【Word版导学案】学案14

1、东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A % H魅亶学案14 导数在研究函数中的应用0导学目标：1了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次 ）2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件，会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次 ）及最大（最小）值.1 导数和函数单调性的关系：若f (x)0在(a,b)上恒成立，则f(x)在(a,b)上是函数，f(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；若f (x)0在(a,b)上恒成立，则f(x)在(a,b)上是函数，f(x)0,且f (x)在(a, b)的任何子区间内都不恒等于零？ f

2、(x)在(a,b)上为函数，若在(a, b)上，f (x) w 0,且f (x)在(a, b)的任何子区间内都不恒等于零？ f(x)在(a, b)上为函数.2 函数的极值(1) 判断f(xo)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点xo处连续时， 如果在xo附近的左侧，右侧，那么f(xo)是极大值； 如果在xo附近的左侧 ，右侧，那么f(xo)是极小值.(2) 求可导函数极值的步骤 求f (x)； 求方程的根； 检查f (x)在方程的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .自我检测1.已知f(x)的定义域为 R , f(x)的导函数f

3、(x)的图象如图所示，则( )东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A % H魅亶A.B.C.D.2( )A.C.f(x)在x= 1处取得极小值 f(x)在x= 1处取得极大值 f(x)是R上的增函数 f(x)是(一8, 1)上的减函数，(2009 广东)函数(1 ,+8 )上的增函数f(x) = (x 3)ex的单调递增区间(-, 2)(1,4)3.(2011济宁模拟)已知函数y= f(x)，其导函数y= f (x)的图象如图所示，则y= f(x)(B (0,3) D . (2 ,+8 )A .在(-8,0)上为减函数B .在x= 0处取极小值C.在(4,+8 )上为减函数D .在x= 2处取极大值44.

4、 设 p： f(x) = x3 + 2x2 + mx+ 1 在(-8, +8 )内单调递增，q： m-，则 p 是 q 的()3A .充分不必要条件B .必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. (2011福州模拟)已知函数f(x)= x3 + ax2 + bx+ a2在x= 1处取极值10,则f(2)=探究点一函数的单调性已知 a R，函数 f(x) = (-x2 + ax)ex(xR, e为自然对数的底数).(1)当a = 2时，求函数f(x)的单调递增区间;若函数f(x)在 (1,1)上单调递增，求a的取值范围；函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范

5、围；若不能，请说明理由.变式迁移 1(2009 浙江)已知函数 f(x)= x3+ (1 a)x若函数 f(x)= ax3 bx+ 4,当 x= 2 时，函数f(x)有极值 a(a+ 2)x+ b(a, b R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是一3，求a, b的值；若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.探究点二函数的极值东方工咋窒核心备课爼制作1 f： x-cx(1) 求函数f(x)的解析式;若关于x的方程f(x) = k有三个零点，求实数 k的取值范围.变式迁移2 设x= 1与x= 2是函数f(x)= aln x+ bx2 + x的两个极值点.(1

6、)试确定常数a和b的值；试判断x= 1, x= 2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.探究点三求闭区间上函数的最值东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A % H魅亶变式迁移3已知函数f(x) = ax3 + x2+ bx(其中常数a, b R), g(x) = f(x)+ f (x)是奇函 数.(1) 求f(x)的表达式；(2) 讨论g(x)的单调性，并求 g(x)在区间1,2上的最大值和最小值.分类讨论求函数的单调区间WJ工作堂核心备裸纽制作A $： X-CX1(12分)(2009辽宁)已知函数f(x)=寸x2- ax+ (a- 1)ln x, a1.(1) 讨论函数f(x)的单调性；f

7、xi 一 f x2(2) 证明：若 a 1.xi x2(1)先求导，根据参数a的值进行分类讨论；若 X1X2，结论等价于 f(Xl) + Xlf(X2)+ X2,若 X1X2，问题等价于 f(Xl)+ Xlf(X2)+ X2，故问 题等价于y=f(X)+ X是单调增函数.【答题模板】(1)解f(x)的定义域为(0 , + 8 )a 1 x2 ax+ a 1 x 1 x+ 1 a f (x) = x a += X =X.2 分若a 1 = 1，即卩a= 2时，f (x)=x 1故f(x)在(0 ,+8 )上单调递增. 若 a 11，故 1a2 时，则当 x (a1,1)时，f (x)0，故 f(

8、x)在(a1,1)上单调递减，在(0, a 1), (1, +)上单调递增.若a 11，即a2时，同理可得f(x)在 (1, a 1)上单调递减,在(0,1), (a 1,+ 8)上单调递增.6分证明 考虑函数g(x)= f(x) + X=2x2ax+ (a 1)ln x+ xa 1 心 / a 1则 g (x)= x (a 1) +2 . x x (a 1)由于 1a0 ,即g(x)在(0, + 8)上单调递增,从而当 X1X20 时，有 g(X1) g(X2)0 , 即 f(X1 ) f(X2) + X1 X20 ,f X1 f X2X1 X2故 1.10 分 东方工作窒核2备徐U制件f

9、X1 f X2 f X2 f xi当 0Xi一 1.Xi X2X2 xif Xi f X2综上，若 a1.12 分X1 X2【突破思维障碍】(1) 讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准；(2) 利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而 解决不等式问题.1. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域；求f (x)，令f (x)= 0,求出它在定义域内的一切实根；把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定

10、义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数f( x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f (x)在各个开区间内的符号，根据f (x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2. 可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点 X0一定满足f (X0)= 0,但当f (xi) = 0时，Xi不一定是极值点.如 f(x) = x3，f (0) = 0,但 x = 0不是极值点.可导函数y= f(x)在点X0处取得极值的充要条件是f (X0)= 0,且在X0左侧与右侧f (x)的符号不同.3. 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，

11、函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的. 函数的极值可以有多有少， 但最值只有一个，极值只能在区 间内取得，最值则可以在端点取得， 有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.东看工作畫核2备课纽制作 XTCX4. 求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1. (2011大连模拟)设f(x), g(x)是R上的可导函数，f (x)、g (x)分别为f(x)、g(x)的 导函数，且 f (x) g(x) + f(x)g (x)0，则

12、当 axf(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C. f(x)g(x)f(b)g(b)2函数f(x)的定义域为开区间(a, b),D导函数.f(x)g(x)f(a)g(a)f (x)在(a, b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(ab)内有极小值点( )A . 1个B . 2个C. 3个D . 4个3. (2011嘉兴模拟)若函数y= a(x3 x)在区间今,上为减函数，则a的取值范围33是( )东方工昨莖核业备课纽制作A. a0C. a1血车方工作鱼樓心备裸纽*1冷1a00a0恒成立，则实数 m的取值范围C.3m 23mw 23m-3m-5. 设a R，若函数y= eax

13、 + 3x, x R有大于零的极值点，则 )题号12345答案C.B. a 31D. a 31a 3、填空题(每小题4分，共12分)A.x2 + a6. (2009 宁)若函数f(x) =1在x= 1处取极值，则 a =.I I7. 已知函数f(x)的导函数f (x)的图象如右图所示，给出以下结论： 函数f(x)在(2, 1)和(1,2)上是单调递增函数； 函数f(x)在(2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数； 函数f(x)在x = 1处取得极大值，在 x= 1处取得极小值； 函数f(x)在x = 0处取得极大值f(0).则正确命题的序号是 .(填上所有正确命题的序号).&已

14、知函数f(x) = x3 + mx2 + (m+ 6)x+ 1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为.三、解答题(共 38分)2x+ 19. (12分)求函数f(x)= -2+2的极值.x +厶10. (12分)(2011秦皇岛模拟)已知a为实数，且函数f(x) = (X2 4)(X a).(1)求导函数f，(x)；若f，( 1) = 0,求函数f(x)在2,2上的最大值、最小值.11. (14分)(2011汕头模拟)已知函数f(x)= x3+ mx2 + nx 2的图象过点(一1, 6)，且 函数g(x) = f，(x) + 6x的图象关于y轴对称.(1)求m, n的值及函数y =

15、f(x)的单调区间；若a0,求函数y= f(x)在区间(a 1, a+ 1)内的极值.答案自主梳理1. (1)增增(2)减减 (3)增 减 2.(1)f，(x)0f，(x)0f，(x)0(2)( f，(x)= 0 f，(x)= 0极大值极小值自我检测1. C 2.D3.C4.C5. 18解析f，(x) = 3x2 + 2ax+ b,f 1 = 10,1 + a+ b+ a2= 10,由题意即f， 1 = 0,3 + 2a+ b = 0,得 a = 4, b = 11 或 a = 3, b= 3.但当a= 3时，f，(x)= 3/ 6x + 3 0,故不存在极值, a= 4, b= 11, f(

16、2) = 18.课堂活动区东方工咋畫核2备课纽作1 解题导引一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解函数在定义 域内存在单调区间，就是不等式f (x)0或f (x) 0(或f (x)0，即(x2+ 2)ex0,T ex0, . x2 + 20,解得.2x 0 对 x ( 1,1)都成立.T f (x)= x2 + (a 2)x + aex x2 + (a 2)x+ aex 0 对 x (1,1)都成立.t ex0, x2 + (a 2)x+ a0 对 x ( 1,1)都成立，即 x2 (a 2)x a3.h 1 w 02若函数f(x)在 R上

17、单调递减，则 f (x)w 0 对 x R 都成立，即x2 + (a 2)x+ aex0 ,.x2 (a 2)x a0 对 x R 都成立.= (a-2)2+ 4a 0,即即 a2+ 40对x R都成立，即x2 + (a- 2)x+ aex0对x R都成立.ex0 ,x2 (a 2)x a w 0 对 x R 都成立.而x2 (a 2)x a 0不可能恒成立，故函数f(x)不可能在R上单调递增.综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数.变式迁移1 解 由题意得f (x) = 3乂 + 2(1 a)x a(a + 2),又f 0 = b= 0f 0 = a a+2 = 3解得 b= 0, a=

18、 3 或 a= 1.a + 2由 f (x)= 0,得 xi= a, X2= -3又f(x)在(1,1)上不单调，1a1,即a+ 2a + 2-代-亍1 , 或a + 2吐-1a1,5a1,解得1 或1a工2，a工夕一 1 1所以a的取值范围为(一5, 2)U ( , 1).例东方工昨堂核2备课纽作* XTCX解题导引 本题研究函数的极值问题利用待定系数法，由极值点的导数值为0，以及极大值、极小值，建立方程组求解判断函数极值时要注意导数为 0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值.1a= 3,b= 4解 由题意可知f

19、(x)= 3ax2 b.f 2 = 12a b = 0，是4 ，解得f 2 = 8a 2b + 4 = 31故所求的函数解析式为f(x) = 3X3 4x+ 4.(2) 由 (1)可知 f (x) = x2 4= (x 2)(x+ 2) 令 f (x) = 0 得 x= 2 或 x= 2,当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表所示:x(m， 2)2(2,2)2(2 ,+)f (x)+0一0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增东方工作窒核2备课纽制作因此，当x=- 2时，28f(x)有极大值,4当x = 2时，f(x)有极小值一3,所以函数的大致图象如图，故实数k的取值范围

20、为428(3，Ra变式迁移 2 解(l)f (x) = -+ 2bx+ 1 ,xf1 = a+ 2b + 1 = 0af2 = 2+ 4b + 1 = 02 1.解得 a = 3, b= 6*2 xx 1 x 2(2)f (x)= 3x+(3) +1 = 3x函数定义域为(o,+ g)，列表x(0,1)1(1,2)2(2,+ )f (x)0+0f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减x= 1是f(x)的极小值点，x= 2是f(x)的极大值点.血东方工作愛核心备裸纽剧作A 宾 X1EX东方工咋窒核2备裸纽制件A X-CX(2)由(1)，得 f(x) = x3+ 2x2 4x+ 5, f (x

21、)= 3x2 + 4x 4.2令 f (x) = 0,得 x = 2 或 x = 3,2f (x)0的解集为 一2, 3，即为f(x)的减区间.23, 2)、3，1是函数的增区间.295又 f( 3) = 8, f( 2)= 13, f 3 = 27, f(1) = 4,95 y= f(x)在3,1上的最大值为13,最小值为27.变式迁移3解 由题意得f (x)= 3ax2 + 2x+ b. 因此 g(x)= f(x) + f (x) = ax3 + (3a + 1)x2+ (b + 2)x+ b.因为函数g(x)是奇函数，所以g( x) = g(x)，即对任意实数 x,有 a( x)3+ (

22、3a+ 1)( x)2+ (b + 2)( x) + b=ax3 + (3a+ 1)x2+ (b + 2)x + b,1从而 3a + 1 = 0, b= 0,解得 a= 3, b= 0,1因此f(x)的表达式为f(x)= x3+ x2.由知 g(x) = fx3+ 2x,所以 g (x) = x2 + 2,令 g (x) = 0,解得 X1=2, x2 =2,则当 x ,2时，g (x)0,从而g(x)在区间(a, . 2), ( . 2,+)上是减函数；当一一2x0 ,从而g(x)在区间(一.2,.2)上是增函数.由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x = 1,2,

23、2时取得,而 g(1) = 3，g( 2)=节，g(2)=3.因此g(x)在区间1,2上的最大值为 g( .2)=爸2，4最小值为g(2) = 3.课后练习区1. C 2.A3.A4.A5.B6. 3 x2 + a解析Tf (x)=()x+ 1x2+ a x+1 x2+ a x+ 1 x2+ 2x ax+ 1x+ 1东看工咋窒核2备课爼制件又1为函数的极值， f (1) = 0.-1 + 2 x 1 a = 0，即 a = 3.7. 解析观察函数f(x)的导函数f (x)的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断.8. ( s, 3)U (6,+s )解析 f (x) = 3x2 + 2mx+ m+ 6= 0 有两个不等实根，贝V = 4m2 12x (m+ 6)0, m6 或 m 3.2x + 1 2 x+ 2 x 19. 解 f (x) = () =22 ，由 f (x)= 0 得 x= 2,1.(4分)x2+ 2x2+ 2 2当x (s, 2)时f (x)0，故x= 2是函数的极小值点,1故f(x)的极小值为f( 2) = ； (8 分)当 x ( 2,1)时 f (x)0,当 x (1 ,+s )时 f (x)0，得 x2 或 x0,故f(x)的单调递增区间是(一s, 0)U (2, + s)；由