【Word版导学案】学案32

1、血东方工咋愛孩2备裸処制作* % X1EX学案32数列的综合应用导学目标：1通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问 题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生 活中的应用.东方工作宴.核Z.备棵纽制咋ff f： x-cx1. 数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学 内容相联系的综合问题.解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会.(1) 数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法.(2) 转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转

2、化为等 差、等比数列或常见的特殊数列问题.(3) 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的.(4) 分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由Sn求an时，要对 进行分类讨论.2. 数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数 学模型.(1) 建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求 an还是求Sn.(2) 分期付款中的有关规定 在分期付款中，每月的利息均按复利计算； 在分期付款中规定每期

3、所付款额相同； 在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增 值； 各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一 次付款的利息之和.自我检测1.（原创题）若Sn是等差数列an的前n项和，且S8- S3 = 10,则S11的值为（）A . 12B . 18（2011汕头模拟）在等比数列an 中,C. 22D. 44anan+J 且 a7a11=6, a4+a14=5，则抵等于( )D.A.|3. 若an是首项为1，公比为3的等比数列，把an的每一项都减去2后，得到一个新 数列bn，设bn的前n项和为Sn,对于任意的n N*，下列结论正确

4、的是（）1A . bn+1= 3bn，且 Sn= 2（3n C. bn+1= 3bn+ 4,且 Sn= 一 1) 2n1B . bn+ 1= 3bn 2,且 Sn= qS- 1)东方工咋窒核2备课爼制件1D . bn+ 1= 3bn 4，且 Sn=一 1) 2n4“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在 点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（）A . 10秒钟B . 13秒钟C . 15秒钟D . 20秒钟5. （2011台州月考）已知数列an的通项为

5、an= +8，则数列an的最大项为（）A .第7项B .第8项C .第7项或第8项D .不存在6. （2011南京模拟）设数列an , bn都是正项等比数列，Sn, Tn分别为数列lg an与lg bn的前 n 项和，且 S = c n .，贝V Iogb5a5=.Tn 2n + 1探究点一等差、等比数列的综合问题东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A % H魅亶1 设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和.已知S3= 7,且ai+ 3,3a2, a3 + 4构成等差数列.求数列an的通项；(2)令 bn= ln a3n+i, n= 1,2,求数列bn的前 n项和 Tn.变式迁移1假设ai,

6、a2,a3,a4是一个等差数列，且满足0ai4 :b432:b2b4= 256.其中正确命题的个数是()A . 1B . 2C. 3D . 4探究点二数列与方程、函数、不等式的综合问题Io1 f： x-cx2, 1 * 列an满足 ai = 1, an+1 = f , n N ,(2011温州月考)已知函数f(x)=2x+ 33x，数(1) 求数列 an的通项公式；(2) 令 Tn = a1a2 a2a3+ a3a4 a4a5+一 a2na2n+1, 求 Tn；(3) 令 bn=(n2), b1 = 3, Sn= b1+ b2+-+ bn,若 Sn对一切 n N 成立,an1an2求最小正整数

7、m.变式迁移2已知单调递增的等比数列an满足：a2+ a3+a4=28，且a3+ 2是a2,a4的等差中项.(1) 求数列 an的通项公式；1(2) 若 bn= anlogan, Sn= b1 + b2+ bn，对任意正整数 n, Sn+ (n+ m)an+10 恒成立， 试求m的取值范围.探究点三数列在实际问题中的应用3（2011福州模拟）有一个下岗职工，1月份向银行贷款10 000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%,每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若

8、贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？变式迁移3假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房， 预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50万平方米那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2011年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?（参考数据：1.084 1.36,1.085 1.47,1.086 1.59）东看工咋盖核备课制作A f： X-CZ1. 数列实际应用问题：（

9、1）数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容， 解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.（2）在试题中常用的数学模型有构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式求解；通过归纳得到结论，用数列知识求解.2 解决数列综合问题应体会以下思想及方法：（1）数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质（多为单调性）.（2）数列与不等式结合时需注意放缩.（3）数列与解析几何结合时要注意递推思想.（满分：75分）一、选择题（每小题5分，共25分）1 a9 k aio1. （2010湖北）已知等比数列an

10、中，各项都是正数，且a1,2a3,2a2成等差数列，则2 a7 十 a8的值为（）A . 1 2B. 1 , 2东方工咋愛核2备裸纽*1冷A % XXC. 3 + 22D. 3 - 2/22. （2011漳州模拟）数列an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且 a6= b7,则有（）A . a3+ a9 b4+ bioC. a3+ a9M b4 + bioD. a3+ a9与 b4 + bio 的大小不确定Si p S2Sn3. 有限数列A: ai, a2,，an, Sn为其前n项和，定义 为A的凯森和”，若有99项的数列ai, a2,，a99的凯森和”为i 000,则有i00项的数列i

11、, ai, a2,， a99的凯森和”为（）A . i 00iB . 99iC . 999D . 9904. 有一种细菌和一种病毒， 每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和i00个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（）A . 6秒B . 7秒C . 8秒D . 9秒5. 已知数列an, bn满足ai= i，且an, an i是函数f（x） = x2 bnx+ 2n的两个零点，贝Vbi0等于（）A . 24B . 32C . 48D . 64题号i2345答案、填空题（每小题4分，共i2分）2 2 6 . （20ii丽水月考）若数列an的通项公式

12、an= 5 2n 2 4 5 n i,数列an的最大项为第x项，最小项为第y项，则x y=.7 . （20i0 苏）函数y = x2（x0）的图象在点（ak, ak）处的切线与x轴的交点的横坐标为 ak+i,其中 k N*, ai= i6,则 ai+ a3+ a5 =.&把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.设aj （i, j N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第 i行、从左往右数第j个数，如a42= 8.若aij = 2 009,则i与j的和 为.i2 43 5768 i0 i29 ii i3 i5 i7i4 i6 i8 20 2224三、解答题洪38分）ix9 . （i2分）

13、（20ii湘潭模拟）已知点（i, 3）是函数f（x） = a （a0，且a i）的图象上一点，等 比数列 an的前n项和为f（n） C,数列 bn（ bn0）的首项为C,且前n项和Sn满足Sn Sn-1 = ,Sn +、Sn-i（n 2）.（i）求数列an和 bn的通项公式；ii 000若数列-的前n项和为Tn,问满足Tn的最小正整数n是多少？bnbn + i2 009i0. （i2分）沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技 术改造.乙企业的经营现状是： 每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维 修费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元.甲公司决定投

14、资400万元扶持改造乙企业.据 预测，改造后乙企业第一个月收入为i6万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长U制柞*需工齐応东方工作畫核2备课纽制作50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收 益？1 11. (14分)(2011广东执信中学模拟)已知函数f(x)满足f(x+ y) = f(x) f(y)且f=勺 当n N*时，求f(n)的表达式;设 an= n f(n), n N*，求证：a1 + a2 + a3+ an2自我检测1 . C 2.B3.C4.C5.B96価

15、课堂活动区例1解题导引1等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.2. 利用等比数列前 n项和公式时注意公比 q的取值.同时对两种数列的性质，要熟悉它 们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解.解(1)由已知得a1+ a2+ a3= 7(a1 + 3) + (a3+ 4)23a2,解得a2= 2.设数列an的公比为q,由a2 = 2,2可得 a1 = q, a3 = 2q.2又 S3= 7,可知 q+ 2+ 2q= 7,M2 1 即 2q 5q + 2=

16、0.解得 q1 = 2, q2 =由题意得 q1, q = 2,a1 = 1.故数列an的通项为an= 2n1.(2)由(1)得 a3n+ 1= 23n,.bn= ln a3n+1 = ln 23n= 3nln 2.又 bn+1 bn= 3ln 2 , /. bn是等差数列,.Tn= b1 + b2 + + bn牟看工作n(b1 + bn) 3n(n+ 1)In 2.故 Tn=呼in 2.变式迁移1 D设ai, a2, a3, a4 的公差为 d，贝U a1+ 2d= 4,又 0a12，所以 1d5，所以 b4= 2a432，故正确；又 a2 + a4= 2a3= 8,所以 b2b4= 2a2

17、 + a4= 28= 256, 故正确.例2 解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项故(1)正确；a2= a3 d (2,3)，所以 b2 = 2a24，故正确；a4 =an ,观察Tn特点，求出Tn. 由解(1) / an+ 1 = f 1anan再求bn从而求Sn,最后利用不等式知识求出m.an+ 3 2+ 3an2=an+ 3，an2二an是以3为公差的等差数列.厂.21又 a1 = 1,- - an = 3门 + 3.(2)Tn= aia2 a2a3 + a3a4 a4a5+ 一a2na2n +1=a2(a1 a3)+ a4(a3 a5)+ + a2n(a2n

18、1 a2n+1)5 4n 14 4n3+ + 3=3(a2 + a4 + + a2n) = 3 242=9(2n + 3n).12 13n + 31(3) 当 n2 时，bn = 21an1an2n 13n 3=9=2 2n 1 2n + 1 91又 b1 = 3=1 3 ,二 Sn= b1 + b2+ + bn9 ,111_12335 2n 1 2n + 1=9X 1 3 + 3 5+ +=9 1 = 9n2 2n+ 1 2n + 1m 2 001T Sn 2n +1 2.22,即m 2 010. 最小正整数 m= 2 010.变式迁移2解 设等比数列a*的首项为a1，公比为q. 依题意，有

19、 2(a3 + 2) = a2 + a4,代入 a2 + a3+ a4= 28,得 a3= 8.aq+ a1q3 = 20, -a2+ a4= 20. 21q= 2，或2a1 = 32.a3= a1q = 8,q= 2,解之，得a1= 2- an = 2n.q = 2,又an单调递增，a1= 2.1(2) bn = 2n log2n= n 2n,- Sn= 1 X 2+ 2 X 22 + 3 X 23 + + n X 2n. 2Sn= 1 X 22 + 2 X 23 + 3 X 24 + + (n 1) X 2n+ n X 2n+ 1.一，得 Sn= 2+ 22 + 23+ + 2n n 2n

20、+12(1 一 2n)=n 2n+1 = 2n+ 1 n 2n+1 2.1 2由 Sn+ (n + m)an+10,即2n+1 n 2n+ 1 2+ n 2n +1+ m 2n+10对任意正整数n恒成立,1 m 2n+12 2n+1对任意正整数n, m 1, mW 1,即m的取值范围是(一 , 1.例3解依题意，第1个月月余款为a1 = 10 000(1 + 20%) 10 000 X 20% X 10% 300=11 500,第 2 个月月底余款为 a2= a1(1 + 20%) a1 X 20% X 10% 300, 依此类推下去，设第 n个月月底的余款为an元，第 n+ 1 个月月底的余

21、款为 an+1 元，贝U an +1 = an(1 + 20%) anX 20% X 10% 300 = 1.18an300.下面构造一等比数列.an+1 + X设=1.18，贝U an+1 + x= 1.18an+ 1.18x,an+ Xan+ 1 = 1.18an + 0.18x.* 宾 X1EX0.18x= 300.5 000-5 000 加 an+13x=3，即 5 000 = 1.18.an 二一二数列an 5y0是一个等比数列，公比为1.18，首项 ai 5y= 11 500 50029 5003. an警=警 x 1.18n 1,.5000 =沁 X 1.18111233， a1

22、2 = 5-300 + 29500X 1.1811 62 396.6(元),3 3即到年底该职工共有资金62 396.6元.纯收入有 a12 10 000(1 + 25%)=62 396.6 12 500= 49 896.6(元).变式迁移3解(1)设中低价房的面积形成的数列为an,由题意可知an是等差数列，其中 a1= 250, d= 50,则 an= 250 + (n 1) 50= 50n+ 200,n(n 1)Sn = 250n +X 50= 25na2= f(2) c f(1) c = 9,+ 225n,令 25n2+ 225n 4 750 ,即n2 + 9n 190 0，而n是正整数

23、， n10.到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列 bn,由题意可知bn是等比数列，其中 b1= 400, q= 1.08,则 bn= 400 (1.08)n 1.由题意可知 an0.85bn,即 50n+ 200400 (1.08)n 1 0.85.当 n= 5 时，a50.85b6,满足上述不等式的最小正整数n为6.到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.课后练习区1 . C 2.B3.B4.B5.D6. 37.218.1071 19.解 (1) / f(1) = a= 3, f(x

24、) = 3 x.(1分)1a1 = f(1) c= 3 c,2a3= f(3) c fc = 27；4_281 21又数列an成等比数列，a1 = - = 2 = 3 =1 c,27 c= 1 ；a2 121 1（2.分）(3分)Sn+-Sn Sn 1 = ( Sn =PSn+S1 1 (n2),又 bn0 ,S1O, .JSn、:Sn1= 1.数列 Sn构成一个首项为1、公差为1的等差数列, Sn = 1 + (n 1) X 1 = n, Sn = n2.当 n2, bn = Sn Sn1 =(n 1)2= 2n 1;又当n= 1时，也适合上式，-bn= 2n 1, n N 1 1 1 1(2) Tn =+ , , + +b1b2 b2b3 b3b4bnbn+ 11（4分）(6-分)1 1 1= + + + +1 X 3 3X 5 5X 7(2n 1) X (2n+ 1)1 1