为x=2,f(2)=4-8+5=1,f(0)=f(4)=5,2m4.m的取值范围是2,4.故选D. 5.(2019福建莆田二模,14)若函数f(x)=ax2-(2a+1)x+a+1对于x-1,1时恒有f(x)0,则实数a的取 值范围是. 答案答案 1 , 2 解析解析f(x)0a(x-1)2x-1,当

15、x=1时,aR,当x-1,1)时,a恒成立,a= -.综上可得a-. 1 1x max 1 1x 1 2 1 2 考点二幂函数考点二幂函数 1.(2017江西九江七校联考,4)幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+)上为增函数,则m的值为 () A.1或3B.1C.3D.2 2 68mm x 答案答案B由题意知m2-4m+4=1且m2-6m+80m=1,选B. 2.(2019湖北荆门一模,4)已知点在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是() A.奇函数B.偶函数 C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数 1 2, 2 答案答案A设幂函数y=f(x)=x,把代入函数解析式中,得2=,解得=

16、-1,幂函数f(x)=x-1,x (-,0)(0,+),f(x)是定义域上的奇函数,且在定义域的每个区间内是单调减函数.故 选A. 1 2, 2 1 2 3.(2019河南濮阳二模,4)已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且其图象与两坐标轴都没有交 点,则实数m=() A.-1B.2C.3D.2或-1 2 23mm x 答案答案A函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x5, 其图象与两坐标轴有交点,不合题意;当m=-1时,f(x)=,其图象与两坐标轴都没有交点,符合题 意,故m=-1,故选A. 2 23mm x 4 1 x

17、 B B组组 2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组 时间时间:30分钟分值分钟分值:30分分 一、选择题一、选择题(每题每题5分分,共共15分分) 1.(2019广东揭阳一模,3)已知幂函数f(x)的图象过点,则f(8)的值为() A.B.C.2D.8 2 2, 2 2 4 2 8 22 答案答案A设f(x)=x.幂函数f(x)=x的图象过点,=2,=-,f(x)=,f(8)= =,故选A. 2 2, 2 2 2 1 2 1 2 x 1 2 8 2 4 2.(2018福建模拟,3)已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,则() A.b

18、acB.bcaC.cbaD.aba=0.40.30.30.3b=0.30.4,c=0.3-0.21,baf(x2-2x+2)成 立的x的取值范围是() A.(1,2)B.(-,1)(2,+) C.(-,1)D.(2,+) 答案答案A因f(x)是R上的奇函数且在0,+)上是增函数,所以函数f(x)在(-,0上也是增函数, 则函数在R上为增函数.f(x)f(x2-2x+2)xx2-2x+2x2-3x+20,解得1xx2-2x+2, 由此解得x的取值范围即可得答案. 方法点拨方法点拨利用函数单调性解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f”,变 函数不等式为一般不等式,去掉“f”时,要注意

19、f(x)的定义域限制. 二、填空题二、填空题(每题每题5分分,共共5分分) 4.(2019河北邯郸模拟,16)若正实数a,b满足a+b=1,则函数f(x)=ax2+x-a的零点的最大值为 . 1 3 b 答案答案 985 2 解析解析设f(x)=ax2+x-a的零点为x1,x2,且x1x2, 则x2=, 令t=+=,0b1,求导得t=, 0b时,t时,t0,函数递增, b=时,t取得最小值9,t9, x2=在t9,+)上递减, t=9,即a=,b=时,x2取得最大值. 思路分析思路分析问题转化为求x2=的最大值,令t=+=(0b1),利 用导数法求得t9,+),再利用分子有理化得x2=的单调性

20、,从而可求得最大值. 1 3 b 2 3131 4 2 aabaab 3 a 1 ab 2 31b bb 2 22 321 () bb bb 1 3 1 3 1 3 2 4 2 tt 22 2 (4)(4) 2(4) tttt tt 2 2 4tt 2 3 1 3 985 2 2 3131 4 2 aabaab 3 a 1 ab 2 31b bb 2 4 2 tt 三、解答题三、解答题(共共10分分) 5.(2019山西晋中模拟,18)已知f(x)=ax2-2x+1-a,aR. (1)求f(x)在0,2上的最小值g(a); (2)若关于x的方程f(2x)=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+

21、1+3有正实数根,求实数a的取值范围. 解析解析(1)当a=0时,f(x)=-2x+1在0,2上单调递减, 故最小值g(a)=f(2)=-3. 当a0时,f(x)=ax2-2x+1-a是关于x的二次函数,其图象的对称轴为x=. 当a0时,x=0时,x=0, 当(0,2),即a时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,故最小值g(a)=f=1-a-; 当2,+),即00),则方程变形为t2-at+2=0, 根据题意得,原方程4x-a2x+2=0有正实数根, 即关于t的一元二次方程t2-at+2=0有大于1的实数根, 而方程t2-at+2=0+t=a在(1,+)有实根, 令F(t)=+t,则F(t)

22、在(1,+)上的值域为2,+), 故a2,+). 思路分析思路分析(1)通过讨论a的范围,结合二次函数的性质求出函数的单调区间,求出函数的最小 值即可; (2)化简方程,得到4x-a2x+2=0,令t=2x(t0),问题转化为+t=a在(1,+)有实根,求出a的范围即可. 2 t 2 t 2 2 2 t C C组组 2017201920172019年高考模拟年高考模拟应用创新题组应用创新题组 1.(2019安徽合肥模拟,7)若0ba1,则在ab,ba,aa,bb中最大值是() A.baB.aaC.abD.bb 答案答案C0baaa,babb.故在ab,ba,aa,bb中最大值是ab,故选C.

23、解题关键解题关键本题考查的知识点是指数函数的单调性和幂函数的单调性,熟练掌握指数函数的 单调性和幂函数的单调性与参数的关系是解题的关键. 2.(2019湖南长沙一模,15)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且4c9a,若不等式f(x)0恒成立,则 的取值范围是. (1) (0)( 1) f ff 答案答案(3,+) 1 , 16 解析若不等式f(x)0恒成立,则又4c9a,设x=,y=,则(*),则 =1+,令z=,则z表示区域(*)内的点(x,y)与P(1,-2)连线的斜率,如 图,作出不等式组(*)表示的区域,因为A,所以kPA=-.设直线PB:y=k(x-1)-2与抛物 线相切,联立得x2-4kx+4k+8=0,=16k2-16k-32=0k=-1或k=2,由图可知,z (2,+),所以(3,+). 2 0, 40, a bac b a c a 2 4 , 9 4 xy y (1) (0)( 1) f ff 1 1 xy x 2 1 y x 2 1 y x 9 3, 4 9 2 4 4 17 16 2 4 , (1)2, xy yk x 17 , 16 (1