点到直线的距离

1、点到直线的距离一、教材分析1、“点到直线的距离” 是人教版全日制普通高级中学教科书 （必修）数学 第二册（上）第七章第 3 节两直线位置关系的第四部分，其主要内容是：点到直 线的距离公式的推导及应用。2、“点到直线的距离公式”是在学习了两点间的距离公式、直线方程、两 直线的位置关系以及用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合” 的数学 思想方法基础上， 进一步研究如何用点的坐标和直线方程求点到直线距离的重要 工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到了定量的认 识。它是点线位置关系、 线线位置关系的桥梁， 是我们以后研究圆锥曲线与直线 位置关系的基础。3、由于全日制普通高级

2、中学数学教学大纲 （试验修订版）删减了三角 函数中的一些同角三角函数的基本关系式，用平面解析几何 （必修）的方法 推导此公式显得繁琐， 因此教科书借助于直角三角形的面积公式， 推导出点到直 线的距离公式。4、按教参安排，本部分内容分为两课时，第一课时侧重于公式的推导及记 忆；第二课时侧重于公式的应用。本节授课内容为第一课时。二、教学目标根据以上分析结合我校学生实际，我确定了本节课的教学目标如下：1、知识目标：使学生掌握点到直线的距离公式的推导及其初步应用。2、能力目标 ：1）使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点，并能熟练运用这一公式；（2）培养学生综合应用知识解决问题的能力；（ 3）培养学

3、生数形结合、 转化、 化归的数学思想， 培养学生研究探索能力。3、德育渗透目标（1）培养学生团队合作精神；（2）培养学生个性品质，鼓励学生勇于探索新知；（3）通过对公式推导思路的探索、评价，优化学生的思维品质，体会数学 的美学意义，培养学生辩证统一的思想。三、教学重难点1、重点：点到直线的距离公式的推导及其结论以及简单的应用。2、难点：点到直线的距离公式的推导。 在教材中，公式的推导使用了解析法或解析法结合平面几何、三角等知识， 推导过程中渗透了多种数学思想（数形结合、转化、化归等） 。而高二的学生刚 刚学习解析几何，对解析法不够熟练， 综合应用知识解决问题的能力不高。 因此， 公式的推导既是

4、重点也是难点。四、教法与学法 根据本节课的内容特点，结合我校学生实际水平，我使用了以下教法与相 关学法指导：（一）教学方法1、启导法：本法属于启发式教学，它符合教学论中的自觉性、积极性、巩 固性、可接受性， 教学与发展相结合， 教师的主导作用与学生的主体地位相统一 等原则，在教学中引导学生探索公式推导的思路并完成公式推导， 培养学生思维 的灵活性、严密性等，渗透教学思想。其关键是通过教学中的引导、启发，充分 调动学生学习的主动性。2、教具：多媒体（二）学法指导1、使用接受学习与发现学习相结合的学习方法， 鼓励学生通过尝试、 探索、 筛选，确定解决问题的方案。2、让学生体验问题解决的思维过程，掌

5、握思考、讨论、交流的学习方法。3、通过公式推导思路的优化，深化学生对数形结合思想的理解，提高学生 转化问题的能力。五、教学过程情景创设：多媒体演示点到直线的距离的生活实例 （利用多媒体画面形象 生动的特点，激发了学生的学习兴趣）1、课题引入老师提问：点到直线的距离是什么？ 学生回答：点到直线的垂线段长度。引例 ：求点 P（3，4）到下列直线的距离L1：X 1 L 2：Y2 L 3： XY+30学生比较容易地求出了点 P 到 L1、L2的距离，但点 P 到 L3的距离不便于计 算。（多媒体演示）学生求点 P到L3的距离的思路：先求过点 P且垂直于 L3的垂线 PQ的方程； 再联立直线 PQ、L3

6、 求垂足 Q（两直线的交点）；最后用两点间距离公式求 PQ设计意图 ：使学生巩固已学过的知识和方法，同时为下面问题的解决 作铺垫。2、新课内容：教师提出问题：“求点 P（X0,Y0）到直线 L:AX+BY+C0 的距离”。 问题的解决：先考虑 A0，B0 的情形。方案一的教学： 学生类比引例，产生了这种思路：先求垂线的方程，再联 立方程求交点的坐标，最后用两点间的距离公式求解。教师让学生自己动手（点明本方法难在求 Q点坐标），学生动手求解并发现 在这里只使用了解析法运算非常繁琐， 那么如何化繁为简呢？ （多媒体演示解题 过程）设计意图：（1）让学生体会由特殊到一般的解题差异。 （2）让学生在思

7、路自然的方法上遇到困难时能思考用其它 方法解决问题。方案二的教学： 老师引导学生变换角度去思考，观察图形。 老师设问：要求的是垂线段的长，在平面几何中如何求线段的长呢？ 学生回答：构造直角三角形老师进一步设问：怎样构造直角三角形呢？（老师引导学生观察图形，抓住直角特征，构造以垂线段为一直角边的直角三角形）老师让学生分组讨论并将结果整理出来，此时出现了多种解决方案，大家共同探讨决定：确定过一点作坐标轴的平行线构造图形如图，过点 P作Y轴平行线并交 L于点 S（X0，Btan= ,AX0+B Y2+C=0，即： Y2 A PS =Y0 Y2 =Ax0 By0 C sin =tan21 tan2A2

8、 B2 PQ = PSsin = Ax0 By0 C22A2 B2Y2）,则设计意图：（1）让学生在活跃的氛围中探求更多知识，培养了学生的团队合作精神2）张扬学生个性，培养学生的个性品质。方案三的教学 ：在方案二的实施基础上，自然引出本方案，着重体现等积 法，重点强调等价转化的数学思想。过点 P作 X轴的平行线，交 L于点 R（X1，Y0），作 Y轴的平行线，交 L于点S（X0，Y2），1+B Y0+C=00+B Y2+C=0By0 C Ax0 C，Y2ABPR=X0X1AX 0 BY0 CAPS =Y0 Y2= AX 0 BY0 C=BRS= PR 2 PS2= A2B 2ABAX0 BY0

9、 Cd RS= PR PS d=Ax0 By0 C A2 B2设计意图：（1）本方案同教材保持一致，让学生在自学的基础上进一步加深印象。（2）培养学生用等价转化的数学思想解决问题。补充说明通过实例讨论当 A0或B0的特殊情形（引例），指出当 A0或 B0时，公式仍然成立，在实际解题时，可画图直接求解，也可套用公式。通过对特殊情形的讨论，培养学生思维的严密性，渗透分类讨论的数学思想。 （多媒体演示并 说明公式仍然成立）回顾公式的推导过程，师生共同分析三个方案的不同：方案 1：用解析法，求垂线方程，联立方程求交点 Q，用两点间的距离公式 求 PQ ，它是用方程的方法来解决几何问题，也就是解析几何首

10、先倡导的“以数 论形”的思想方法的具体应用，它思路简单，但运算较繁。方案 2：用解析法结合平面几何、 三角的知识， 构造以垂线段为一直角边的 直角三角形，通过解直角三角形，求 PQ ，这说明在用解析法时应注意数形结合， 综合应用平面几何、三角等知识化繁为简。方案 3：所用方法有一定技巧，同样结合了平面几何、三角的知识，着重体 现在等面积法上，强调了等价转化的数学思想。通过三种方案的比较， 使公式的推导得以升华， 培养了学生思维的深刻性。 然后师生共同探讨总结出公式特征，即如下几点：（一） 公式的结构特征 ：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得 到的代数式加绝对值，分母是A2 B2（二）

11、公式的适用范围 ： 、该公式对于任何位置的点 P（包括直线上的点）及任意直线都适合； 、当 A0或 B0时，公式仍然成立，但计算时常用图形直接求解。（三）使用公式时应注意的问题 ：应先将直线方程化为一般式3、例题分析 （首先回顾引例，然后看以下例题）例 1：求点 P（ 1，2）到下列直线的距离（ 1）X3Y20（2）3X2（ 3）X3Y70（4）Y102X例2：点 A（m，4）到直线 3X4Y10的距离为 21，求 m。5老师引导学生求解，让学生掌握公式，但又不能局限于公式，同时使学生对公式的适用范围也有了充分的理解。 ）4、练习反馈求原点到下列直线的距离（ 1）3X2Y260（2）XY求下列

12、点到直线的距离（1）A（2，3），3X4Y30（2）B（1，0）， 3XY 3 04（3）C（1， 2），Y= 4 X3 已知点 A（a,6 ）到直线 3X4Y 2的距离 d取下列各值，求 a 的值：（ 1）d4（2）d4（学生解题，老师点评，让学生巩固点到直线的距离公式。 ）六、教学总结1、本节课的重点放在点线距离公式的推导和应用上，难点放在点线距离公 式的推导上，并让学生认识转化思想和等价思想，从而突出重点，突破难点。2、在教学过程中通过设问、解问，运用逐步递进的方法，充分调动学生学 习的积极性、主动性，让学生学会学习，学会探索，学会创新。体现学生的主体 作用和教师“授之予渔”的主导作用。3、通过本节课的学习，学