数控系统的插补原理与刀具补偿原理

1、整理课件1 第三章第三章 数控系统的插补原理与刀具数控系统的插补原理与刀具 补偿原理补偿原理 3.1 概述概述 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 3.4 数字增量插补法数字增量插补法 3.5 刀具补偿原理刀具补偿原理 3.6 进给速度和加减速控制进给速度和加减速控制 整理课件2 3.1 概述概述 3.1.1 插补的概念插补的概念 在数控机床中，刀具是一步一步移动的。刀具（或机床在数控机床中，刀具是一步一步移动的。刀具（或机床 的运动部件）的最小移动量称为一个脉冲当量。脉冲当量是的运动部件）的最小移动量称为一个脉冲当量。脉冲当量是 刀具所能移动的最小单位

2、。在数控机床的实际加工中，被加刀具所能移动的最小单位。在数控机床的实际加工中，被加 工工件的轮廓形状千差万别，各不相同。工工件的轮廓形状千差万别，各不相同。 下一页 返回 整理课件3 3.1 概述概述 所谓插补是指数据密化的过程，数控系统根据给定的数所谓插补是指数据密化的过程，数控系统根据给定的数 学函数，在理想的轨迹或轮廓上的已知点之间进行数据点的学函数，在理想的轨迹或轮廓上的已知点之间进行数据点的 密化，来确定一些中间点的方法。密化，来确定一些中间点的方法。 数控系统中，完成插补运算的装置叫插补器。根据插补数控系统中，完成插补运算的装置叫插补器。根据插补 器的结构可分为硬件插补器和软件插补

3、器两种类型。器的结构可分为硬件插补器和软件插补器两种类型。 下一页上一页返回 整理课件4 3.1 概述概述 在计算机数控（在计算机数控（CNC）系统中，由软件（程序）完成插）系统中，由软件（程序）完成插 补工作的装置，称为软件插补器。软件插补主要由微处理器补工作的装置，称为软件插补器。软件插补主要由微处理器 组成。通过编程就可完成不同的插补任务，这种插补器结构组成。通过编程就可完成不同的插补任务，这种插补器结构 简单，灵活多变。现代计算机数控（简单，灵活多变。现代计算机数控（CNC）系统，为了满足）系统，为了满足 插补速度和插补精度越来越高的要求，采用软件与硬件相结插补速度和插补精度越来越高的

4、要求，采用软件与硬件相结 合的方法，由软件完成粗插补，由硬件完成精插补。合的方法，由软件完成粗插补，由硬件完成精插补。 下一页上一页返回 整理课件5 3.1 概述概述 3.1.2 常用插补方法常用插补方法 根据输出信号方式的不同，软件插补方法可分为脉冲插根据输出信号方式的不同，软件插补方法可分为脉冲插 补法和数字增量插补法两类。补法和数字增量插补法两类。 脉冲插补法是模拟硬件插补的原理，它把每次插补运算脉冲插补法是模拟硬件插补的原理，它把每次插补运算 产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。每发产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。每发 出一个脉冲，工作台就移动一个基本长度单

5、位，即脉冲当量。出一个脉冲，工作台就移动一个基本长度单位，即脉冲当量。 输出脉冲的最大速度取决于执行一次运算所需的时间。该方输出脉冲的最大速度取决于执行一次运算所需的时间。该方 法虽然插补程序比较简单，但进给速度受到一定的限制，所法虽然插补程序比较简单，但进给速度受到一定的限制，所 以用在进给速度不很高的数控系统或开环数控系统中。脉冲以用在进给速度不很高的数控系统或开环数控系统中。脉冲 插补法最常用的是逐点比较插补法和数字积分插补法。插补法最常用的是逐点比较插补法和数字积分插补法。 下一页上一页返回 整理课件6 3.1 概述概述 使用数字增量插补法的数控系统，其位置伺服通过计算使用数字增量插补

6、法的数控系统，其位置伺服通过计算 机及检测装置构成闭环，插补结果输出的不是脉冲，而是数机及检测装置构成闭环，插补结果输出的不是脉冲，而是数 据。计算机定时地对反馈回路采样，得到的采样数据与插补据。计算机定时地对反馈回路采样，得到的采样数据与插补 程序所产生的指令数据相比较后，用误差信号输出去驱动伺程序所产生的指令数据相比较后，用误差信号输出去驱动伺 服电动机。采样周期各系统不尽相同，一般取服电动机。采样周期各系统不尽相同，一般取10ms左右。左右。 采样周期太短计算机来不及处理，而周期太长会损失信息从采样周期太短计算机来不及处理，而周期太长会损失信息从 而影响伺服精度。这种方法所产生的最大进给

7、速度不受计算而影响伺服精度。这种方法所产生的最大进给速度不受计算 机最大运算速度的限制，但插补程序比较复杂。机最大运算速度的限制，但插补程序比较复杂。 下一页上一页返回 整理课件7 3.1 概述概述 另外还有一种硬件和软件相结合的插补方法。把插补功另外还有一种硬件和软件相结合的插补方法。把插补功 能分别分配给软件和硬件插补器：软件插补器完成粗插补，能分别分配给软件和硬件插补器：软件插补器完成粗插补， 即把加工轨迹分为大的段；硬件插补器完成精插补，进一步即把加工轨迹分为大的段；硬件插补器完成精插补，进一步 密化数据点，完成程序段的加工。该法对计算机的运算速度密化数据点，完成程序段的加工。该法对计

8、算机的运算速度 要求不高，并可余出更多的存储空间以存储零件程序，而且要求不高，并可余出更多的存储空间以存储零件程序，而且 响应速度和分辨率都比较高。响应速度和分辨率都比较高。 下一页上一页返回 整理课件8 3.1 概述概述 根据被插补曲线的形式进行分类，插补方法可分为直线根据被插补曲线的形式进行分类，插补方法可分为直线 插补法、圆弧插补法、抛物线插补法、高次曲线插补法等。插补法、圆弧插补法、抛物线插补法、高次曲线插补法等。 大多数数控机床只有直线、圆弧插补功能。实际的零件廓形大多数数控机床只有直线、圆弧插补功能。实际的零件廓形 可能既不是直线也不是圆弧。这时，必须先对零件廓形进行可能既不是直线

9、也不是圆弧。这时，必须先对零件廓形进行 直线直线-圆弧拟合，用多段直线和圆弧近似地替代零件轮廓，圆弧拟合，用多段直线和圆弧近似地替代零件轮廓， 然后才能进行加工。然后才能进行加工。 上一页返回 整理课件9 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 所谓逐点比较插补法，就是每走一步都要和给定轨迹上所谓逐点比较插补法，就是每走一步都要和给定轨迹上 的坐标值比较一次，看实际加工点在给定轨迹的什么位置，的坐标值比较一次，看实际加工点在给定轨迹的什么位置， 上方还是下方，或是在给定轨迹的外面还是里面，从而决定上方还是下方，或是在给定轨迹的外面还是里面，从而决定 下一步的进给方向。走步方向总是向着逼近给定轨迹

10、的方向，下一步的进给方向。走步方向总是向着逼近给定轨迹的方向， 如果实际加工点在给定轨迹的上方，下一步就向给定轨迹的如果实际加工点在给定轨迹的上方，下一步就向给定轨迹的 下方走；如果实际加工点在给定轨迹的里面，下一步就向给下方走；如果实际加工点在给定轨迹的里面，下一步就向给 定轨迹的外面走。如此每走一步，算一次偏差，比较一次，定轨迹的外面走。如此每走一步，算一次偏差，比较一次， 决定下一步的走向，以逼近给定轨迹，直至加工结束。决定下一步的走向，以逼近给定轨迹，直至加工结束。 下一页 返回 整理课件10 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 逐点比较插补法是以阶梯折线来逼近直线和圆弧等曲线逐点比

11、较插补法是以阶梯折线来逼近直线和圆弧等曲线 的。它与规定的加工直线或圆弧之间的最大误差不超过一个的。它与规定的加工直线或圆弧之间的最大误差不超过一个 脉冲当量，因此只要把脉冲当量取得足够小，就可满足加工脉冲当量，因此只要把脉冲当量取得足够小，就可满足加工 精度的要求。精度的要求。 在逐点比较插补法中，每进给一步都必须进行偏差判别、在逐点比较插补法中，每进给一步都必须进行偏差判别、 坐标进给、偏差计算和终点判断四个节拍。如图坐标进给、偏差计算和终点判断四个节拍。如图3-1所示为所示为 逐点比较法工作循环图。下面分别介绍逐点比较法直线插补逐点比较法工作循环图。下面分别介绍逐点比较法直线插补 和圆弧

12、插补的原理。和圆弧插补的原理。 下一页上一页返回 整理课件11 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 3.2.1 逐点比较法直线插补逐点比较法直线插补 1偏差函数偏差函数 以平面第以平面第象限为例，如图象限为例，如图3-2所示。所示。OA是要插补的直是要插补的直 线，加工的起点坐标为原点线，加工的起点坐标为原点O，终点，终点A的坐标为的坐标为A( , )。 直线直线OA的方程为的方程为 设点设点P( , )为任一加工点，若点为任一加工点，若点P正好位于直线正好位于直线OA上，上， 则：则： 下一页上一页返回 x x y y a a a x a y i a a i x x y y i x i y

13、 整理课件12 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 即即 若加工点若加工点P在直线在直线OA的上方（严格地说，在直线的上方（严格地说，在直线OA与与y 轴所成夹角区域内），那么下述关系成立：轴所成夹角区域内），那么下述关系成立： 若加工点若加工点P在直线在直线OA的下方（严格地说，在直线的下方（严格地说，在直线OA与与x 轴所成夹角区域内），那么下述关系成立：轴所成夹角区域内），那么下述关系成立： 下一页上一页返回 0 aiia yxyx 0 aiia yxyx 0 aiia yxyx 整理课件13 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 设偏差函数为设偏差函数为 （3-1） 综合以上分析，可

14、把偏差函数与刀具位置的关系归结为综合以上分析，可把偏差函数与刀具位置的关系归结为 如表如表3-1所示。所示。 下一页上一页返回 aiia yxyxyxF),( 整理课件14 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 2进给方向与偏差计算进给方向与偏差计算 插补前刀具位于直线的起点插补前刀具位于直线的起点O。由于点。由于点O在直线上，由表在直线上，由表 3-1可知这时的偏差值为零，即：可知这时的偏差值为零，即： =0 （3-2） 设某时刻刀具运动到点设某时刻刀具运动到点P1 (,)，该点的偏差函数为：，该点的偏差函数为： （3-3） 下一页上一页返回 0 F aiiai yxyxF 整理课件15 3

15、.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 若偏差函数大于零，由表若偏差函数大于零，由表3-1可知，这时刀具位于直线上可知，这时刀具位于直线上 方，如图方，如图3-3a所示。为了使刀具向直线靠近，并向直线终点所示。为了使刀具向直线靠近，并向直线终点 进给，刀具应沿轴正向走一步，到达点进给，刀具应沿轴正向走一步，到达点P2( , )。P2 点的坐标由下式计算：点的坐标由下式计算： 刀具在点刀具在点P2处的偏差值为：处的偏差值为： 利用式利用式(3-3)可把上式简化成可把上式简化成 （3-4） 下一页上一页返回 1i x 1i y ii ii yy xx 1 1 1 aaiiaaiiaaiiai yyxy

16、xyxyxyxyxF )() 1( 111 aii yFF 1 整理课件16 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 若偏差函数等于零，由表若偏差函数等于零，由表3-1可知，这时刀具位于直线上。可知，这时刀具位于直线上。 但刀具仍沿轴正向走一步，到达点但刀具仍沿轴正向走一步，到达点P2。偏差值计算与。偏差值计算与 大于零相同。大于零相同。 若偏差函数若偏差函数 小于零，由表小于零，由表3-1可知，这时刀具位于直线可知，这时刀具位于直线 下方，如图下方，如图3-3b所示。为了使刀具向直线靠近，并向直线终所示。为了使刀具向直线靠近，并向直线终 点进给，刀具应沿轴正向走一步，到达点点进给，刀具应沿轴正

17、向走一步，到达点P2( , )。 P2点的坐标由下式计算：点的坐标由下式计算： 刀具在点刀具在点P2处的偏差值为：处的偏差值为： 下一页上一页返回 i F i F 1i x 1i y 1 1 1 ii ii yy xx aaiiaaiiaaiiai xyxyxyxyxyxyxF )() 1( 111 整理课件17 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 利用式利用式(3-3)可把上式简化成可把上式简化成 （3-5） 式式(3-2)、式、式(3-4)和式和式(3-5)组成了偏差值的递推计组成了偏差值的递推计 算公式。与直接计算法算公式。与直接计算法(式式3-1)相比，递推法只用加相比，递推法只用加

18、/减法，减法， 不用乘不用乘/除法，计算简便，速度快。递推法只用到直线的终除法，计算简便，速度快。递推法只用到直线的终 点坐标，因而插补过程中不需要计算和保留刀具的瞬时位置。点坐标，因而插补过程中不需要计算和保留刀具的瞬时位置。 这样减少了计算工作量、缩短了计算时间，有利于提高插补这样减少了计算工作量、缩短了计算时间，有利于提高插补 速度。直线插补的坐标进给方向与偏差计算方法如表速度。直线插补的坐标进给方向与偏差计算方法如表3-2所所 示。示。 下一页上一页返回 aii xFF 1 整理课件18 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 3终点判断终点判断 由于插补误差的存在，刀具的运动轨迹有可能

19、不通过直由于插补误差的存在，刀具的运动轨迹有可能不通过直 线的终点线的终点A( , )。因此，不能把刀具坐标与终点坐标。因此，不能把刀具坐标与终点坐标 相等作为终点判断的依据。相等作为终点判断的依据。 可以根据刀具沿、两轴所走的总步数来判断直线是否加可以根据刀具沿、两轴所走的总步数来判断直线是否加 工完毕。刀具从直线起点工完毕。刀具从直线起点O(图图3-2)，移动到直线终点，移动到直线终点 A( , )，沿轴应走的总步数为，沿轴应走的总步数为 ，沿轴应走的总步，沿轴应走的总步 数为数为 。那么，加工完直线。那么，加工完直线OA，刀具沿两坐标轴应走的，刀具沿两坐标轴应走的 总步数为总步数为 N=

20、 + (3-6) 下一页上一页返回 a x a y a x a y a x a y a y a x 整理课件19 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 在逐点比较插补法中，每进行一个插补循环，刀具或者沿在逐点比较插补法中，每进行一个插补循环，刀具或者沿 轴走一步，或者沿轴走一步。也就是说，插补循环数与刀具轴走一步，或者沿轴走一步。也就是说，插补循环数与刀具 沿、轴已走的总步数相等。这样，就可根据插补循环数与刀沿、轴已走的总步数相等。这样，就可根据插补循环数与刀 具应走的总步数具应走的总步数N是否相等来判断终点，即直线加工完毕的是否相等来判断终点，即直线加工完毕的 条件为条件为 i=N (3-7

21、) 下一页上一页返回 整理课件20 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 4插补程序插补程序 如图如图3-4所示是逐点比较法直线插补的流程图。图中所示是逐点比较法直线插补的流程图。图中i是是 插补循环数，插补循环数，Fi是第个是第个i插补循环中偏差函数的值，插补循环中偏差函数的值，(Xa,Ya) 是直线的终点坐标，是直线的终点坐标，N是完成直线加工刀具沿是完成直线加工刀具沿X、Y轴应走的轴应走的 总步数。插补时钟的频率为总步数。插补时钟的频率为f，它用于控制插补的节奏。，它用于控制插补的节奏。 下一页上一页返回 整理课件21 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 插补前，刀具位于直线的起点，即

22、坐标原点，因此偏差插补前，刀具位于直线的起点，即坐标原点，因此偏差 值值Fo为零。因为还没有开始插补，所以插补循环数也为零。因为还没有开始插补，所以插补循环数也i为零。为零。 在每一个插补循环的开始，插补器先进入在每一个插补循环的开始，插补器先进入“等待等待”状态。插状态。插 补时钟发出一个脉冲后，插补器结束等待状态，向下运行。补时钟发出一个脉冲后，插补器结束等待状态，向下运行。 这样插补时钟每发一个脉冲，就触发插补器进行一个插补循这样插补时钟每发一个脉冲，就触发插补器进行一个插补循 环，从而可用插补时钟控制插补速度，也控制了刀具进给速环，从而可用插补时钟控制插补速度，也控制了刀具进给速 度。

23、度。 下一页上一页返回 整理课件22 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 插补器结束插补器结束“等待等待”状态后，先进行偏差判别。由表状态后，先进行偏差判别。由表3-2 知，若偏差值知，若偏差值Fi大于等于零，刀具的进给方向应为大于等于零，刀具的进给方向应为+x，进给，进给 后偏差值成为后偏差值成为 ；若偏差值；若偏差值Fi小于零，刀具的进给方向小于零，刀具的进给方向 应为应为+Y，进给后的偏差值为，进给后的偏差值为 。 进行了一个插补循环后，插补循环数应增加进行了一个插补循环后，插补循环数应增加1。 最后进行终点判别。由式最后进行终点判别。由式(3-7)知，若插补循环数知，若插补循环数i小

24、于小于 N，说明直线还没插补完毕，应继续进行插补；否则，表明，说明直线还没插补完毕，应继续进行插补；否则，表明 直线已加工完毕，应结束插补工作。直线已加工完毕，应结束插补工作。 下一页上一页返回 ai yF ai xF 整理课件23 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 例例3-1 图图3-5中的中的OA是要加工的直线。直线的起点在是要加工的直线。直线的起点在 坐标原点，终点为坐标原点，终点为A(4，3)。试用逐点比较法对该直线进行。试用逐点比较法对该直线进行 插补，并画出插补轨迹。插补，并画出插补轨迹。 解：插补完这段直线刀具沿解：插补完这段直线刀具沿x、y轴应走的总步数为轴应走的总步数为

25、插补运算过程见表插补运算过程见表3-3。 下一页上一页返回 整理课件24 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 5性能分析性能分析 刀具的进给速度和所能插补的最大曲线尺寸，是评定插刀具的进给速度和所能插补的最大曲线尺寸，是评定插 补方法的两个重要指标，也是选择插补方法的依据。下面介补方法的两个重要指标，也是选择插补方法的依据。下面介 绍逐点比较法直线插补的这两个指标。绍逐点比较法直线插补的这两个指标。 (1)进给速度进给速度 设直线设直线OA(图图3-2)与与X轴的夹角为轴的夹角为a，长度为，长度为 l。加工该段直线时，刀具的进给速度为。加工该段直线时，刀具的进给速度为v，插补时钟频率为，插补

26、时钟频率为f。 加工完直线加工完直线OA所需的插补循环总数目为所需的插补循环总数目为N。那么，刀具从直。那么，刀具从直 线起点进给到直线终点所需的时间为线起点进给到直线终点所需的时间为l /v。完成。完成N个插补循个插补循 环所需的时间为环所需的时间为N/f。由于插补与加工是同步进行的，因此，。由于插补与加工是同步进行的，因此， 以上两个时间应相等，以上两个时间应相等， 下一页上一页返回 整理课件25 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 即：即： 由此得到刀具的进给速度为由此得到刀具的进给速度为 v= （3-8） 插补完成直线插补完成直线OA所需的总循环数与刀具沿所需的总循环数与刀具沿x、y

27、轴应走的总步轴应走的总步 数可用式（数可用式（3-6）计算：）计算： 下一页上一页返回 f N v l f N l sincosllyxN aa 整理课件26 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 把上式代入式（把上式代入式（3-8），得到刀具速度的计算公式），得到刀具速度的计算公式 （3-9） 从上式可知，刀具的进给速度从上式可知，刀具的进给速度 与插补时钟频率成正比，与与插补时钟频率成正比，与 的关系如图的关系如图3-6所示。在保持插补时钟频率不变的前提下，所示。在保持插补时钟频率不变的前提下， 刀具的进给速度会随着直线倾角的不同而变化：加工刀具的进给速度会随着直线倾角的不同而变化：加工0

28、或或 90倾角的直线时，刀具的进给速度最大为倾角的直线时，刀具的进给速度最大为 ；加工；加工45倾角倾角 的直线时，刀具的进给速度最小，约为的直线时，刀具的进给速度最小，约为0.7 。 下一页上一页返回 sincos f v v f f 1 max 21 n F 整理课件27 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 由偏差函数的递推计算过程由偏差函数的递推计算过程(表表3-2)可知，偏差函数的最大可知，偏差函数的最大 绝对值为或。因而，直线的终点坐标绝对值为或。因而，直线的终点坐标(，)应满足：应满足： 若寄存器的长度为若寄存器的长度为8位，则直线的纵、横终点坐标最大值为位，则直线的纵、横终点坐

29、标最大值为 127。若寄存器长度为。若寄存器长度为16位，则直线终点坐标最大值为位，则直线终点坐标最大值为32 767。 下一页上一页返回 a x a y a x a y 12 12 1 1 n a n a y x 整理课件28 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 1偏差函数偏差函数 如图如图3-7所示，所示， 是要插补的圆弧，圆弧的圆心在坐标原是要插补的圆弧，圆弧的圆心在坐标原 点，半径为点，半径为R，起点为，起点为A( ， )，终点为，终点为B( ， )。点。点 P( ， )表示某时刻刀具的位置。表示某时刻刀具的位置。 圆弧插补时，偏差函数定义为圆弧插补时，偏差函数定义为 （3-10）

30、表示表示O、P两点的距离两点的距离 将上式代入式（将上式代入式（3-10），得到偏差函数的计算公式），得到偏差函数的计算公式 （3-11） 下一页上一页返回 a x a y b x b y xy 2 2 FOPR OP 22 OPxy 222 FxyR 整理课件29 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 若刀具在圆外，则若刀具在圆外，则 大于大于R，偏差函数大于零。若刀具在，偏差函数大于零。若刀具在 圆上，则圆上，则 等于等于R，偏差函数等于零。若刀具在圆内，则，偏差函数等于零。若刀具在圆内，则 小于小于R，偏差函数，偏差函数 小于零。如表小于零。如表3-4所示为偏差函数与所示为偏差函数与 刀

31、具位置的关系。刀具位置的关系。 下一页上一页返回 OP OP OPOP 整理课件30 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 2进给方向与偏差计算进给方向与偏差计算 圆弧可分为顺圆与逆圆两种。与时钟指针走向一致的圆圆弧可分为顺圆与逆圆两种。与时钟指针走向一致的圆 弧称为顺圆，反之称为逆圆。加工这两种圆弧时，刀具的走弧称为顺圆，反之称为逆圆。加工这两种圆弧时，刀具的走 向不同，偏差计算的过程也不同。下面分别介绍这两种圆弧向不同，偏差计算的过程也不同。下面分别介绍这两种圆弧 的插补。的插补。 (1)顺圆插补顺圆插补 开始插补时，刀具位于圆弧的起点开始插补时，刀具位于圆弧的起点A，由式，由式(3- 1

32、1)计算偏差值为计算偏差值为 因因A是圆弧上一点，由表是圆弧上一点，由表3-4可知，可知， (3-12) 下一页上一页返回 222 O FR aa xy O F0 整理课件31 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 设某时刻刀具运动到点设某时刻刀具运动到点P1( ， )，由式，由式(3-11)知，这知，这 时的偏差值为：时的偏差值为： (3-13) 若若 ，由表，由表3-4可知，这时刀具位于圆外或圆上，如可知，这时刀具位于圆外或圆上，如 图图3-8a所示。为让刀具向终点所示。为让刀具向终点B进给并靠近圆弧，应让刀具进给并靠近圆弧，应让刀具 沿沿y轴负向走一步，到达点轴负向走一步，到达点P2(

33、， )。点。点P2的坐标由的坐标由 下式计算：下式计算： 下一页上一页返回 i x i y 222 i F=R ii xy 0 i F 1i x 1i y 11 1 1 ii ii xx yy 整理课件32 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 刀具在点刀具在点P2的偏差值为：的偏差值为： 把式（把式（3-13）代入上式，简化为）代入上式，简化为 （3-14） 下一页上一页返回 222222 111 (1) iiiii FxyRxyR 222 ()21 iii xyRy 1 21 iii FFy 整理课件33 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 若若 ，由表，由表3-4可知，这时刀具位于圆内

34、，如图可知，这时刀具位于圆内，如图3-8 所示。为让刀具向终点所示。为让刀具向终点B进给并靠近圆弧，应让刀具沿轴正进给并靠近圆弧，应让刀具沿轴正 向走一步，到达点向走一步，到达点P2( ， )。点。点P2的坐标由下式的坐标由下式 计算：计算： 刀具在点刀具在点P2的偏差值为：的偏差值为： 把式（把式（3-13）代入上式，简化为）代入上式，简化为 (3-15) 下一页上一页返回 0 i F 1i x 1i y 1 1 ii xx ii yy 1 2222222 111 (1) iiiii FxyRxyR 222 ()21 iii xyRx 1 21 iii FFx 整理课件34 3.2 逐点比较

35、插补法逐点比较插补法 式式(3-12)、式、式(3-14)和式和式(3-15)组成了顺圆插补偏组成了顺圆插补偏 差值的递推计算公式。与偏差函数的直接计算式差值的递推计算公式。与偏差函数的直接计算式(3-11)相相 比，递推计算法运算只用加减法比，递推计算法运算只用加减法(乘乘2可用两次加来实现可用两次加来实现)， 不用乘法或乘方，计算简单，运算速度快。顺圆插补的计算不用乘法或乘方，计算简单，运算速度快。顺圆插补的计算 过程如表过程如表3-5所示。所示。 下一页上一页返回 整理课件35 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 (2)逆圆插补逆圆插补 设某时刻刀具运动到点设某时刻刀具运动到点P1(

36、， )，这时的偏差，这时的偏差 函数为函数为 (3-16) 若若Fi0，这时刀具位于圆外或圆上，如图，这时刀具位于圆外或圆上，如图3-9a所示。为所示。为 让刀具向终点让刀具向终点B进给并靠近圆弧，应让刀具沿进给并靠近圆弧，应让刀具沿x轴负方向走一轴负方向走一 步，到达点步，到达点P2( ， )。点。点P2的坐标由下式计算：的坐标由下式计算： 刀具在点刀具在点P2的偏差值为：的偏差值为： 把式（把式（3-16）代入上式，简化为）代入上式，简化为 (3-17) 下一页上一页返回 i x i y 222 iii FxyR 1i x 1i y 1 1 ii xx ii yy 1 222222 111

37、 (1) iiiii FxyRxyR 222 ()21 iii xyRx 1 21 iii FFx 整理课件36 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 若若 ，这时刀具位于圆内，如图，这时刀具位于圆内，如图3-9b所示。为让刀具所示。为让刀具 向终点向终点B进给并靠近圆弧，应让刀具沿轴正向走一步，到达进给并靠近圆弧，应让刀具沿轴正向走一步，到达 点点P2( ， )。点。点P2的坐标由下式计算：的坐标由下式计算： 刀具在点刀具在点P2的偏差值为：的偏差值为： 把式（把式（3-16）代入上式，简化为）代入上式，简化为 (3-18) 下一页上一页返回 0 i F 1i x 1i y 1 1 1 ii

38、 ii yy xx 222222 111 (1) iiiii FxyRxyR 222 ()21 iii xyRy 1 21 iii FFy 整理课件37 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 式式(3-12)、式、式(3-17)和式和式(3-18)组成了逆圆插补偏组成了逆圆插补偏 差值的递推计算公式。逆圆插补的计算过程如表差值的递推计算公式。逆圆插补的计算过程如表3-6所示。所示。 4插补程序插补程序 (1)顺圆插补顺圆插补 逐点比较法顺圆插补的程序框图如图逐点比较法顺圆插补的程序框图如图3- 10所示。图中所示。图中i是插补循环数，是插补循环数，Fi是偏差函数，是偏差函数，( ， )是是 刀

39、具坐标，刀具坐标，N是加工完圆弧刀具沿是加工完圆弧刀具沿x、y轴应走的总步数。轴应走的总步数。 下一页上一页返回 i x i y 整理课件38 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 开始插补时，插补循环数开始插补时，插补循环数i等于等于0，刀具位于圆弧的起点，刀具位于圆弧的起点 A(Xa，Ya)。由于刀具位于圆弧上，因此，偏差值。由于刀具位于圆弧上，因此，偏差值F0为零。为零。 N由式由式(3-19)确定。确定。 经过初始化后，程序进入经过初始化后，程序进入“等待等待”状态。插补时钟发出状态。插补时钟发出 的脉冲，使程序结束等待状态，继续向下运行。的脉冲，使程序结束等待状态，继续向下运行。 接

40、着，进行偏差判别。由表接着，进行偏差判别。由表3-5可知，若偏差函数可知，若偏差函数Fi大于大于 或等于零，刀具应沿或等于零，刀具应沿-y方向走一步；若偏差函数方向走一步；若偏差函数Fi小于零，小于零， 应让刀具沿应让刀具沿+X方向走一步。进给后，应计算出刀具在新位置方向走一步。进给后，应计算出刀具在新位置 的偏差值的偏差值 及新坐标及新坐标( ， )。进行了一个插补循环后，。进行了一个插补循环后， 插补循环数应加插补循环数应加1。 最后进行终点判别。若插补循环数最后进行终点判别。若插补循环数i小于小于N，表明圆弧还，表明圆弧还 没有加工完，应继续进行插补；若插补循环数没有加工完，应继续进行插

41、补；若插补循环数i等于等于N，说明，说明 圆弧已加工完毕，插补工作结束。圆弧已加工完毕，插补工作结束。 下一页上一页返回 1i F 1i x 1i y 整理课件39 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 例例3-2 如图如图3-11所示的所示的AB是要加工的圆弧。圆弧的起是要加工的圆弧。圆弧的起 点为点为A(3，4)，终点为，终点为B(5，0)。试对该段圆弧进行插补，。试对该段圆弧进行插补， 并画出刀具的运动轨迹。并画出刀具的运动轨迹。 解：加工完这段圆弧，刀具沿、轴应走的总步数为：解：加工完这段圆弧，刀具沿、轴应走的总步数为： AB为顺圆插补，插补过程见表为顺圆插补，插补过程见表3-7所示。

42、刀具的运动轨迹如所示。刀具的运动轨迹如 图图3-11所示。所示。 下一页上一页返回 53046 baba Nxxyy 整理课件40 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 (2)逆圆插补逆圆插补 逐点比较法逆圆插补的程序框图如图逐点比较法逆圆插补的程序框图如图3-12所示。所示。 图中的符号与图图中的符号与图3-10中符号的意义完全相同。中符号的意义完全相同。 例例4-3 如图如图3-13所示的圆弧所示的圆弧AB是要加工的逆圆。圆弧是要加工的逆圆。圆弧 的起点为的起点为A（5，0），终点为），终点为B（3，4）。试对该段圆弧进）。试对该段圆弧进 行插补，并画出插补轨迹。行插补，并画出插补轨迹。

43、解：加工完这段圆弧，刀具沿解：加工完这段圆弧，刀具沿x、y轴应走的总步数为：轴应走的总步数为： AB为逆圆插补，插补过程见表为逆圆插补，插补过程见表3-8所示。刀具的运动轨迹如所示。刀具的运动轨迹如 图图3-13所示。所示。 下一页上一页返回 35406 baba Nxxyy 整理课件41 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 5性能分析性能分析 （1）进给速度）进给速度 如图如图3-14所示，所示，P是圆弧是圆弧AB上的一点，上的一点，cd 是圆弧在是圆弧在P点处的切线，切线与点处的切线，切线与x轴的夹角为轴的夹角为a。在。在P点附近点附近 的很小范围内，切线的很小范围内，切线cd与圆弧非常

44、接近。在这个范围内，对与圆弧非常接近。在这个范围内，对 圆弧的插补和对切线的插补，刀具速度基本相等。因此，对圆弧的插补和对切线的插补，刀具速度基本相等。因此，对 圆弧进行插补时，刀具在圆弧进行插补时，刀具在P点的速度也可用式（点的速度也可用式（3-9）计算，）计算， 如图如图3-6所示。其中所示。其中a是圆弧上是圆弧上P点的切线与点的切线与x轴的夹角，也轴的夹角，也 是连线是连线OP与与y轴的夹角，如图轴的夹角，如图3-14所示。所示。 下一页上一页返回 整理课件42 3.2 逐点比较插补法逐点比较插补法 以上分析说明：圆弧插补中，在插补时钟保持不变的情以上分析说明：圆弧插补中，在插补时钟保持

45、不变的情 况下，刀具的进给速度是变化的，在坐标轴附近（况下，刀具的进给速度是变化的，在坐标轴附近（a0或或 a90），刀具速度最大，约为），刀具速度最大，约为f。在第。在第象限的中部象限的中部 （a45），刀具速度最小，约为），刀具速度最小，约为0.7f。刀具速度的这种变。刀具速度的这种变 化，可能对零件的加工质量带来不利的影响，加工时应注意化，可能对零件的加工质量带来不利的影响，加工时应注意 到这个问题。到这个问题。 上一页返回 整理课件43 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 数 字 积 分 插 补 法 又 称 数 学 微 分 分 析 法 ， 简 称数 字 积 分 插 补 法 又 称 数

46、 学 微 分 分 析 法 ， 简 称 DDA(Digital Differential Analyzer)法，它利用数字法，它利用数字 积分的原理，计算刀具沿坐标轴的位移，使得刀具沿着所加积分的原理，计算刀具沿坐标轴的位移，使得刀具沿着所加 工的轨迹运动。数字积分插补法具有运算速度快、脉冲分配工的轨迹运动。数字积分插补法具有运算速度快、脉冲分配 均匀、易实现多坐标联动等优点，所以在轮廓控制数控系统均匀、易实现多坐标联动等优点，所以在轮廓控制数控系统 中得到广泛应用。中得到广泛应用。 下一页 返回 整理课件44 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 3.3.1 DDA的基本原理的基本原理 由高等

47、数学可知，求函数由高等数学可知，求函数y=f(t)对对t的积分运算，从几何的积分运算，从几何 概念上讲，就是求此函数曲线所包围的面积概念上讲，就是求此函数曲线所包围的面积F，如图，如图3-15所所 示。即示。即 若把自变量的积分区间若把自变量的积分区间a，b等分成许多有限的小区间等分成许多有限的小区间 (其中其中t=ti+1-ti)，这样，求面积可以转化成求有限个小区，这样，求面积可以转化成求有限个小区 间面积间面积F之和，即之和，即 下一页上一页返回 1 1 0 lim() n b ii an i Fydty tt 11 00 nn ii ii FFyt 整理课件45 3.3 数字积分插补法

48、数字积分插补法 数字运算时，数字运算时，t一般取最小单位一般取最小单位“1”，即一个脉冲当量，即一个脉冲当量， 则则 由此可见，函数的积分运算变成了变量的求和运算。当所由此可见，函数的积分运算变成了变量的求和运算。当所 选取的积分间隔选取的积分间隔t足够小时，则用求和运算代替求积运算所足够小时，则用求和运算代替求积运算所 引起的误差可以不超过允许的值。引起的误差可以不超过允许的值。 下一页 返回 1 0 F= n i i y 上一页 整理课件46 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 在平面上对直线在平面上对直线OA进行插补，直线的起点在坐标原点进行插补，直线的起点在坐标原点O， 终点为终点为

49、A(Xa，Ya)，如图，如图3-16所示。所示。 假定假定vx和和vy分别表示动点在分别表示动点在x和和y方向的移动速度，则在方向的移动速度，则在x 和和y方向的移动距离微小增量方向的移动距离微小增量x和和y应为应为 （3-21） 对直线函数来说，对直线函数来说， vx和和vy是常数，则是常数，则 （3-22） 下一页上一页返回 tvy tvx y x k y v x v a y a x 整理课件47 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 式中式中k为比例系数。为比例系数。 在在t时间内，时间内，x和和y位移增量的参数方程为位移增量的参数方程为 （3-23） 因此动点从原点走向终点的过程，可以

50、看作是各坐标每因此动点从原点走向终点的过程，可以看作是各坐标每 经过一个单位时间间隔经过一个单位时间间隔t分别以增量分别以增量kxa和和kya同时累加的同时累加的 结果。经过结果。经过m次累加后，次累加后，x和和y分别都到达终点分别都到达终点A(Xa,Ya)， 则则 下一页上一页返回 tkytvy tkxtvx ay ax 整理课件48 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 则则 或或 下一页上一页返回 aaa m i aaa m i ymkytyky xmkxtxkx )( )( 1 1 1mk k m 1 整理课件49 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 上式表明，比例系数上式表明，比例

51、系数k和累加次数和累加次数m的关系是互为倒数。因的关系是互为倒数。因 为为m必须是整数，所以必须是整数，所以k一定是小数。在选取一定是小数。在选取k时主要考虑每时主要考虑每 次增量次增量 x或或y应不大于应不大于1，以保证坐标轴上每次分配进给，以保证坐标轴上每次分配进给 脉冲不超过一个单位步距，即脉冲不超过一个单位步距，即 （3-24） 式中式中Xa和和Ya的最大容许值受寄存器的位数的最大容许值受寄存器的位数n的限制，最大的限制，最大 值为值为2n-1，所以由式，所以由式(3-24)得得 即即 下一页上一页返回 1 1 a a kyy kxx 1) 12( n k 12 1 n k 整理课件5

52、0 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 一般取一般取 则有则有 （3-25） 式（式（3-25）说明）说明DDA直线插补的整个过程要经过直线插补的整个过程要经过2n次累加才次累加才 能到达直线的终点。数字积分法插补第一象限直线的程序流能到达直线的终点。数字积分法插补第一象限直线的程序流 程图如图程图如图3-17所示。所示。 下一页 返回 n k 2 1 n k m2 1 上一页 整理课件51 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 下一页上一页返回 例例3-5 设直线设直线OA的起点在原点的起点在原点O(0，0)，终点为，终点为A(8，6)， 采用四位寄存器，试写出直线采用四位寄存器，试写出直

53、线 OA的的DDA插补过程并画出插插补过程并画出插 补轨迹。补轨迹。 解：由于采用四位寄存器，所以累加次数解：由于采用四位寄存器，所以累加次数m=24=16。 插补计算过程见表插补计算过程见表3-9所示，插补轨迹如图所示，插补轨迹如图3-18所示。所示。 整理课件52 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 下一页上一页返回 3.3.3 DDA圆弧插补圆弧插补 以第以第象限逆圆弧为例，说明象限逆圆弧为例，说明DDA圆弧插补原理。如图圆弧插补原理。如图 3-19所示，设刀具沿半径为所示，设刀具沿半径为 R的圆弧的圆弧AB移动，刀具沿圆弧移动，刀具沿圆弧 切线方向的进给速度为切线方向的进给速度为v，

54、P(Xi，Yi)为动点，则有如下关系为动点，则有如下关系 式式 k x v y v R v i y i x 整理课件53 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 下一页上一页返回 当刀具沿圆弧切线方向匀速进给，即当刀具沿圆弧切线方向匀速进给，即v为恒定时，可以认为恒定时，可以认 为为k为常数。在一个单位时间间隔为常数。在一个单位时间间隔t内，内，x和和y位移增量的参位移增量的参 数方程可表示为数方程可表示为 （3-26） tkxtvy tkytvx iy ix 整理课件54 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 下一页上一页返回 依照直线插补的方法，也用两个积分器来实现圆弧插补。依照直线插补的方

55、法，也用两个积分器来实现圆弧插补。 对于其他象限的顺圆、逆圆插补运算过程和积分器结构基本对于其他象限的顺圆、逆圆插补运算过程和积分器结构基本 上与第上与第象限逆圆弧是一致的，其区别在于，控制各坐标轴象限逆圆弧是一致的，其区别在于，控制各坐标轴 的的x、y的进给方向不同，以及修改的进给方向不同，以及修改Jvx、Jvy内容时是内容时是 加加“1”还是减还是减“1”，要由，要由Xi和和Yi坐标值的增减而定，见表坐标值的增减而定，见表 3-10所示。表中所示。表中SRl、SR2、SR3、SR4分别表示第分别表示第、 第第、第、第、第、第象限的顺圆弧，象限的顺圆弧，NRl、NR2、NR3、 NR4分别表

56、示第分别表示第、第、第、第、第、第、第象限的逆圆弧。象限的逆圆弧。 整理课件55 3.3 数字积分插补法数字积分插补法 上一页返回 例例3-5 设第一象限逆圆弧的起点为设第一象限逆圆弧的起点为A(5，O)，终点，终点B为为 (O，5)，采用三位寄存器，试写出，采用三位寄存器，试写出DDA插补过程并画出插插补过程并画出插 补轨迹。补轨迹。 解：在解：在x和和y方向分别设一个终点判别计数器方向分别设一个终点判别计数器Ex、Ey，则，则 Ex=5，Ey=5 x积分器和积分器和y积分器有溢出时，就在相应的终点判别计数积分器有溢出时，就在相应的终点判别计数 器中减器中减“1”，当两个计数器均为，当两个计

57、数器均为0时，插补结束。插补计算时，插补结束。插补计算 过程见表过程见表3-11，插补轨迹如图，插补轨迹如图3-20所示。所示。 整理课件56 3.4 数字增量插补法数字增量插补法 下一页 返回 数据增量插补法又称数据采样插补法，是用一系列首尾数据增量插补法又称数据采样插补法，是用一系列首尾 相连的微小直线段去逼近零件轮廓曲线，多用于进给速度要相连的微小直线段去逼近零件轮廓曲线，多用于进给速度要 求较高的闭环和半闭环系统。在求较高的闭环和半闭环系统。在CNC系统中，数字增量插补系统中，数字增量插补 通常采用时间分割插补算法。它是把加工一段直线或圆弧的通常采用时间分割插补算法。它是把加工一段直线

58、或圆弧的 整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间隔，整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间隔， 也称插补周期。每经过一个单位时间间隔就进行一次插补计也称插补周期。每经过一个单位时间间隔就进行一次插补计 算，算出在这一时间间隔内各坐标轴的进给量，边计算，边算，算出在这一时间间隔内各坐标轴的进给量，边计算，边 加工，直到加工终点。加工，直到加工终点。 整理课件57 3.4 数字增量插补法数字增量插补法 下一页 返回 3.4.1 插补周期的选择插补周期的选择 1插补周期与精度和速度的关系插补周期与精度和速度的关系 在直线插补时，插补所形成的每个小直线段与给定的直在直线插补时，插补

59、所形成的每个小直线段与给定的直 线重合，不会造成轨迹误差。在圆插补时，一般用内接弦线线重合，不会造成轨迹误差。在圆插补时，一般用内接弦线 或内外均差弦线来逼近圆弧，这种逼近必然会造成轨迹误差。或内外均差弦线来逼近圆弧，这种逼近必然会造成轨迹误差。 如图如图3-21所示是用内接弦线逼近圆弧，其最大半径误差所示是用内接弦线逼近圆弧，其最大半径误差eR 与与 步距角的关系为：步距角的关系为： （3-27） 上一页 ) 2 cos1 ( ReR 整理课件58 3.4 数字增量插补法数字增量插补法 下一页 返回 将将 用幂级数展开，得用幂级数展开，得 （3-28） 由于步距角由于步距角 很小，则很小，则

60、 又由于进给步长又由于进给步长 ，则最大半径误差为，则最大半径误差为 （3-29） 上一页 2 cos ReR 8 2 R L TvL R Tv R L ReR 1 8 )(1 88 222 整理课件59 3.4 数字增量插补法数字增量插补法 下一页 返回 式中式中 T 插补周期插补周期 V刀具移动速度刀具移动速度 R圆弧半径圆弧半径 上一页 整理课件60 3.4 数字增量插补法数字增量插补法 下一页 返回 2插补周期与插补运算时间的关系插补周期与插补运算时间的关系 根据完成某种插补运算法所需的最大指令条数，可以大根据完成某种插补运算法所需的最大指令条数，可以大 致确定插补运算所占用的致确定插