解析几何中的定点和定值问题讲课稿

1、精品文档解析几何中的定点定值问题考纲解读： 定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。例 1、已知 A、 B 是抛物线y2=2px ( p0) 上异于原点O的两个不同点，直线OA和 OB的倾斜角分别为和，当 、 变化且 +=时，证明直线

2、AB恒过定点，并求出该定点的坐标。yB4AxO例 2已知椭圆 C ：x2y2b0) 的离心率为3，以原点为圆心，22 1(a2ab椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy2 0 相切求椭圆 C 的方程；设 P(4, 0) ， M 、 N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆 C 于另一点 E ，求直线 PN 的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线ME 与 x 轴相交于定点【针对性练习 1】 在直角坐标系xOy 中，点 M 到点 F13,0 ，F23 , 0 的距离之和是 4，点 M 的轨迹是 C 与 x 轴的负半轴交于点A ，不过点 A 的直线 l : ykx b 与轨

3、迹 C 交于不同的两点P和Quuuruuur0 时，求 k 与 b 的关系，并证明直线l 过定点求轨迹 C 的方程；当 AP AQ【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x2y 2A 、B，右焦点91的左、右顶点为5为 F。设过点 T（ t, m ）的直线 TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x1 , y1 ) 、N (x2 , y2 ) ，其中 m0, y10, y20 。（ 1）设动点 P 满足 PF 2PB 24 ,求点 P 的轨迹；（ 2）设 x12, x21，求点 T 的坐标；3（ 3）设 t 9,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。精品文

4、档精品文档【针对性练习 3】已知椭圆 C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为 2 3 （）求椭圆C 的标准方程；（）若直线 l ： y kxm k 0 与椭圆交于不同的两点M、N （ M 、N 不是椭圆的左、右顶点），且以 MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A 求证：直线 l 过定点，并求出定点的坐标例 3、已知椭圆的焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x24 y 的焦点，离心率 e2，过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于 A 、 B 两点。（ I ）求椭圆的标准方程；5（）设点 M ( m,0) 是线段 OF 上的一个动点，且uuuruuuruuur(MA

5、MB )AB ，求 m 的取值范围；（）设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点N，使得 C、B、N三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。二、定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出

6、“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。例 4、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x 轴上，斜率为1 且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、 B 两点， OAOB与a(3, 1) 共线。（ 1）求椭圆的离心率；（ 2）设 M 为椭圆上任意一点，且 OMOA OB ( ,R)

7、 ，证明22为定值。例 5、已知，椭圆 C 过点 A (1,3 ) ，两个焦点为（1，0），（ 1，0）。（ 1）求椭圆 C 的方程；2（ 2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。将第二问的结论进行如下推广：结论 1.过椭圆 x2 +y2 = 1(a 0, b 0) 上任一点A( x0 , y0 ) 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于a2b2E、 F 两点，则直线EF 的斜率为定值b2 x0（常数）。a2 y0精品文档精品文档x2y2结论 2.过双曲线 a2 - b2 = 1(a 0, b 0) 上

8、任一点 A( x0, y0 ) 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于 E、 F 两点，则直线 EF 的斜率为定值 - b2 x0 （常数）。a2 y0结论 3.过抛物线 y2 = 2 px( p 0) 上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F 两p（常数）。点，则直线 EF 的斜率为定值 -y0例 6、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在 y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是 4，椭圆上的点到焦点 F 距离的最大值是 6.( )求椭圆的标准方程和离心率e ；( )若 F 为焦点 F 关于直线 y3M 满足MFe ，问是否存在一个定点A，使M到的对称点

9、， 动点2MF点 A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.例 7、已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 x ( )若点 P 为抛物线的焦点，求抛物线 C 的方程；轴上， P(2， 0)为定点( )若动圆 M 过点 P，且圆心 M 在抛物线 C 上运动，点 A 、B 是圆 M 与 y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线 C，使 |AB| 为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由例 8、已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2 1 ，离心率为e2x 轴上是否存在（）求椭圆 E 的方程；（）过点 1, 0 作直线

10、l 交 E 于 P 、 Q 两点，试问：在2uuuruuuurM 的坐标；若不存在，请说明理由一个定点 M ， MP MQ 为定值？若存在，求出这个定点三、定直线问题例 9、设椭圆 C :x2y22,0) （）求椭圆 C 的方程；a2b2 1(a b 0) 过点 M ( 2,1) ，且焦点为 F1 (（ ） 当过 点 P(4,1)的 动直 线 l 与 椭圆 C 相 交 与两 不同 点 A, B 时 ，在 线段 AB 上 取 点 Q ， 满足uuuruuuruuurguuur，证明：点 Q 总在某定直线上APgAQPBQB例 10、已知椭圆 C 的离心率 e3A1 2,0 ，A2 2,0 。（）

11、求椭圆C 的方，长轴的左右端点分别为2程；（）设直线xmy1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线 A 1 P 与 A 2 Q 交于点 S。试问：当 m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。精品文档精品文档四、其它定值问题例 11、已知双曲线C :x2y20,b0) 的离心率为3 ，右准线方程为 x3 （）求双曲线 Ca22 1(ab3的方程；（）设直线 l 是圆 O : x2y22上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 0) 处的切线， l 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ，证明AOB 的大小为定值 .例 12、己

12、知椭圆 x2y 21（ ab0） ,过其中心 O 的任意两条互相垂直的直径是1 2a2b 2P P 、Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2 与一定圆相切。y探索定圆 ：取椭圆长轴和短轴为两直径，则A2 B2 的方程为P2B 2xy1 ，原点 O到直线 A2 B2 的距离为 rab，aba 2b 2OA 1则与菱形A1 B1 A2 B2 内切的圆方程为 x2y2a 2 b2。Q2B 1a 2b2例 13、已知 P (x0 , y0 ) 是双曲线xya2 (a0) 上的一个定点，过点P 作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1 、P2 两点（异于P 点），求证：直线P1P

13、2 的方向不变。探索定值： 取 P (x0 , a 2 ) ，过 P 点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线x0与曲线的另一个交点P1 (x0 ,a 2) ，其斜率 k PPa 2yx01x 02k PP2x 02PP2 的方程为 yy0x02(x x0 )a 2a 2OPa 2a4x03x02P1把 y,)k P1代入解得 P2 (3a2P2a2（定值）xx0证明 ：设 PP1的斜率为 k21 ，则 PP的斜率为 kQ1A 2xP1P2x PP1的方程为y y0k( xx0 )21( x x0 ) ，与抛物xya2PP 的方程为y y0联立解得kP1(y0a 2 k)、 P2( ky

14、0a2a 2x02（定值）k,) ，从而 kP Py02a 2y0ky01 2精品文档精品文档EX：过抛物线y2=2px（ P0）上一定点（x0,y 0）作两条直线分别交抛物线于A， B 两点，满足直线PA、 PB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。五、练习21、椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，三角形 ABM的三个顶点都在椭圆上，其中M点为（ 1，1），且直线 MA、MB的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线 AB的斜率是定值。分析：（ 1） x2 +2y2=3（ 2） 122、 已知定点 C (1，0) 及椭圆 x23y25

15、 ，过点 C 的动直线与椭圆相交于A，B 两点 . （）若线段 AB中点的横坐标是1 ，求直线 AB 的方程；2（）在 x 轴上是否存在点M ，使MAMB 为常数？若存在， 求出点 M 的坐标； 若不存在， 请说明理由 .分析： M（7 ，0）4393、已知不垂直于 x 轴的动直线 l 交抛物线 y2=2mx（m0）于若其中 Q点坐标为（ -4 ，0），原点 O为 PQ中点。（ 1）证明：A、B 两点，若 A、 B 两点满足 AQP=BQP，A、 P、B 三点线；（2）当 m=2时，是否存在垂直于 x 轴的直线l ，使得 l 被以 PA为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l 的方程。分析

16、：设点AB的坐标（ 2） l ：x=3.4、 已知椭圆 x2y 21(ab 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A、B，且四边形 F1AF2Ba2b2是边长为 2的正方形。（ 1）求椭圆的方程。 （2）若 C、 D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足uuuur uuur）的条件下，试问轴上是否存在异MD CD,连结 CM交椭圆于点 P，证明： OM OP 为值。（ ）在（2xg3于 C 的定点 Q，使得以 MP为直径的圆过直线 DP， MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标。分析：（ 1） x2y2142（ 2）由 O、 M、 P 三点共线，得ymy puuuur uuur，

17、所以 OM OP4x p2g=4uuuuruuur0 ，得（ 3）设 Q点（ a， 0），由 QMDPa=0.g精品文档精品文档5、设 P 为双曲线x2y21(a,b 0) 上任意一点， F1，F2 是双曲线的左右焦点，若uuur uuuur22PF1 gPF2 的最小值ab是 -1 ，双曲线的离心率是23 。（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过双曲线 C 的右焦点F2 的直线交双曲线于3A、 B 两点，过作右准线的垂线，垂足为C，求证：直线AC恒过定点。分析：（ 1） x2y21（ 2）先猜再证：（7 ，0）y1y2 换掉 x1 代入韦达定理得证。方法二：34x17144设 AB：代入方

18、程得：（） y1y24mm23故1y1 y2m23AC： yy1y2(x3)y2 = y1y2x3( y1 y2 )2my1 y2y2 又 2my1y2=- 1 （ y1+y2 ）然后代入韦达3x12my112my1 1222定理得。6、在平面直角坐标系xOy 中,Rt ABC的斜边 BC恰在 x 轴上，点 B( 2,0) ，C（ 2， 0），且 AD为 BC边上的高。(I) 求 AD中点 G 的轨迹方程； (II)若过点 (1,0)的直线 l 与 (I) 中 G 的轨迹交于两不同点 P、 Q，试问在 xuuuruuur求出点 E 的坐标及实数的值； 若不存在，轴上是否存在定点E(m,0) ，

19、使 PE QE 恒为定值？若存在，请说明理由。分析：（ 1）x2y21(y 0)17定值为33不容易先猜出，只能是化简求出。4（ 2） m=6487、已知直线 l 过椭圆 E： x22 y22 的右焦点 F, 且与 E 相交于 P， Q两点。（ 1）uuur1uuuruuur设 OR2(OPOQ) ，求点 R的轨迹方程。（ 2）若直线 l 的倾斜角为60 ，求1111|PF |的值。（当 l 的倾斜角不定时，可证|PF |是|QF |QF |定值。）分析： x22 y2x 0（ 2）可先猜再证 : 2 2精品文档精品文档解析几何中的定点定值问题考纲解读： 定点定值问题是解析几何解答题的考查重点

20、。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。四、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。例 1、已知 A、B 是抛物线2p( p0) 上异于原点 O 的两个不同点，直线OA和 OB的倾斜角分别为y =2 x和 ，当 、 变化且 +=时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。4yB解析 ： 设 A（ y12y1 ）

21、， B（ y22, y2 ），则A2 p2 pxtan2 ptan2 p，代入 tan()1O,y2y1得 2 p( y1y2 ) y1 y24 p2（ 1）又设直线AB的方程为 ykxb ，则ykxbky22 py2 pb0y22 px y1 y22 pb ,y1y22 p ，代入（ 1）式得 b2 p 2 pkkk直线 AB 的方程为 y2 pk (x2 p)直线 AB 过定点（ - 2 p,2 p)说明 ：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从 AB 直线系中看出定点。22例 2【 2010东城一模】已知椭圆 C ： xy1(a b0)

22、 的离心率为3，以原点为圆心，椭圆的a2b22短半轴长为半径的圆与直线xy20 相切求椭圆 C 的方程；设 P(4,0) ， M 、 N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆 C 于另一点 E ，求直线 PN 的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线ME 与 x 轴相交于定点精品文档精品文档2222解析： 由题意知 ec3 ，所以2cab3 ，即24b2，又因为 b1，所以ea1a2a2a 241a24,b21 ，故椭圆 C 的方程为 C ： x2y21 4由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为 yk( x4)yk( x4)联立x2消去 y 得：(4 k

23、21)x232k2x4(16k21)0，y214由(32k 2 )24(4 k21)(64k24)0 得 12k210 ，又 k0不合题意，所以直线 PN 的斜率的取值范围是3k0或0 k3 66设点 N ( x1 , y1 ),E (x2 , y2 ) ，则 M ( x1 ,y1 ) ，直线 ME 的方程为 yy2y2y1 ( x x2 ) ，x2x1令 y0 ，得 xx2y2 ( x2x1 ) ，将 y1k( x14),y2k (x24)代入整理，得 x2 x1 x24( x1x2 ) y2y1x1x28由得 x1x232k 2, x1 x264k24代入整理，得x1，4k22114k所以

24、直线 ME 与 x 轴相交于定点 (1,0) 【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点13 , 0，23 , 0的距离之和是4，点M的轨FF迹是 C 与 x 轴的负半轴交于点A ，不过点 A 的直线 l : ykxb 与轨迹 C 交于不同的两点P和Q求轨迹 C 的方程；uuuruuur0 时，求 k 与 b 的关系，并证明直线l 过定点当 APAQ解：点 M 到3 , 0，3 , 0的距离之和是4 ， M 的轨迹 C 是长轴为4 ，焦点在 x 轴上焦中为2 32的椭圆，其方程为x214yyPOxQ将 y kxb ，代入曲线C的方程，整理得 (14k 2 )x282kx40，因为直线

25、l 与曲线 C 交于不同的两点 P 和 Q ，所以64k2b24(14k2 )(4 b24) 16(4k 2b 21)0设 P x1 , y1， Q x2 , y2 ，则 x1 x28 2k， x1 x2141 4 k24k2精品文档精品文档且 y1 y2(kx1b)( kx2b)(k2 x1 x2 ) kb(x1x2 )b 2 ，显然，曲线 C 与 x 轴的负半轴交于点A2,0 ，所uuuruuuruuuruuur以AP11 ，AQ22由 APAQ 0，得(x12)( x22) y1 y20 x 2 , yx 2 , y将、 代入上式， 整理得 12k216kb5b20 所以 (2 k b)

26、 (6k 5b)0 ，即 b2k或 b6k 经检验，5都符合条件，当 b2k 时，直线 l 的方程为 ykx 2 k 显然，此时直线l 经过定点2 ,0 点即直线 l经过点 A ，与题意不符当b6时，直线 l 的方程为 y kx65kk k x655显然，此时直线l 经过定点6, 0点，且不过点A 综上， k 与 b 的关系是： b6k ，且直线 l 经过定点556点, 05【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x2y 2A 、B，右焦点91的左、右顶点为5为 F。设过点 T（ t, m ）的直线 TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x1 , y1 ) 、N (x2 , y

27、2 ) ，其中 m0, y10, y20 。（ 1）设动点 P 满足 PF 2PB 24 ,求点 P 的轨迹；（ 2）设 x12, x21，求点 T 的坐标；3（ 3）设 t 9,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：（ 1）设点 P（ x， y），则： F（ 2， 0）、 B（ 3， 0）、 A（ -3， 0）。由 PF2PB24 ，得 ( x 2)2y2( x3)2y2 4,化简得 x9。92故所求点 P 的轨迹为直线。x125）、N（1，20（ 2）将

28、x12, x2分别代入椭圆方程，以及y10, y20得： M（2，）3339直线 MTA 方程为： y0x3 ，即 y1x1 ，502333y0x3 ，即 y55直线 NTB方程为：x。200136293精品文档精品文档x7联立方程组，解得：10 ，y3所以点 T 的坐标为 (7, 10) 。3（ 3）点 T 的坐标为 (9, m)直线 MTA 方程为：直线 NTB方程为：y 0 x3 ，即 ym (x 3) ，m09312y0x 3 ，即 ym ( x 3) 。m 09 36分别与椭圆 x2y21 联立方程组，同时考虑到x13, x23 ，953(80m2 )40 m3(m220)20m2 )解得： M(m2,m2)、 N(2,m。808020 m20y20mx3(m220)（方法一）当 x1x2时，直线 MN 方程为：20m220m240m20m3(80m2 )3(m220)80m220 m280m220m2令 y0，解得： x