（课标通用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 2 第二节 函数的单调性与最值课件 理

1、第二节第二节函数的单调性与最值函数的单调性与最值 1.函数的单调性 2.函数的最值 3.函数最值的有关结论 教教 材材 研研 读读 考点一 确定函数的单调性(区间) 考点二 求函数的最值(值域) 考点三 函数单调性的应用 考考 点点 突突 破破 1.函数的单调性函数的单调性 (1)单调函数的定义 教材研读 增函数减函数 定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数 当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 减函数 图象 描述 自左向右看图象是 上升

2、的 自左向右看图象是 下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性 ,区间D叫做函数y=f(x)的 单调区间 . 点拨点拨 1.函数的单调性定义中的x1,x2有三个特征:一是任意性;二是有 大小,即x1x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可. 2.单调性的两种等价形式 设任意x1,x2a,b且x10f(x)在a,b上是增函数;0f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)- f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. 12 12 ( )()f xf x xx 12 12 ( )()f xf x

3、 xx 2.函数的最值函数的最值 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件(1)对于任意xI,都有f(x)M; (2)存在x0I,使得f(x0)=M (1)对于任意xI,都有f(x)M; (2)存在x0I,使得f(x0)=M 结论M为函数y=f(x)的最大值 M为函数y=f(x)的最小值 3.函数最值的有关结论函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上 单调时,最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值). 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数y=的单调递减区间是(-,0)(0,+)

4、.( ) (2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调 性.( ) (3)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)f(3),则函数f(x)在R上为增函数.( ) (4)函数y=f(x)在1,+)上是增函数,则函数的单调递增区间是1,+). ( ) 1 x (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函 数在定义域上是增函数.( ) (6)所有的单调函数都有最值.( ) 2.下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是( A ) A.y=ln(x+2) B.y=- C.y= D.y=x+ 1x 1 2 x 1 x 答案答案 A函数y=ln(x+2)的增区间为(-2

5、,+),所以在(0,+)上一定是增 函数. 3.(2019广东广州期末)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是( A ) A.1,2 B.-1,0 C.0,2 D.2,+) 答案答案 A f(x)=|x-2|x=其图象如图, 由图象可知函数的单调递减区间是1,2. 2 2 2 ,2, 2 ,2. xx x xx x 4.函数f(x)=(2a-3)x+a在R上是减函数,则实数a的取值范围为 . 答案 3 , 2 解析由f(x)=(2a-3)x+a在R上是减函数,得2a-30,即a0时,在(-1,1)上, f (x)0,函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a0,函数f(x)在(-1,1)上递

6、增. 2 ()(1) (1) axx x 2 (1) (1) ax x x 2 (1) (1) a xax x 2 (1) a x 探究探究 若将本例(2)中的函数变为f(x)=|-x2+2x+1|,如何求解? 解析解析函数y=f(x)=|-x2+2x+1|的图象如图所示.由图象可知,函数y=|-x2+2x +1|的单调递增区间为(1-,1)和(1+,+),单调递减区间为(-,1-) 和(1,1+). 222 2 方法技巧方法技巧 判断函数单调性的常用方法 (1)定义法和导数法:注意证明函数在某区间上具有单调性只能用定义 法和导数法. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)

7、的图象易作出,可由 图象的升、降判断函数的单调性. 易错警示易错警示 求函数的单调区间要注意的问题 (1)单调区间是定义域的子集,故求单调区间应以“定义域优先”为 原则. (2)图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用 “”连接. 1-1下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是( C ) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- D.f(x)=-|x| 1 1x 答案答案 C当x0时, f(x)=3-x为减函数;当x时, f(x)=x2-3x为减函 数;当x时, f(x)=x2-3x为增函数;当x(0,+)时, f(x)=-为增 函数;当x(0,+)

8、时, f(x)=-|x|为减函数. 3 0, 2 3 , 2 1 1x 1-2判断函数y=的单调性. 2 23x x 解析解析因为f(x)=2x-, 且函数的定义域为(-,0)(0,+), 而函数y=2x和y=-在区间(-,0)上均为增函数, 根据单调函数的运算性质可得, f(x)=2x-在区间(-,0)上为增函数. 同理可得, f(x)=2x-在区间(0,+)上也是增函数. 故函数f(x)=在区间(-,0)和(0,+)上均为增函数. 2 23x x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 23x x 典例典例2(1)函数y=x+的最小值为 ; (2)函数f(x)=|x-1|+x2的值域是 . 1

9、x 求函数的最值(值域) 答案答案(1)1(2) 3 , 4 解析解析(1)令=t,则t0,x=t2+1, 所以y=t2+t+1=+, t0,由二次函数的性质可知,当t=0时,ymin=1. (2)因为f(x)=|x-1|+x2= 所以f(x)= 1x 2 1 2 t 3 4 2 2 1,1, 1,1, xxx xxx 2 2 15 ,1, 24 13 ,1. 24 xx xx 作出函数图象如图, 由图象知f(x)=|x-1|+x2的值域为. 3 , 4 方法技巧方法技巧 求函数最值的五种常用方法 单调性法先确定函数的单调性,再由单调性求最值 图象法先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求

10、出最值 基本不等式法先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条 件后用基本不等式求出最值 导数法先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值 换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应 的方法求最值 2-1函数f(x)=在区间a,b上的最大值是1,最小值是,则a+b= . 1 1x 1 3 答案答案6 解析解析易知f(x)在a,b上为减函数, 即a+b=6. ( )1, 1 ( ), 3 f a f b 1 1, 1 11 , 13 a b 2, 4. a b 2-2 (2019湖北武汉期末)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是 . 2 ,1, 6 6,1

11、, xx xx x 答案答案2-6 6 解析解析因为y=x2在(-,0)上单调递减,在0,+)上单调递增,所以当x1 时, f(x)min=f(0)=0. 当x1时,y=x+2,当且仅当x=时等号成立,此时f(x)min=2-6. 又2-6x11 时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ab B.cba C.acb D.bac 1 2 解析解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+)上是 减函数. 所以a=f=f, f(2)ff(3),所以bac. 1 2 5 2 5 2 方法技巧方法技巧 利用函数的单调性比较函数值大小的求解思路 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同

12、一个单调区间内,要利用函 数的性质转化到同一个单调区间内,只需比较自变量的大小即可,根据 单调性比较函数值大小. 命题方向二解函数不等式命题方向二解函数不等式 典例典例4已知函数f(x)为(0,+)上的增函数,若f(a2-a)f(a+3),则实数a的 取值范围为 . 答案答案(-3,-1)(3,+) 解析解析由已知可得解得-3a3,所以实数a的取值范 围为(-3,-1)(3,+). 2 2 0, 30, 3, aa a aaa 规律总结规律总结 利用函数单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数 不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意函数的定义域的限制. 命题方向三求参数的取值范围命题方向三求参数的取值范围(值值) 典例典例5已知函数f(x)=(a0)在(2,+)上递增,则实数a的取值范围 为 . 2 xa x 答案答