应用多元统计分析习题解答_主成分分析

1、主成分分析6.1试述主成分分析的基本思想。答：我们处理的问题多是多指标变量问题，由于多个变量之间往往存在着一定程度的相关性，人们希望能通过线性组合的方式从这些指标中尽可能快的提取信息。当第一个组合不能提取止。这就是主成分分析的基本思想。6.2主成分分析的作用体现在何处？答：一般说来，在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。以各个主成分为分量，就得到一个更低维的随机向量； 主成分分析的作用就是在降低数据 “维数”6.3简述主成分分析中累积贡献率的具体含义。答：主成分分析把P个原始变量X!,X2，Xp的总方差tr（习分解成了 P个相互独立的变量 P个主成分的，忽略一些带有较小

2、方差的主成分将不会给总方差带来太大的影响。这里我们m/ Pm（ ： p）个主成分，则称一:m 7 -k为主成分Yi,，Ym的累计贡献率，累计贡献率k q!k 1表明Y，Yn综合XX2，Xp的能力。通常取 m，使得累计贡献率达到一个较高的百分数（如85%以上）。答：这个说法是正确的。即原变量方差之和等于新的变量的方差之和6.5试述根据协差阵进行主成分分析和根据相关阵进行主成分分析的区别。答：从相关阵求得的主成分与协差阵求得的主成分一般情况是不相同的。从协方差矩阵出发的，其结果受变量单位的影响。主成分倾向于多归纳方差大的变量的信息，对于方差小的变量就可能体现得不够，也存在“大数吃小数”的问题。实际

3、表明，这种差异有时很大。我rn需/23/2的协差阵为V3/221/+5芒G3/25凋用31/4需/23/2J A 5/4 =o5/46.6 已知 X=(人忑忑)11-X解: |I-AE|=问23/2试进行主成分分析。计算得 禺T出同A D(YJ= 12(YJ = Aa = 8D(Ya)=Aa = 4At=12(I-XiE)-2 0 -2 o 73 -1 0 0 02v13-275再0囲0-17一护0 126苗 18 /-2 V3-54V3 30 H o _再10褐-34/ 0 0otj =（2, 1,同*同理，计算得鼻二8 时，& = （-2, 3丫易知 . .- 相互正交 TfY V Tf

4、V TCV,-综上所述，第一主成分为 Yi=tXi+；X2 + X3岖）=12244第二主成分为 Y疔壮+汎+押叫=8翻 I第三主成分为 号=一；沧+;*3IXVa）二6.7设X=（%f 屈,；）的协方差阵（p囂鬥为0p1证明：十:-:为最大特征根，其对应的主成分为a3-X pu2 pcfpa2 a: - A .“ pa:papa3 m a3 -Al(p - l)pa2 + a5 -2 ptf pCFZ (p - l)pa3 + a: -1 as -1 per3 I:ME 贰(p-l)pa2 lu3 - A pa2 (J3- (p - l)pa: +(js - Apaz -per0护(1 一

5、p) Xn7()pL钉-內-环卜J血_: :- :为最大特征根当5二一一- -. :时,/p(l-p)IT-l.FU Pff：pa pa*10o1 * 00 “ 0所以， -6.8利用主成分分析法，综合评价六个工业行业的经济效益指标。单位：（亿元）行业名称资产固定资产净产品销利润总计值平均余额售收入总额煤炭开采和选业6917.23032.7683.361.6石油和天然气开采业5675.93926.2717.533877黑色金属矿采选业768.1221.296.513.8有色金属矿采选业622.4248116.421.6非金属矿采选业699.9291.584.96.2其它采矿业1.60.50.3

6、0解:令资产总计为X1,固定资产净值平均余额为X2,产品销售收入为 X3,利润总额为X4,用SPSS寸这六个行业进行主成分分析的方法如下：1. 在SPSS窗 口中选择 Analyze Data Reduction Factor菜单项，调出因子分析主界面，并将变量 Xi-X5移入Variables框中，其他均保持系统默认选项，单击0K按钮，执行因子分析过程（关于因子分子在SPSS中实现的详细过程，参见7.7）。得到如表6.1所示的特征根和方差贡献率表和表6.2所示的因子载荷阵。第一个因子就可以解释86.5%表6.1特征根和方差贡献率表解秤的总育差EW初皓特征值桿取平有和载入台计肓弟的累執隔合计君

7、差的13.46086.49996.4993.46086.49908.4992.53713.43499.S333.002.06099.9934.000.007100.000表6.2因子载荷阵成棉1泊.047.999X3.686则7692.将表6.2中因子载荷阵中的数据输入SPSS数据编辑窗口，命名为al。点击菜单项中的Transforms Compute，调出 Compute variable对话框，在对话框中输入等式：z1=a1 / SQRT3.46），计算第一个特征向量。点击OK按钮，即可在数据编辑窗口中得到以zi为变量名的第一特征向量。表6.3特征向量矩阵z1x10.509x20.537x

8、30.530x40.413根据表6.3得主成分的表达式：Y1 =0.509X10.537X2 0.530X3 0.413X43. 再次使用Compute命令，调出 Compute variable对话框，在对话框中输入等式:y1 =0.509* x1 0.537* x2 0.53* x3 0.413* x4根据六个工业行业计算所的y1的大小可得石油和天然气开采业的经济效益最好，煤炭开采和选业其次，接着依次是黑色金属、非金属、有色金属和其他采矿业。6.9下表是我国2003年各地区农村居民家庭平均每人主要食品消费量，试用主成分方法对各主要食品和地区进行分类。地区粮食蔬菜食油猪牛 羊肉家禽蛋类 及其

9、 制品水产 品食糠酒北京134.0592.789.1514.62.1710.134.252.9214.42天津150.269.991011.070.8410.88.350.7210.14河北216.7255.976.597.10.546.362.250.657.29山西218.9180.875.725.360.246.150.471.152.59内蒙207.370.772.7921.181.413.821.451.3410.77辽宁194.39178.595.916.452.519.594.490.7310.8吉林255.99115.26.2711.423.238.643.60.7513.64

10、黑龙江195.08111.77.627.852.616.263.350.915.09上海189.4476.68.5916.377.47.5116.112.1216.77江苏251.98109.128.2712.054.56.729.091.38.82浙江208.4683.915.8116.426.035.3314.642.1324.15安徽228.3580.976.879.074.275.045.431.4210.61福建198.2799.925.1916.515.143.5513.32.3516.84江西264.8144.228.7713.243.313.55.191.137.31山东229

11、.06118.196.968.092.711.614.01110.81河南236.97100.114.226.481.238.011.351.134.23湖南227.39159.769.419.862.743.868.10.927.29湖北247.21149.448.3517.513.893.286.891.134.02广东233.75130.226.7322.2710.42.8313.32.163.33广西205.65108.944.9214.447.331.123.571.186.14海南236.3186.615.715.49.771.3114.751.243.88解:令粮食为X1，蔬菜为

12、x2，食油为x3，猪牛羊肉为x4,家禽为x5，蛋类及其制品为x6， 水产品为x7,食糠为x8，酒为x9,用SPSSS行主成分分析的具体方法参见 6.8，分析结果 如下：表6.4特征根和方差贡献率表解齋她总肓差初始特征值提取平方和载入舍计累镇監舍计育差的俯累與12.92732.52132.5212.92732.52132.52122.22024.67157 1922.22024.6715719231.34414.93672.1201.34414 93672.1284801890531.0335.6547.25338 2966.3964.39992,6941335372796.422E2222 4

13、7299.894e.1001.105100.000表6.5因子载荷阵123XI.002.G20-006.093-.477.715009.276SOSX4780-.113.194-.212064-.503.608312灯.857177130.664.496-.151.241.735-.023表6.6特征向量矩阵z1z2z3x10.001169-0.55035-0.00518x20.054359-0.320140.616746x30.0052610.1852390.697829x40.455914-0.075840.167341x50.509689-0.14229-0.05521x6-0.3290

14、80.4080630.269126x70.5009210.1187950.112136x80.3881120.332893-0.13025x90.1408660.4933-0.01984根据表6.6得主成分的表达式：Y1 =0.001X1 0.054X2 0.005X3 0.456X4 0.51X5 -0.329X6 0.501X7 0.388X8 0.141X9Y2 = -0.55X1 -0.32X2 0.185X3-0.076X4 -0.142X5 0.408X6 0.119X7 0.333X8 0.493X 9如下表：Y3 =0005X1 0.617X2 0.698X3 0.167X4

15、0.055X50.269X6 0.112X7 0.130X8 0.02X9地区y1y2y3y北京14.92-90.4267.81-10.16天津11.80-93.4854.76-15.31上海24.39-115.4657.85-16.51福建24.55-129.9368.56-19.17浙江25.14-126.0059.51-19.43辽宁19.55-154.56118.72-19.47黑龙江13.27-131.9076.07-23.38湖南23.53-169.91108.84-24.97广东29.80-167.0688.93-25.29广西19.18-144.8972.06-25.99分别计

16、算出以上三项后，利用公式Y 丫1丫2Y3得到综合得分并排序送扎 送扎 送九内蒙15.93-130.4748.84-27.33海南24.93-154.5760.04-29.19山东11.81-152.6481.06-30.09湖北21.71-179.61100.93-30.74安徽14.06-143.1256.46-30.92江苏18.07-164.9376.08-32.51河北7.10-129.8340.94-32.73山西6.20-141.4455.18-34.15吉林14.54-166.9078.26-34.32江西18.74-185.6297.04-34.94河南8.32-156.366

17、6.62-35.93最后的分类可以根据最终得分 Y的值来划分，由于没有给出具体的分类标准，具体分类结果 根据各人的主观意愿可以有多种答案。6.10根据习题5.10中2003年我国省会城市和计划单列市的主要经济指标数据，利用主成 分分析法对这些地区进行分类。解：用SPSS进行主成分分析的具体方法参见6.8，分析结果如下：表6.7特征根和方差贡献率表解齋的总育差初始特征值提取平育和载入台计启差的累和舍计育差的隔累頼15.05856.1995B.1995.05856.1 995613922 39026.551827502.39026.55182.7503.8149.04191.7904.3413.7

18、8495.5755.2482.7699B.33361001.10B99.4417.027.3049S.744G.02021S99.964g003.036100.000表6.8因子载荷阵12X1B55722X2.629.736x3.315-444X4.694-.571x590S-.302x6一曲4-.419x7.687.607.683180y9.882-.370表6.6特征向量矩阵z1z2x10.290.47x20.280.48x30.14-0.29x40.31-0.37x50.40-0.20x60.40-0.27x70.310.39x80.390.12x90.39-0.24青岛35237.2714552.4628597.44大连31830.5617629.5327272.03济南25149.7316499.3922372.97福州22734.1616326.9720677.45乌鲁木齐22284.5415284.6820037.59沈阳23184.9912310.2219694.19武汉23909.279770.56