专题16 几何最值之阿氏圆知识精讲-冲刺2020年中考几何专项复习(1)_第1页
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1、几何最值之阿氏圆知识精讲在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点a、b，若平面内有一动点p满足pa:pb1，则p点轨迹为一条直线（即线段ab的垂直平分线），如果这个比例不为1，p点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作平面轨迹一书中，便已经回答了这个问题。接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究pa：pbk（k1）时p点的轨迹。对于平面内的定点a、b，若在平面内有一动点p且p满足pa：pbk（k1），则动点p的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：借助画板工具我们发现，动点p在运动过程中，pa、pb的长度都在变化，但是

2、pa：pb的比值始终保持不变，接下来我们在深入研究一下！若，设，如图所示：由图可以发现在ab上存在点c使得，在ab延长线上存在点d使得，也就是说，当点p与点c、d重合时，符合条件；当点p不与点c、d重合时，对于任意一点p，连接pa、pb、pc，可得，所以pc为pab一条内角平分线，再连接pd，可得，所以pd为pab一条外角平分线，所以pcpd，即cpd90，所以点p的轨迹是以cd为直径的一个圆.当我们遇到平面内一动点到两定点之比为定值且不为1的情况时，可以在过两定点的直线上按定比确定内分点和外分点，并以之为直径做圆从而确定动点的轨迹.如何具体证明p点的轨迹就是一个完整的圆呢？分别取线段ab的内

3、外分点c、d，再取cd中点o，可得，设，则，由线段位置关系可得acbcbdad，则，解得，.又，即，整理得，即，当点p在一个以o为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：boppoa，对于圆上任意一点p都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取a、b点，则需，就可以构造出上述的a字型相似（详见本专辑的相似模型）.例1、如图，正方形abcd的边长为4，圆b的半径为2，点p是圆b上一动点，则的最小值为 ，的最大值为 .【解答】最小值为5，最大值为5【解析】在bc上取一点g，使得bg1，连接pg、dg，如图所示：pbgpbc，pbgcbp，在pdg中，dppgdg，当d、g、p共线时，的值最小，最小值为；当点p在dg的延长线时，的值最大，如图所示：此时最大值也是dg，最大值为5.例2、如图，半圆的半径为1，ab为直径，ac、bd为切线，ac1，bd2，点p为弧ab上一动点，求的最小值.【解答】【解析】当a、p、d三点共线时，的值最小.连接pb、co，ad与co相交于点m，如图所示：abbd2,bd是o的切线,abd90,badd45,ab是o直径,apb90,pabpba45,papb,poab,ac是o的切线,acab,acpo,cao90acpo1,四边形aopc是平行四边形,而oao

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