高等数学 D1习题课(黑白)

1、二、二、 连续与间断连续与间断 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 习题课习题课 函数与极限函数与极限 第一章第一章 1实用精品课件PPT )(xfy y x O D 一、一、 函数函数 1. 概念概念 定义定义: Df :R)(Df DxxfyyDf, )()( 定义域定义域 值域值域 图形图形: DxxfyyxC, )(),( ( 一般为曲线一般为曲线 ) 设设函数为特殊的映射函数为特殊的映射: 其中其中 DR 2实用精品课件PPT 2. 特性特性 有界性有界性 , 单调性单调性 , 奇偶性奇偶性 , 周期性周期性 3. 反函数反函数 )(:DfDf设函数设函数为单射为单射, 反函数为

2、其逆映射反函数为其逆映射 DDff )(: 1 4. 复合函数复合函数 给定函数链给定函数链)(: 11 DfDf 1 )(:DDgDg 则复合函数为则复合函数为 )(:DgfDgf 5. 初等函数初等函数 有限个有限个常数及基本初等函数常数及基本初等函数经经有限次有限次四则运算与四则运算与 复合而成的复合而成的一个一个表达式的函数表达式的函数. )( 1 Df D )(Dg g 1 D fgf 3实用精品课件PPT 思考与练习思考与练习 1. 下列各组函数是否相同下列各组函数是否相同 ? 为什么为什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)( 2 xxx与 ax

3、a axx xf , , )()2( 2 )( 2 1 )(xaxax与 0, 0,0 )()3( xx x xf)()(xffx 与 相同相同 相同相同 相同相同 4实用精品课件PPT 2. 下列各种关系式表示的下列各种关系式表示的 y 是否为是否为 x 的函数的函数? 为什为什 么么? 1sin 1 ) 1 ( x y , 0,cos,sinmax)2( 2 xxxy 2 2,arcsin)3(xuuy 不是不是 4 0 x,cosx 2 4 x,sin x 是是 不是不是 提示提示: (2)y 5实用精品课件PPT 0 x 0,1 0,1 )()4( 3 3 xx xx xf 0, 1

4、0, 1 )()2( x x xf 1,4 1,2 )()3( x x xf , 2 x x 1, 1 1, 1 3 x x 1 ) 1( 3 2 x x ,1 6 x 1x Rx 3. 下列函数是否为初等函数下列函数是否为初等函数 ? 为什么为什么 ? 0, 0, )() 1 ( xx xx xf 2 x 以上各函数都是初等函数以上各函数都是初等函数 . 6实用精品课件PPT 4. 设设,0)(,1)(,e)( 2 xxxfxf x 且求求)(x 及其定义域及其定义域 . 5. 已知已知 8,)5( 8,3 )( xxff xx xf, 求求 . )5(f 6. 设设,coscsc) sin

5、 1 (sin 22 xx x xf 求求. )(xf 由由 )( 2 e x x1 得得 ,)1ln()(xx0,(x ,e)(f x 2 x f)(x4. 解解:e )(x 2 7实用精品课件PPT f 5. 已知已知 8,)5( 8,3 )( xxff xx xf, 求求 . )5(f 解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f )( f312)(9f6 6. 设设,coscsc) sin 1 (sin 22 xx x xf 求求 . )(xf 解解:1sin sin 1 ) sin 1 (sin 2 2 x x x xf 3) sin 1 (sin 2 x x 3)(

6、 2 xxf 8实用精品课件PPT 二、二、 连续与间断连续与间断 1. 函数连续的等价形式函数连续的等价形式 )()(lim 0 0 xfxf xx )()(, 000 xfxxfyxxx 0lim 0 y x )()()( 000 xfxfxf ,0,0, 0 时当 xx 有有 )()( 0 xfxf 2. 函数间断点函数间断点 第一类间断点第一类间断点 第二类间断点第二类间断点 可去间断点可去间断点 跳跃间断点跳跃间断点 无穷间断点无穷间断点 振荡间断点振荡间断点 9实用精品课件PPT 有界定理有界定理 ; 最值定理最值定理 ; 零点定理零点定理 ; 介值定理介值定理 . 3. 闭区间上

7、连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 例例1. 设函数设函数)(xf , 2 )cos1 ( x xa 0 x ,10 x , )(ln 2 xb0 x 在在 x = 0 连续连续 , 则则 a = , b = . 提示提示: 2 0 )cos1 ( lim)0( x xa f x 2 a 2 2 1 cos1xx )(lnlim)0( 2 0 xbf x bln b a ln1 2 2e 10实用精品课件PPT ) 1)( e )( xax b xf x 有无穷间断点有无穷间断点 0 x 及可去间断点及可去间断点, 1x 解解:为无穷间断点为无穷间断点,0 x ) 1)( e lim 0 x

8、ax b x x 所以所以 b xax x x e ) 1)( lim 0 b a 1 0 1,0ba 为可去间断点为可去间断点 ,1x ) 1( e lim 1 xx b x x 极限存在极限存在 0)(elim 1 b x x eelim 1 x x b 例例2. 设函数设函数 试确定常数试确定常数 a 及及 b . 11实用精品课件PPT 例例3. 设设 f (x) 定义在区间定义在区间),( 上上 , 有yx,)()()(yfxfyxf, 若若 f (x) 在在 连续连续,0 x 提示提示: )(lim 0 xxf x )()(lim 0 xfxf x )0()(fxf )0( xf)

9、(xf 阅读与练习阅读与练习 且对任意实数且对任意实数 证明证明 f (x) 对一切对一切 x 都连续都连续 . P65 题题 1 , 3(2) ; P74 题题 * *6 12实用精品课件PPT 证证: P74 题题* *6. 证明证明: 若若 令令,)(limAxf x 则给定则给定 ,0,0X当当Xx 时时, 有有AxfA)( 又又 , ,)(XXCxf根据有界性定理根据有界性定理,0 1 M, 使使 ,)( 1 XXxMxf 取取 1 ,maxMAAM 则则),(,)(xMxf )(xf 在在 ),(内连续内连续, )(limxf x 存在存在, 则则 )(xf必在必在),(内有界内有

10、界. )(xf XX A 1 M O y x 13实用精品课件PPT 0)()()( 21 2 xfxff 上连续上连续 , 且恒为正且恒为正 , 例例4. 设设 )(xf在在,ba 对任意的对任意的, ),(, 2121 xxbaxx 必存在一点必存在一点 证证: , , 21 xx 使使. )()()( 21 xfxff 令令 )()()()( 21 2 xfxfxfxF, 则则 ,)(baCxF )()( 21 xFxF )()()( 211 2 xfxfxf)()()( 212 2 xfxfxf )()( 21 xfxf 2 21 )()(xfxf0 使使 ,)()( 21 时当xfx

11、f,0)(xf,0)()( 21 xFxF 故由零点定理知故由零点定理知 , 存在存在, ),( 21 xx,0)(F即即 . )()()( 21 xfxff ,)()( 21 时当xfxf, 21 xx或取 )()()( 21 xfxff 证明证明: , 0)(F则有即即 14实用精品课件PPT 上连续上连续, 且且 a c d b ,例例5. 设设)(xf在在,ba 必有一点必有一点 证证: , ,ba使使 )()()()(fnmdfncfm , ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)( )()(dfncfm )( )()( f nm dfncfm 即即 由介值定理由介值定理, 使存在

12、, ,ba 证明证明: M nm dfncfm m )()( )()()()(fnmdfncfm ,m及最小值故故 即即 mnm)(Mnm)( 15实用精品课件PPT 三、三、 极限极限 1. 极限定义的等价形式极限定义的等价形式 (以以 为例为例 ) 0 xx Axf xx )(lim 0 0)(lim 0 Axf xx (即即 为无穷小为无穷小)Axf)( , )( 0 xxx nn n 有有Axf n n )(lim n x, 0 x Axfxf )()( 00 2. 极限存在准则及极限运算法则极限存在准则及极限运算法则 16实用精品课件PPT 3. 无穷小无穷小 无穷小的性质无穷小的性

13、质 ; 无穷小的比较无穷小的比较 ; 常用等价无穷小常用等价无穷小: 4. 两个重要极限两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法（函数极限与数列极限关系）判断极限不存在的方法（函数极限与数列极限关系） sin xxtanxxcos1x 2 2 1 x arctanxxarcsin xx)1ln(xx 1e x x1 x aaxln1)1 ( x x 5. 求极限的基本方法求极限的基本方法 ( 极限运算法则，变形为重要极限）极限运算法则，变形为重要极限） 1 sin lim) 1 ( 0 1) 1 1 (lim)2( 0 或或 1 0 lim(1)e 注注: 代表相同的表达式代表相同的表达式 1

14、7实用精品课件PPT 例例6. 求下列极限：求下列极限： )sin1(sinlim) 1 (xx x x x x sin 1 1 2 lim)2( x x x x cot 1 1 0 lim)3( 提示提示: xxsin1sin) 1 ( 2 1 cos 2 1 sin2 xxxx 2 1 cos )1(2 1 sin2 xx xx 无穷小无穷小有界有界 18实用精品课件PPT 令令 1 lim)2( x 1 xt 0 lim t) 1(sin )2( t tt 0 lim t t tt sin )2( 0 lim tt tt )2( 2 x x sin 1 2 19实用精品课件PPT 0 l

15、im)3( x x x x cot 1 1 0 lim x x x x cot ) 1 2 1( e x x x x 1 2 1 2 )1(ln 2 e 则有则有 )( )(1lim 0 xv xx xu 复习复习: 若若,0)(lim 0 xu xx ,)(lim 0 xv xx e )(1ln)(lim 0 xuxv xx e )()(lim 0 xuxv xx )(lim 1 2 sin cos 0 x x x x x 1 20实用精品课件PPT Ox y 33 1xy 例例7. 确定常数确定常数 a , b , 使使 0)1(lim 33 bxax x 解解: 原式可变形为原式可变形为

16、 0)1(lim 3 1 3 x b x x ax 0)1(lim3 1 3 x b x x a 故故,01a于是于是,1a而而 )1(lim 33 xxb x 233 3 23 1)1 ( 1 lim xxxx x 0 xy 21实用精品课件PPT 例例9. 当当0 x时时, 32 xx 是是x的几阶无穷小的几阶无穷小? 解解: 设其为设其为 x 的的 k 阶无穷小阶无穷小 , 则则 k x x xx 32 0 lim 0C 因因 k x x xx 32 0 lim 3 3 2 0 lim k x x xx 3 3 0 )1 (lim 2 3 2 1 xx k x 故故 6 1 k 22实用

17、精品课件PPT 阅读与练习阅读与练习 1. 求求的间断点的间断点, 并判别其类型并判别其类型. 解解: ) 1)(1( sin)1 ( )( xxx xx xf ) 1)(1( sin)1 ( lim 1 xxx xx x 1sin 2 1 x = 1 为第一类为第一类可去间断点可去间断点 )(lim 1 xf x x = 1 为第二类为第二类无穷间断点无穷间断点 , 1)(lim 0 xf x 1)(lim 0 xf x x = 0 为第一类为第一类跳跃间断点跳跃间断点 23实用精品课件PPT 2. 求求. sin e1 e2 lim 4 1 0 x x x x x 解解: x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 x x x xx x sin 1e e2 lim 4 34 0 e 1 x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 1 原式