概率与数理统计

1、前言1.本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。2.本课程不同于此前所学的其他课程，它是以研究某一结果出现的可能性为目的，运用统计方法进行推断、预测和决策，以便指导人们的行为；其内容更贴近人们的思维方式，因而有广泛的应用。3.本课程自从单独考试以来，题目难度略高于线性代数，但是，线性代数比较抽象，概率统计往往有比较清楚的实际背景，各有不同的“难”的方式，所以，总的看来，两门考试的难度基本相当，并且，与以前的考题相比，难度略有下降。4.自从2005年以来，自考数学的试题难度都有一定程度的降低。对于能够坚持学习，注意方法

2、，反复收看讲座的用户来说，取得理想的成绩并不困难。希望用户们坚定信心，克服困难，坚持到底，取得优异成绩。第一章内容简介本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。考情分析2007年4月2007年7月2007年10月单项选择题2题4分3题6分2题4分填空题4题8分4题8分4题8分计算题1题8分1题8分合计7题20分8题22分6题12分内容讲解1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数，在装有红、白球的口袋里摸出一个白球的

3、可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。结论：随机现象是不确定现象之一。2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。E3：记录110报警台一天接到的报警次数。E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。E6：在区间0，1上任取一点，记录它的坐标。随机试验的特点：试验的可重复性；全部结果的可知性；一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作

4、。举例：掷骰子：1，2，3，4，5，6,1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,表示。只包含一个样本点的单点子集称为基本事件。必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇

5、数点”，则。注：与集合包含的区别。相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作AB。（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或AB。解释：包括三种情况A发生，但B不发生，A不发生，但B发生，A与B都发生。性质：，；若；则。推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于4”则AB1，2，5，6（3）积事件概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作AB或AB。解释：AB只表示一种情况，即A与B同时发生。性质：，； 若，则ABA。推广：可推广

6、到有限个和无限可列个，分别记作和。举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB3, 4（4）差事件概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作AB.性质： A； 若，则AB。举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB1，2（5）互不相容事件概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB，则称事件A与事件B互不相容。推广：n个事件A1，A2，An两两互不相容，即AiAj，ij，i，j1，2，n。举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。（6）对立事件：概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事

7、件，记做.解释：事件A与B互为对立事件，满足：AB；AB举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立性质：；，；ABAAB；注意：教材第5页的第三条性质有误。A与B相互对立A与B互不相容.小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；运算：和，积，差，对立.（7）事件的运算性质（和、积）交换律ABBA，ABBA；（和、积）结合律（AB）CA（BC），（AB）CA（BC）；（和、积）分配律A（BC）（AB）（AC）；A（BC）（AB）（AC）对偶律；.1.2概率1.频率与概率（1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生nA次，则称nA为事件A发生的频数；

8、而比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn（A）.（2）fn（A）的试验特性：随n的增大，fn（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作P（A）.（3）由频率的性质推出概率的性质推出，推出P（）0，P（）1A，B互不相容，推出P（AB）=P（A）P（B），可推广到有限多个和无限可列多个.2.古典概型概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；每个基本事件发生的可能性相同。计算公式：3.概率的定义与性质（1）定义：设是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足

9、下列条件：P（A）0；P（）1；设，是一列互不相容的事件，则有.（2）性质，；对于任意事件A，B有；.1.3条件概率1.条件概率与乘法公式条件概率定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）.例7P13例117.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工，试问：（1）该职工技术优秀的概率是多少？（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？解：设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计算方法得：（1）（2）推广：设

10、P（AB）0，则P（ABC）P（A）P（B|A）P（C|AB）设，则2.全概率公式与贝叶斯公式（1）划分：设事件，满足如下两个条件：，互不相容，且，i1，2，n；，即，至少有一个发生，则称，为样本空间的一个划分。当，为样本空间的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。（2）全概公式：设随机试验的样本空间为，为样本空间的一个划分，B为任意一个事件，则.证明：注意：当0P（A）0，则，i1，2，n.注意：在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P（B）；理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.例题11P17例128【例1-28】在例1-25的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率

11、。解：由贝叶斯公式，例题12P17例129【例1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？解：设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则P（A）=0.01，P（B|A）=0.9，由全概率公式得=0.010.9+0.990.05=0.0585再由贝叶斯公式得1.4事件的独立性1.事件的独立性（1）概念：若P（AB）P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。解释：事件A，B相互独立的含义是：尽管A，B同时发生，事件A发生的概率

12、对事件B发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此，在实际应用中，往往根据实际情况来判断事件的独立性，而不是根据定义。（2）性质： 设P（A）0，则A与B相互独立的充分必要条件是。证明： 若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。证明：只证，B相互独立则只需证=P（B）-P（AB）=P（B）-P（A）P（B）=P（B）1-P（A）从而得证。设A表示“甲射中目标”，B表示“乙射中目标”，C表示“目标被击中”，则C=AB。P（C）=P（AB） =P（A）+P（B）-P（AB）由题意，A，B相互独立P（AB）=P（A）P（B）=1-0.

13、10.2=0.98注：A，B相互独立时，概率加法公式可以简化为。例题2.P19【例131】袋中有5个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。解：设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，A与B是相互独立的。所求概率为P（AB）=P（A）P（B）=点评：有放回：第一次不管抽取的是什么球，对第二次抽取没影响。显然，两次抽取是相互独立的。不放回：第一次取到白球概率就是，第二次再取到白球的概率是。显然，两次抽取不是相互独立的。注：如果是“有放回”，则两次取球就不是相互独立的。（3）推广： 3个事件相互独立：设A，B，C为3个

14、事件，若满足P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），P（ABC）P（A）P（B）P（C）则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。 3个事件两两相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），则称A，B，C两两相互独立。显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。 n个事件相互独立：设A1，A2，An为n个事件，若对于任意整数k（1kn）和任意k个整数1i1 i2ikn满足则称A1，A2，An相互独立，简称A1，A2，An独立。例题3.P21【例134】3

15、门高射炮同时对一架敌机各发一炮，它们的命中率分别为0.1，0.2，0.3，求敌机恰中一弹的概率。解：设Ai表示“第i门炮击中敌机”，i=1，2，3，B表示“敌机恰中一弹”。其中，互不相容，且A1，A2，A3相互独立，则=0.10.80.7+0.90.20.7+0.90.80.3=0.3982.n重贝努利试验（1）概念：如果一次试验只有两个结果：事件A发生或不发生，且P（A）p（0p0，P（B）0，则下列各式中错误的是（）A.P（A）1P（）B.P（AB）P（A）P（B）C.P（）1D.P（AB）1答案：B2.（402）设A，B为两个随机事件，且P（A）0，则（）A.P（AB）B.P（A）C.P

16、（B）D.1答案：D3.（701）从标号为1，2，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的概率是（）A.50/101B.51/101C.50/100D.51/100答案：A4.（702）设事件A，B满足P（A）0.2，P（A）0.6， 则P（AB）（）A.0.12B.0.4C.0.6D.0.8答案：B5.（704）设每次试验成功的概率为p（0P1），则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（）A.1（1p）3B.p（1p）2C.D.pp2p3答案：A6.（411）设事件A， B相互独立，且P（A）=O.2， P（B）=0.4，则P（AB）_。答案：0.52解析：P（AB）=P（A）

17、+P（B）-P（AB） =P（A）+P（B）-P（A）P（B）解析：设A1表示“甲厂生产”，A2表示“乙厂生产”B：“次品”解析：=0.05解析：第二次取正品=一次且二正一正且二正P二正=P一次且二正+P一正且二正=第二章内容简介1.本章引入随机变量及其分布函数概念，讨论了离散型和连续型两种随机变量，介绍了几种常用的随机变量。2.本章重点内容包括：离散型随机变量及其分布律，连续型随机变量及其概率密度，二项分布与正态分布。考点分析2007年4月2007年7月2007年10月选择题2题4分1题2分2题4分填空题2题4分2题4分2题4分计算题1题8分综合题1题4分1题12分合计5题12分4题14分5

18、题20分内容讲解2.1离散型随机变量1.随机变量的概念（1）引入随机变量的理由： “常量”到“变量”； 全面研究随机试验的需要。（2）如何引入：一类：随机试验的结果用数量表示的，直接数量化。如：掷骰子，设出现的点数为随机变量X，则X1，2，3，4，5，6分别表示事件“出现一点”，“出现二点”，“出现六点”。另一类：试验结果不是用数量表示的，如：掷硬币，双方比赛的结果等，可以人为赋值，如掷硬币，设结果为随机变量Y，“出现正面”用“Y1”表示，“出现反面”用“Y0”表示。如果双方比赛结果使用记分法，可以用分数表示，“Z3”表示“胜”，“Z1”表示“平”，“Z0”表示“负”，等等。（3）定义：设E是

19、随机试验，样本空间为，如果对于每一个样本点，有一个实数X（）与之对应，则称XX（）为随机变量，记做X, Y, Z,。（4）解释： 随机变量不是普通变量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一个值的，即具有随机性，因此称为“随机变量”； 在一次随机试验中，可以根据不同的需要来定义不同的随机变量。 引入随机变量后，可用随机变量来描述事件，如掷骰子，设出现的点数为随机变量X，则“出现4点”可表示为X4，“不少于4点”可表示为X4,等等。 所以，其概率可表示为PX41/6, PX41/2。2.离散型随机变量及其分布律（1）离散型随机变量定义：若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称

20、X为离散型随机变量。如掷骰子出现的点数，医院门诊一天接待的患者数，某停车场内停放的车辆数，等等，都是离散型随机变量。（2）离散型随机变量的分布律：设X为离散型随机变量，可能取值为x1，x2，xk，且PXxkpk，k1，2，则称 pk为X的分布律（或分布列，概率分布）。分布律也可以用表格形式表示：（3）分布律pk的性质： pk0，k1，2，；.反之，若一个数列pk具有以上两条性质，则它可以作为某随机变量的分布律。（4）用途：可用分布律求任意事件的概率.例题1.P30【例21】设离散型随机变量X的分布律为：求常数c。1=0.2+c+0.5解得c=0.3。例题2.P31【例24】已知一批零件共10个

21、，其中有3个不合格，现任取一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律。解：X的取值为0，1，2，3。设Ai（i=1，2，3，4）表示“第i次取出的零件是不合格的”，利用概率乘法公式可计算得PX=1=PX=2=PX=3=故X的分布律为例题3.P31【例25】对某一目标连续进行射击，直到击中目标为止。如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律。i（i=1，2，）表示“第i次射击未中”，事件X=k表示“前k-1次射击未中，第k次命中“，则，而每次射击命中与否又是相互独立的，即A1，A2，Ak相互独立。X的分布律为=（1-p）k

22、-1p，k=1，2，。3.三种常用的离散型随机变量的分布（1）01分布（两点分布）定义：若随机变量X只取两个可能值0，1，且PX1p，PX0q, 其中0p1，q1p, 则称X服从01分布，其分布律为举例：掷一枚硬币出现正面，向靶子射一发子弹等。（2）二项分布定义：若随机变量X的可能取值为0，1，2，n，而X的分布律为，k0，1，2，n其中0p0是常数，n是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数k，有。泊松定理的应用：当n很大，p很小时，二项分布可以用泊松逼近来近似计算。在实际计算中，当n20，p0.05时计算效果颇佳。例题6.P33【例28】一个工厂生产的产品中废品率为0.005，任取100

23、0件，计算：（1）其中至少有两件是废品的概率；（2）其中不超过5件废品的概率解：设X表示任取的1000件产品中的废品数，则XB（1000，0.005）。利用泊松定理中的 公式近似计算，=10000.005=5。（1）PX2=1-PX=0-PX=1。（2） PX5=0.6160。最后一步为查附表2而得。此处还用到。（3）泊松分布定义：设随机变量X的可能取值为0，1，2，n，而X的分布律为，k0，1，2，其中0，则称X服从参数为的泊松分布，记做X P（）.例题7.P34【例29】设随机变量X服从参数为5的泊松分布，求（1）PX=10；（2）PX10。解：（1）查附表2中这一栏的数据，可得PX=10

24、=PX10-PX11=0.018133（2）PX10=1-PX11=0.986305例题8.P34【例210】设X服从泊松分布，且已知PX=1=PX=2，求PX=4，由已知得解得=2，则2.2随机变量的分布函数1.分布函数的概念引入： 从数学发展的角度，引入函数概念是必然的； 此函数一定要与概率相联系。对于离散型随机变量X，事件可表示为Xb,Xb, aXb, 等等，选取一个函数F，把这些事件的概率用此函数的函数值表示出来，取函数F（x）P Xx就可以做到这一点，其中x为任意实数； 由于x的取值为任意实数，所以，对于离散型、非离散型随机变量，肯定也适用。定义：设X为随机变量，称函数F（x）=P（

25、Xx），x（-,+）为X的分布函数。离散型随机变量X的分布函数为.例题1.P36【例211】设离散型随机变量X的分布律为求X的分布函数。解：当x-1时，F（x）=PXx=0；当-1x0时，F（x）=PXx=PX=-1=0.2；当0x1时，F（x）=PXx= PX=-1+ PX=0=0.2+0.1=0.3；当1x2时，F（x）=PXx= PX=-1+ PX=0+ PX=1=0.2+0.1+0.3=0.6当x2时，F（x）=PXx= PX=-1+ PX=0+ PX=1+ PX=2=0.2+0.1+0.3+0.4=1则X的分布函数F（x）为F（x）的图形如下：由F（x）的图形可知，F（x）是分段函数

26、，y= F（x）的图形是阶梯形曲线，在X的可能取值-1，0，1，2处为F（x）的跳跃型间断点。2.分布函数的性质（1）0F（x）1。（2）F（x）是不减函数，即对于任意的x1x2，有F（x1）F（x2）。（3）F（-）=0，F（+）=1，即，。（4）F（x）右连续，即。3.用分布函数表示事件的概率：设随机变量X的分布函数为F（x）, 则（1）PXb=F（b）；（2）PaXb=F（b）-F（a），其中ab=1-F（b）.例题3.P37【例213】设随机变量X的分布函数为求（1）；（2）；（3）。解：（1）；（2）；（3）。2.3连续型随机变量及其概率密度1.连续型随机变量及其概率密度（1）定义：

27、设随机变量X的分布函数为F（x），若存在非负函数f（x），使得对任意实数x，有，则称X为连续型随机变量，并称f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度（或密度函数）。解释：连续型随机变量的“连续”指的是其密度函数在某区间或整个实轴上是连续函数。（2）概率密度的性质： f（x）0； 设x为f（x）的连续点，则存在，且.（3）概率密度的直观解释例题2.P41【例216】设连续型随机变量X的分布函数为求（1）X的概率密度f（x）；（2）X落在区间（0.3，0.7）的概率。解：（1）（2）有两种解法：P0.3X0.7=F（0.7）-F（0.3）=0.72-0.32=0.4；或者P0.3X1500（2）各

28、元件工作相互独立，可看做4重贝努利试验，观察各元件的寿命是否大于1500小时，令Y表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数，则YB（4，），所求概率为PY=2。（3）所求概率为PY1=1-PY=0。2.三种常用连续型随机变量的分布.均匀分布（1）定义：若随机变量X的概率密度为，则称X服从区间a,b上的均匀分布，记做XU（a,b）。（2）分布函数为分布函数图象如下图：（3）实际应用：查表时，认为两个修正值之间的数值服从均匀分布，在一段时间内，公共汽车达到的时间认为是服从均匀分布，等等。例题4.P43【例218】公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求

29、乘客候车时间在13分钟内的概率。解：设X表示乘客的候车时间，则XU（0，5），其概率密度为所求概率为P1x3.指数分布（1）定义：若随机变量X的概率密度为，其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布，记做XE（）.（2）指数分布的分布函数为，（3）实际应用：电子元器件的使用寿命，动物的寿命，电话的通话时间，接受服务的时间等等，都可以假定服从指数分布。例题5.P43【例219】设X服从参数为的指数分布，证明对任意的s0，t0，有.此性质称为指数分布的无记忆性。证明：对于任意的x0,.又因为，所以，则.正态分布（1）定义：若随机变量X的概率密度为，x，其中,2为常数，0，则称X服从参数为,2的正态分

30、布，记做XN（,2）.（2）概率密度函数的性质：曲线关于直线x=对称，则对于任意h0，有P（-hx）=P（X+h）。当x=时取得最大值.在x=处曲线有拐点，曲线以x轴为渐近线.当给定，12时，对应的密度函数的图象可沿x轴互相平移得到.当给定，10，有。证明。例题7.P47【例222】设XN（1.5，4），求。=0.8413。.上侧分位数（1）定义：设XN（0,1），若u满足条件PXu=，01，则称点u为标准正态分布的上侧分位数。（2）求法：反查标准正态分布表。2.4随机变量函数的概率分布1.随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.2.离散

31、型随机变量的概率分布设离散型随机变量的分布律为则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为但是，若有相同的情况，则需要合并为一项.故Y的分布律为有时我们只求Y=g（X）在某一点y处取值的概率，有，即把满足的所对应的概率相加即可。3.连续型随机变量函数的概率密度定理：设为连续型随机变量，其密度函数为.设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则的概率密度为.证明：略解：利用例2-27所得的结论，fx（x）（1）,则（2）即.例2-28说明两个重要结论：当时，,且随机变量称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换仍是正态随机变量，即aX+b，这两个结论十分有用，必须记住。第二章小结一、

32、内容分布律二、试题选讲1.（1016）抛一枚硬币5次，记正面向上的次数为，则_.答案：2.（0404）设随机变量的概率密度为则（）.A.B.C.D. 1答案：A3.（1004）设随机变量的概率密度为则常数等于（）.A. 1B.C.D. 1答案：D4.（1003）设随机变量在区间2，4上服从均匀分布，则（）.A.B.C.D.答案：C5.（1015）设随机变量，已知标准正态分布数值，为使，则常数_.答案：36.（0704）设每次试验成功的概率为，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（）.A.B.C.D.答案：A7.（0715）已知随机变量，且，则_.答案：58.（0716）设随机变量的分布函

33、数为，则常数_.答案：19.（0727）设随机变量服从参数为3的指数分布，试求：（1）的概率密度；（2）.解：10.（1028）司机通过某高速路收费站等候的时间（单位：分钟）服从参数为的指数分布，（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率；（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用表示等候时间超过10分钟的次数，写出的分布律，并求.解：第三章内容介绍本章讨论多维随机变量的问题，重点讨论二维随机变量及其概率分布。内容讲解3.1多维随机变量的概念1. 维随机变量的概念：个随机变量，构成的整体（，）称为一个维随机变量，称为的第个分量（）.2.二维随机变量分布函数的概念： 设（，）为一个二维随

34、机变量，记， 称二元函数为二维随机变量（，）的联合分布函数，或称为（，）的分布函数. 记函数， 则称函数和为二维随机变量（，）的两个分量和的边缘分布函数.3.二维随机变量分布函数的性质：（1）是变量（或）的不减函数；（2）01，对任意给定的，；对任意给定的，；，；（3）关于和关于均右连续，即.（4）对任意给定的，有.例题1. P62【例31】判断二元函数是不是某二维随机变量的分布函数。解：我们取,= 1-1-1+0=-10,不满足第4条性质，所以不是。4.二维离散型随机变量（1）定义：若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（），（1，2，），则称（X，Y）为二维离散型随机变量.（2

35、）分布律： 设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（），（1，2，），（X，Y）的各个可能取值的概率为，（1，2，），称，（1，2，）为（X，Y）的分布律.（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式（X，Y）分布律的性质1，（1，2，）；2例题2. P62【例32】设（X,Y）的分布律为求a的值。解：（3）分布函数 由离散型二维随机变量（X，Y）分布律，可以求得其分布函数.例题3. P63【例33】设（X,Y）的分布律为求：（1）PX=0；（2）PY2；（3）PX1,Y2；（4）PX+Y=2（1）X=0=PX=0,Y=1PX=0,Y=2X=0,Y=3（2）Y=1=X=0，Y=1X=1，Y=1Y

36、=2=X=0，Y=2X=1，Y=2，（3）X1,Y2=X=0,Y=1 X=0,Y=2,且事件X=0,Y=1,X=0,Y=2互不相容，所以PX1,Y2=PX=0,Y=1+ PX=0,Y=2=0.1+0.1=0.2（4）X+Y=2=X=0,Y=2X=1,Y=1,类似可得PX+Y=2=PX=0,Y=2+PX=1,Y=1=0.1+0.25=0.35（4）边缘分布律： 定义：对于离散型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的分布律称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘分布律，记为（或 求法：它们可由（X,Y）的分布律求出，. 性质：例题5. P64【例35】求例3-4中（X,Y）关于X和Y的边缘分布律。解：X与

37、Y的可能值均为1，2，3.（X，Y）关于X的边缘分布律为：（X，Y）关于Y的边缘分布律为：可以将（X，Y）的分布律与边缘分布律写在同一张表上：值得注意的是：对于二维离散型随机变量（X，Y），虽然它的联合分布可以确定它的两个边缘分布，但在一般情况下，由（X，Y）的两个边缘分布律是不能确定（X，Y）的分布律的。例题6. P65【例3-6】设盒中有2个红球3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X，Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出（X，Y）的分布律与边缘分布律。解：（1）有放回摸球情况：由于事件X=i与事件Y=j相互独立（i，j=0，1），所以PX=

38、0，Y=0=PX=0PY=0=PX=0，Y=1=PX=0PY=1=PX=1，Y=0=PX=1PY=0=PX=1，Y=1=PX=1PY=1=则（X，Y）的分布律与边缘分布律为（2）不放回摸球情况：类似地有PX=0，Y=1=PX=1，Y=0=PX=1，Y=1=则（X，Y）的分布律与边缘分布律为5.二维连续型随机变量的概率密度（1）设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y），若存在非负可积函数，使得对任意实数x，y，有，则称（X，Y）为二维连续型随机变量；并称为（X，Y）的概率密度或X与Y的联合密度函数.（2）概率密度的性质： 非负； ； 若在处连续，则有； .6.两种二维连续型随机变量分布（

39、1）均匀分布定义：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S0，如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X,Y）在D上服从均匀分布），记作（X,Y）UD。两种特殊区域的情况：.D为矩形区域axb，cyd，此时.D为圆形区域，如（X,Y）在以原点为中心，R为半径的圆形区域上服从均匀分布，则（X,Y）概率密度为解：根据上图，D的面积，所以（X，Y）的概率密度为事件X+Y1意味着随机点（X，Y）落在区域上，则（2）正态分布定义：若二维随机变量（X，Y）概率密度为1其中都是常数，且则称（X,Y）服从二维正态分布，记为2三维空间的曲面。7.二维随机变量的边缘分布（1

40、）定义：对于连续型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为（2）求法：它们可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出，例题10：P70【例310】设（X,Y）在矩形域D上服从均匀分布，其中D：求（X,Y）的边缘概率密度解：3.2随机变量的独立性1.两个随机变量的独立性用两个随机事件的独立性导出两个随机变量的独立性。（1）定义：设F（x,y），FX（x）和FY（y）分别是二维随机变量（x,y）的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数x，y，有F（x,y）= FX（x）FY（y），则称X与Y相互独立.（2）等价关系：PXx,Yy=P

41、XxPYy.2.二维离散型随机变量的独立性的充要条件设（X,Y）为二维离散型随机变量，其分布律为其边缘分布律为X与Y相互独立的充分必要条件是，对一切i，j有反之，只要有一对（i，j）使上式不成立，X与Y就不相互独立.例题14：P74【例3-15】判断3.1节例3-6中X与Y是否相互独立。解（1）有放回摸球情况：因为所以X与Y相互独立。（2）不放回摸球情况：因为PX=0，Y=0PX=0PY=0，所以X与Y不相互独立。例题15：P75【例316】设（X,Y）的分布律为且X与Y相互独立，求常数a,b之值。解：3.二维连续型随机变量相互独立的充要条件设（X,Y）为二维离散型随机变量，其概率密度及关于X和Y的边缘概率密度分别为f（x,y），和则X与Y相互独立的充分必要条件是等式几乎处处成立.例题16