§7车辆随机振动基础

1、 9车辆随机振动 车辆的随机振动实际上是车辆运行时的振动响应，这种响应主要是 由于轨道不平顺的随机激励而引起的。 本章主要介绍随机振动以及相关的概念， 以及单轴车模型在随机激 励下响应的基本特征，初步了解车辆随机振动的分析计算方法和改善 车辆运行平稳性的途径。 所讨论的是车辆系统，其结构和参数是对称的，因此垂向和横向的 强迫振动响应是解耦的，可以分别独立研究。 对于机车而言，它产生振动的因素，除线路的构造和状态，轮对的 构造和状态外，柴油机组和输助机组的构造和状态也会起到激扰作用 （对柴油机）；电动机的构造和状态对电力机车也会起到激扰作用。 对车辆和机车的振动过程研究中，可在增加一组外力来反映

2、这些作 用。 第一节 随机过程的统计特性 一、随机过程的统计特性 1. 随机过程的基本概念 一切物理现象可分为两类： 在给定的时间内能确定其物理变量的现象就称为确定性现象； 如 在一静止的车辆上置一激振器，以激起车体在弹簧装置上的 振动，激励力是已知的简谐力F = Fo si，车体受激励而产生的振动 规律由x（t） - /sin（7）来描述。车体在任意时间t的振幅和加速度都 可由计算确定，这种振动称为确定性的振动，它由确定性的激励所引 起。 反之在给定时间t物理变量不能预先确定的现象称为随机现象。 如在任意时间t的振动变量不能预先确定，而只能用概率统计的方 法对其进行整体描述，这种振动称为随机

3、振动。 在随机振动中的一些量如振幅和加速度称为随机变量。 随机变量是在随机试验的结果中能取到不同数值的量。 随机过程：不能用确定性函数来描述但具有一定统计特性的过程称 为随机过程。 随机过程是一簇n个随机变量的总集合。 其中任一个元素称为随机过程的样本。 振动的时间历程：以时间t横坐标，以振动量（位移、速度和加速 X 1(t) t x 2(t) x n(t) t 1t 1+1 t2tm 度)为纵坐标的线图，常称为振动波形图 n 在研究许多随机过程时通常作如下徦设: 1) 平稳性假设 若一随机过程x(t)在任何时间11时的概念统计规律与ti+i 时的一样，即过程的概率统计规律不因时间的推移而改变

4、， 则称x(t)为平稳随机过程； 2) 各态历经性徦设 随机振动的统计特性是考虑全部子样而得到的。如果在任一 时间ti跨越总集合的统计特性与单个子样 Xi(t)的统计特性相 等，则称这个随机过程为各态历经的。 3) 随机振动过程的概率分布符合正态(高斯)分布规律。 二、随机变量的概率密度和均值 为了描述随机过程的特性，采用时域上的各种参数和频域上的参 数来进行。先了解如下概念。 1. 幅值概率密度 (概率的定义：E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每 一事件A赋予一实数，记为P (A),称为事件A的概率，如果 它满足下列条件： 1。 对于每一事件 A有 OW P (A) ： , X(t+

5、T )与X(t)无关，此时, Rx()就衰减到随机变量平均值的平方，或衰减到零。 当二=0时，自相关函数为 上式表明，自相关函数的最大值即等于该随机变量的均方值。 如果X(t)是周期性函数，则其自相关函数也是周期性的。 2.互相关函数 两个不同的平稳随机函数X(t)与y(t)之间的互相关函数定义为： 和RyX( )二 Ey(t)x(t )1 对各态历经过程，可以用样本函数的互相关函数来表示，即 对于大多数随机过程，时差T越大则相关性越弱，当T很大时，可以 认为X与y互不相关，此时有 互相关函数的图线形状和自相关函数相类似，但其左右的对称轴不象 后者是在T = 0时，而是在某一一 T o时互相关

6、函数达到最大值。 (二)、功率谱密度函数 1 .功率谱密度函数 1）从频域上，用功率谱密度函数来描述。 功率谱密度函数用 Wx （f）表示。 用谱密度的均方值对随机变量的频率结构进行描述。对随机振动而 言，表示振动能量在频率域上的分布。 其定义为随机变量x（t）在微小频带宽度：f内的均方值除以带宽 Wx（ f） f:某一窄频的带宽; x f（t）:在甘范围内的变量，即经过带宽为f的窄带滤波器后的变 量，如振动量。（位移、加速度、速度等） Wx（f）中含有x2 （t）项，表示了系统的能量如振动系统的位能。（动能， 粘性阻尼消耗的能量都和振幅的平方成正比）。 故Wx （ f）表示了能量的度量，借用

7、“功率”来命名， 实际上Wx（ f）本身并不包含功率的意思，故称其为均方谱密度函数 更确切。 还被称为：功率谱（power spectral density PSD 自功率谱 谱密度 宽频带的随机功率谱图 频谱图可通过将实测的随机振动的时间历程记录经频谱分析仪得到。 功率谱密度函数的单位：（随机变量单位）2/单位频率。 如 当x（t）是振动位移的时间历程时，其谱密度单位为（位移）2/Hz。 当x（t）是振动加速度的时间历程时，其谱密度单位为（g） 2/Hz。 当x（t）是轨道不平顺波形时，其谱密度单位为（mm） 2 m倜。 功率谱图形的意义： 上式左边为上图中以阴影表示的微面积； 右边为微小宽

8、带f内的均方值。 于是在整个频带范围内由 Wx( f)和横坐标所围的面积就等于全 部宽带内的相应的均方值之和。即等于 x(t)的总的均方值ExT 功率谱的作用： 通过对它的分析，有助于了解随机振动的机理，有助于进行振动 模拟。如已测得轨道不平顺的功率谱，就可对其进行谱型模拟， 用它作激励函数在室内对车辆进行振动模拟试验，由此而得到试 验结果和车辆在实际线路上运行的结果具有相同的特性。 在随机过程理论的推理中，常用傅里叶变换来表明自相关函数和功率 谱密度函数间的关系： s( )Rx( )e“ d.( 1) Rx( ) = SxC )ej(2) SxC )称为自相关函数Rx()的傅里叶变换，而Rx

9、C)则称为Sx( )的傅 里叶逆变换。 在(2)式中令 t = 0 则得 Rx(0) = ： Sx( )d 因 Rx(0) = E X2，故EX2Sx( )d -=0 这样，又得到了均方值E X2 1等于SxC )曲线与横坐标3轴之间 面积的关系式。 上式中的Sx( )称为双边功率谱 Sx( ) -(，d J 33 (， d) 两种功率谱的关系式为 2Sx( )d = Wx (f) df 而 f= 3 /2 ndf=d 3 /2 n 所以，有 Wx (f )= 4 n SxC ) 2. 互功率谱密度函数 两个随机过程的互谱密度函数定义为这两个过程的互相关函数的 傅里叶变换。即 互谱密度的一个重

10、要性质是两者为共轭复数，即 Sxy () = Syx( ) Syx( J = Sxy ( ) 第二节线性系统随机响应的基本特性 当系统的激励与响应可以用线性微分方程描述时，成为线性系统。 若系统方程中的系数不随时间而变，则称为常系数线性系统。 一、线性系统的基本特性 常系数线性系统具有如下特性： 1) 叠加性：若系统的激励函数 Xi(t)单独作用下，对应于某一响应 为 yi(t), 在 Xn(t )作用下的响应为 yn(t),则在 xi ( t) X2(t)、。Xn ( t) 的同时作用下总的响应y(t)为yi(t)、y2(t)。yn(t)之和； 2) 齐次性当激励的输入项按某一倍数变化时，输

11、出量也按同一 倍数变化； 3) 频率保存性系统在频率为3的谐和函数激励下，其响应也具 有相同的频率3 ,不会引起频率的转换，而只能改变相位和振 幅。 线性系统适用于叠加原理，可使问题简化。这样可将系统分解为一 个输出对应于一个输入来研究，然后将响应进行叠加即得系统总的响 应。 二、频率响应函数 线性振动系统受到谐和函数x(t)=xsin 3 t激励时，其响应也具有同频 率的简谐波，但存在相位差，即y(t)=y osin( 31+ ).因此，用振 幅比y。/ X。和相角就可确定系统的传递特性。 频率响应函数或传递函数用 H( 3 )表示 H(3 )的定义：该函数的模等于输出与输入的振幅比，虚部与

12、实部 之比等于相角的正切。即 H(3)= A(3)jB(3) 注意：输出量并不一定就是振幅，是广义的幅值。 yo具有不同的意义时，H(3 )值也不同。 应用复数表示法中的ej=coset + jsincot的关系，可将上面输入和输 出写为 y(t) = H( ) x(t) = H( ) x0ej t 随然是系统对谐和输入的频第响应函数，但在随机输入所引起 的随机振动响应中有十分重要的应用，它决定了系统的响应特性。 (一)单自由度系统受单一激励时的频率响应函数 求HC )的方法M 系统受到轨道不平顺Zv(t)的激励 其动动方程为 取Zv (t)为单位振幅的谐和函数 ej t F (t) 则响应

13、z(t)= H 0 ) ej 1 Hi( )= K + jCo K - M 2 jC 为求出 H ( )的模 令 E= K, F= Cw , G= K m3, H= Cw 则 HQ)= E jF G jH (E jF )(G - jH ) _ (EG FH ) j(FG - EH ) (G jH )(G - jH )G2 H 2 H1C)的模为: EG +FH卡 Lg2+h2 丿 FG - EH lG2 +H 2 e2 + f2 .G2 H2 2 2 K +(g) 2 2 2 (K - M ) (C ) 将z(t)代入上面方程| Zv(t) 再进行下面代换：令系统的自振频率为 P,减振因素为D

14、，频率比为 r,则有 D JK D C P= D =r = M2MPP 将上式分子分母各除以K，经演算后得 上式为车体振幅与线路波形振幅之比的扩大倍率。 (二)、单自由系统受多个激励时的频率响应函数 仍以上图为例，除有轨不平顺产生的激励外，簧上部分还作用有垂 向激振力F(t) 系统的方程为MZ CZ KZ =CZv - KZV - F(t) 该系统的Hi()已求得，以下求F(t)作用的频率响应函数H2(T 现令乙(t) = 0, F (t) = ejt5代入上式得 1 H2( ) = K-M.2 jC . 2 为求其模将上式写成 H2(J=(KKMM2)2j(；)2=A()-jB() 于量有

15、H2)|YA2)+B2(Krug)： Y【(K -MB2)2 +(8)2 2 当系统受到多个激励时，便会有多个频率响应函数，其中每一个都可 按求H2()的方法单独求出。 以上讨论的是系统输出位移的频率响应函数，对于输出的是振动速度 和加速度时可如下处理； 若系统输出的是y(t)=y osin( 31+ )，输入的是x(t)=xgsint，贝S 有 y(t) = y 0 cos( 3 t+ )y(t) = yo 2sin( t+ ) 于是，振动速度和加速度的频率响应函数分别为 三、系统响应的谱密度 随机过程理论表明：对于线性系统，如果输入的函数是平稳随机过程 而且是各态历经的和呈正态分布的，则输

16、出的振动响应也是平稳的、 各态历经的和呈正态分布的。 如单个输入函数x(t)的谱密度为Sx(3),输出函数y(t)的相应谱密 度为Sy( 3)，则有下列重要关系存在： 12 2 Sy()=|HSx(eo)( 1) 当有两个输入函数时有： Sy(3 )= HiC)Hi(.)Sxi HiC)H2C)Sx1x2C) H2C)Hi(.)SX2xie.) H2C )H2( )Sx2 ( ) (2) 式中 Hi(),H2(J分别为Hi(),H2)的复数共轭； SxiC ), Sx2 C )分别为Xi(t),X2(t)输入的谱密度； Sx1x2 ( ), Sx2x ()分别为xi (t), X2 (t)输入

17、的互谱密度。 当有n个输入函数时，则相应的式子为： n n Sy (JH r C ) H S C )Sxrxs C )( 3) r =1 s z! 对于单个输入的情况 有 Sy( ) = H；( )Hi( )Sx() 因复数和它的复共轭的乘积等于该复数模的平方，故有(1)式 对于互不相关的各个输入，其互谱密度均为零，由式(3)可得 n Sy (豹)=区 Hr )| Sxr )( 4) r =1 由3式与4式比较，互谱密度为零时，计算响应的谱密度要简单得多。 因此，只要互谱密度很小，在工程计算中往往略运河不计。 四、系统响应的均方值 若已知系统的响应谱密度Sy( )，则其均方值可按下式求得: (

18、5) Ef L . . Syf Od 对于单个输入，有 对于多个互不相关的输入，有 即此时系统总的均方响应值为各个输入产生的响应均方值之总和。 如多个输入之间存在着相关关系时，就需用(3)式求出相应的谱密 度SyC )，然后再用式(5)求出响应的均方值。 (6) 对于单个输入的响应加速度均方值有: =Sy ( )d 式中的Sy” = S () 即导出得到，过程加速度的谱密度是原振动位移谱密度的倍 同样有振动速度的谱密度是原振动位移谱密度的倍。 有此重要关系，就可从已知的输入谱密度 Sx( )通过以上关系式 计算出响应速度和加速度的均方值。而后者正是计算车辆响应和评定 平稳性所必须的。 例 由上图系统为例计算其响应的均方值。Sf ( ) 这里仅考虑由F(t)的激励引起的响应。 设F(t)的谱密度为常数，即Sf ( ) = So。 输入谱密度 利用H 2C )= 1 K - M 2 jC 3 n0+3 n 3 频响函数 可得出输出的谱密度为： 见图_J 3 n0+ 3 n 输出谱密度 输出的均方值为： 这种形式的定积分可