第七章微分方程

1、第七章 微分方程教学目的：1了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分 方程。4.会用降阶法解下列微分方程：y(n)f(x), y f(x,y)和y f(y, y)5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线 性微分方程。7. 求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次 线性微分方程的特解和通解。8. 会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程

2、组。 9会解微分方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题。教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、 可降阶的高阶微分方程 y f(x), y f(x, y)和y f(y, y)3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、 指数函数、 余弦函数， 以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3 、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线 性微分方程的特解。4、欧拉方程 121 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关

3、系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问 题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列 出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以 后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程例1 一曲线通过点(12) 且在该曲线上任一点 Mxy)处的切线的斜率为2X求这曲线的方程解设所求曲线的方程为y y(x)根据导数的几何意义可知未知函数 yy(x)应满足关系式(称为微分方程)鱼2xdx(1)此外未知函数yy( x)还应满足下列条件x 1时y 2 简记为y| x 12把(1)式

4、两端积分得(称为微分方程的通解)y 2xdx 即 y x2 C其中C是任意常数 把条件“ x 1时 y 2”代入式 得212 C由此定出C 1 把C 1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x 12的解)2 .y x 1例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度 0 4m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多 少路程解设列车在开始制动后 t秒时行驶了 s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数s s(t)应满足关系式此外 未知函数s S(t)还应满足下列条件to 时 s 0v dSdt20简记为S| t 0=

5、0vds dt0.4tCl(6)再积分一次得s02t2GtC2把(4)式两端积分一次得这里CC2都是任意常数把条件v|t o 20代入得20 C把条件S|t 0 0代入得0C2把CC2的值代入及式得v0 4t20(8)2s0 2t20t(9)在(8)式中令v 0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间200.450(s)再把t 50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程2s 02 5020 50500( m)解设列车在开始制动后t秒时行驶了 s米s0 4并且s| t0=0s 11 0=20把等式s04两端积分一次得s0 4tC即v0 4t C(C是任意常数)再积分一次得s0 2t2iCtC2 (

6、 CC2都C是任意常数)由 v| t 020 得 20C于是v0 4t 20由 s|t 00 得 0 C2于是s20 2t20t令v 0 得t 50(s)于是列车在制动阶段行驶的路程2s 02 5020 50500( m)几个概念常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的4xy3x2y(4)4y10y12y5ysin2 xF(xy微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数(x)在区间I上有n阶连续导数 如

7、果在区Fx(x)(x)(n) (x)0那么函数y(x)就叫做微分方程 F(xy(n) )0在区间I上的解通解如果微分方程的解中含有任意常数同这样的解叫做微分方程的通解初始条件用于确定通解中任意常数的条件x xo 时y yoy y 0一般写成且任意常数的个数与微分方程的阶数相称为初始条件 如y x xoyoy x xyoy(n)般n阶微分方程y(n) 0y(n 1)y(n) f(x特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程yf(xy)满足初始条件Yx xo yo的解的问题记为y f (x,y)y x x y

8、0积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线例3验证函数x Ceos ktC2 sinkt是微分方程今 k2x 0 dt2的解解求所给函数的导数dxdtkC| sin kt kC2 eosktd2xdt2k2C1eoskt k2C2sinktk2(C1 eoskt C2sinkt)d2x将dt2及x的表达式代入所给方程得22k (Ceos ktC2sin kt) k (Ceos ktC2sin kt)0d2x | 22 k x 0这表明函数x CcosktC2sin kt满足方程dt2因此所给函数是所给方程的解2雪 k2x 0例4已知函数 x Cieos ktC2sin kt

9、(k 0)是微分方程 dt2的通解 求满足初始条件x| t 0 A x1 t 00的特解解由条件x| t 0A及xG eosktC2 sin kt得CA再由条件x| t 00及x(t)kCsin ktkC2eos kt 得G0把C、G的值代入xCieos ktC2sin kt中 得x Aeos kt 122 可分离变量的微分方程观察与分析2x的通解为此把方程两边积分1求微分方程yy x2 C一般地方程yf (x)的通解为y2求微分方程y22xy的通解因为y是未知的所以积分2xy2dx接积分不能求出通解12 dy 2xdx为求通解可将方程变为y1x2 C或y1yx2 Cy 1可以验证函数yx2C

10、是原方程的通解一般地如果一阶微分方程y(无法进行方程两边直两边积分得x, y)能写成f (x)dx C(此处积分后不再加任意常数)g(y)dy f(x) dx形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程Gy) F(x) C由方程G(y) F(x) C所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式Rxy) dx Qxy)dy 0在这种方程中变量x与y是对称的若把x看作自变量、y看作未知函数则当Qx,y) 0时 有dyP(x, y)dxQ(x, y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当F(x, y)0时 有dx Q(x, y) dy P(x, y)可分离

11、变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成x的函数和g(y)dy f(x)dx (或写成 y (x) (y)的形式 就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy另一端只含dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程(1) y2xy是y dy 2xdx2(2)3 x5x y0是2dy (3 x5x) dx2(3)( xy2) dxxydy=0不是y1 x2 2y xy是2y (1 x)(1 y)y10x y是10ydy 10xdxx y y y x不是第一步分离变量将方程写成g(y)dyf (x) dx的形式第二步两端积分g( y)dyf(x)dx设积分后得G(

12、y) F(x) C第三步求出由Gy)F(x) C所确定的隐函数 y(x)或x(y)Gy)F(x)C y(x)或 x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)可分离变量的微分方程的解法(通)解C称为隐式例i求微分方程dx 2xy的通解解此方程为可分离变量方程分离变量后得Idy 2xdx y两边积分得1dy 2xdx y2即 ln|y| x G从而ex2 C1eClexy Cex2解此方程为可分离变量方程1 dy 2xdx y两边积分得分离变量后得1dy 2xdxy即 ln|y| x2 In C从而y Ce铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t 0时铀的含量为M求在衰变过程中铀含量 Mt

13、）随时间t变化的规律dM解 铀的衰变速度就是 Mt）对时间t的导数 dt由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程其中（0）是常数前的曲面号表示当t增加时M单调减少dM 0即dt由题意初始条件为将方程分离变量得dtdMM两边积分dMM()dt即 InIn C 也即M Ce t由初始条件得 m ce c所以铀含量Mt）随时间t变化的规律M Me t例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系解 设降落伞下落速度为 v（t）降落伞所受外力为 F mg kv（ k为比例系数） 根据牛顿第二运动定律 F ma 得函数v(t)应满足的方

14、程为dv . m mg kv dt初始条件为v| t o 0方程分离变量得dv dtmg kv mdv dt两边积分得mg kv m1t1ln(mg kv)不 Cv 9 ce mmt c 止即k(k )c mg将初始条件v|t 0 0代入通解得kmg-ktv -(1 e m )于是降落伞下落速度与时间的函数关系为k 例4求微分方程玄1 %2 2y2 xy2的通解解方程可化为兴(1 x)(1y2)分离变量得”1x)dx两边积分得(1 x)dx即arctany 才2 x C12x C)y tanLx 于是原方程的通解为2解 由水力学知道水从孔口流出的流量 Q可用下列公式计算Q 晋 0.62S2gh

15、其中0 62为流量系数S为孔口横截面面积g为重力加速度现在孔口横截面面积2S 1cm 故晋 0.62 2gh 或 * 0.62 2ghdt另一方面设在微小时间间隔t t dt 内水面高度由h降至h dh(dh 0)则又可得到dVr2dh其中r是时刻t的水面半径右端置负号是由于 dh 0而dV 0的缘故 又因r J1002(100一h)2 j200h h2所以 dV (200 h h2)dh通过比较得到0.62.2ghdt (200h h2)dh这就是未知函数h h(t)应满足的微分方程此外开始时容器内的水是满的所以未知函数h h(t)还应满足下列初始条件h|t 0100将方程0.62,2ghd

16、t(200h h2)dh分离变量后得dt0.62 叮2 g(200h23h2)dh两端积分得0.622g1(200h23h2)dh其中C是任意常数由初始条件得0.62、；2g 3(400 1002 2 1002) C50.62?2g (3400000 200000) 0.622g拾105t因此0.6Z.2g_5(7 105 103h2 3h2)上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间之间的函数关系 123 齐次方程齐次方程如果一阶微分方程中的函数f (x, y)可写成x的函数 即f (x，y)(x)则称这方程为齐次方程(3)(y , ydy dx2x20是齐次方程x2 yy2不是齐

17、次方程dy dxy2)dxxydy0是齐次方程dy dxF列方程哪些是齐次方程J1y 4) dx (x y 1)dy 0不是齐次方程xy2xy y2xx2dydx1x1 y21 x22 2x y_x:yxydxyxdy2xydxx y 1(y)21(4)(2(2xsh- 3ychy)dx 3xchydyx0是齐次方程业 “shy 3ych扌dx 3xch 工dydx2thy y3 x x齐次方程的解法在齐次方程烹(X)中令u I即y uxu X虫(u)dx分离变量 得du dx(u) u x两端积分得du dx(u) u x求出积分后y再用x代替u便得所给齐次方程的通解解方程y2xydx解原方

18、程可写成(y)2 dy丈 dx xy x2 y 1xu因此原方程是齐次方程令x则dy du u x y ux dx dx于是原方程变为xdxX业丄即dx u 1分离变量得(1 u)du 乎ux两边积分得 u ln| u| C ln| x|或写成ln| xu| u Cy以x代上式中的U 便得所给方程的通解例2有旋转曲面形状的凹镜假设由旋转轴上一点 O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行求这旋转曲面的方程解 设此凹镜是由xOy面上曲线L y y(x)( y0)绕x轴旋转而成光源在原点在L上任取一点 Mx, y) 作L的切线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线由光学及几何

19、原理可以证明 OA OMOA因为AP OP PM cot OP x yOM于是得微分方程dx x 整理得dy y这是齐次方程(JJ)2 1dx x问题归结为解齐次方程dy1yvy也即 dy.v2 1dvdy分离变量得 a)且鸭子游动方向始终朝着点O 求鸭子游过的迹线的方程例3设一条河的两岸为平行直线水流速度为a有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O 设鸭子的游速为 b(ba) 且鸭子游动方向始终朝着点O 已知OA h 求鸭子游过的迹线的方程解取o为坐标原点河岸朝顺水方向为x轴 y轴指向对岸设在时刻t鸭子位于点 Rx, y)则鸭子运动速度(Vx,Vy)(料)dx故有dyVxVy另一方面dx 因此dyV

20、xVya b (a, 0)(：)2问题归结为解齐次方程b(dxdy、x2dx即dy7)JX ybx2,宀，:x ya,。2即x yudu y石分离变量_du_得 u2 1两边积分arshu得a(lnyInC)xu 将y代入上式并整理1 12o(Cy)1(Cy)以x| y h 0代入上式故鸭子游过的轨迹方程为aa辨)1 E 申1 b 0 y hxu -将 y代入arshub(ln yalnC)后的整理过程arshx -(lny lnC) y -shl n(Cy)b2y(Cy) a_xyb(Cy)可2(Cy)b(Cy冋1X 2C(Cy)i b i ba (Cy) a线性微分方程线性方程线性方程dy

21、 方程dxP(x)y Q(x)叫做一阶线性微分方程如果Qx)0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程dy 方程dx齐次线性方程dx P(x)y 0是变量可分离方程分离变量后得P(x)y 0叫做对应于非齐次线性方程dx P(x)y Q(x)的齐次线性方程F列方程各是什么类型方程(1)(x2)dy ydy 1dx x 2y 0是齐次线性方程32x5x 5y0 y3x2 5x是非齐次线性方程yy cossin xx e是非齐次线性方程dy10x ydx不是线性方程(y1)嚨 x3 0 Sx30 dx (y 1)2(y 1)2或dyx3不是线性方程齐次线性方程的解法dy P(x)dx y两边

22、积分得In | y| P(x)dx Gy Ce P(x)dx (CeC9这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数)例1求方程(x 2燈y的通解解这是齐次线性方程分离变量得dy _dx y x两边积分得ln|y|ln| x 2|lnC方程的通解为2)非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)y u(x)e P(x)dx代入非齐次线性方程求得设想成非齐次线性方程的通解Q(x)u(x)e P(x)dx u(x)e P(x)dxP(x) P(x)u(x)e P(x)dxP(x)dx化简得 u(x) Q(x)eu(x) Q(x)e P(x)dxdx C于是非齐次线性方程

23、的通解为y e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C y Ce P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和例2求方程兴岛& 52的通解解这是一个非齐次线性方程先求对应的齐次线性方程dy2yx 10的通解分离变量得dy 2dxy x 1两边积分得Iny 2ln ( x 1)In C齐次线性方程的通解为y Qx 1)2用常数变易法把C换成u 即令y u (x1)2代入所给非齐次线性方程两边积分(x 1)2 2u (x 1)合(x 1)2 (x(xi(x11)231)2再把上式代入y u(x1)2

24、中即得所求方程的通解为因为y (x 1)2轨 1)2C解这里P(x)P(x)dxP(x)dx e所以通解为Q(x)(x2ln(x 1)(x2ln(x1)21)Q(x)e P(x)dxdx(x51)2(x 1)2dx(x11)dx2(x 1)3y e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C (x 1)2|(x 1)2 C例3有一个电路如图所示 其中电源电动势为 EEsint(Em都是常数)电阻R和电感L都是常量 求电流i (t)Ld 解由电学知道当电流变化时L上有感应电动势 dtE Ldi iR 0dtdi R Ei即 dt L L把E Emsint代入上式得由回路电压定律得出屯 Ri

25、Emsin t dt L L初始条件为i |t 00也 Riin t方程dt L L为非齐次线性方程其中P(t)Q(t)由通解公式i(t)P(t)dt Q(t)e P(t)dtdt Cfsi nRte Idt C)EmRtRtL e L ( sin teL dt C)R2 Em2L2(Rsin tLeost) CeRt其中C为任意常数将初始条件i|t o 0代入通解LEmR22L2因此所求函数i (t)为LERti(t) R2TL2 e Lr2 笃2 (Rsin t Leost)伯努利方程方程字 P(x)y Q(x)yn dx(n o 1)叫做伯努利方程下列方程是什么类型方程(1)1y A2x

26、)y4是伯努利方程5 y xy象y xy是伯努利方程y 1y xyix是伯努利方程dx2xy 4x是线性方程不是伯努利方程伯努利方程的解法以yn除方程的两边得n dydxP(x)y1 n Q(x)y1 n得线性方程dzdx(1 n)P(x)z (1 n)Q(x)例4求方程眾X a(x)y2的通解解以y2除方程的两端得aln x2dy dxaln x令z y 1 则上述方程成为dz 丄z alnxdx x这是一个线性方程它的通解为z xC 製nx)2以y1代z得所求方程的通解为yxC a(inx)2 1或化为已知其求解方法的方经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程程dy 1例5解方程dx

27、x y解若把所给方程变形为dxdy即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解但这里用变量代换来解所给方程令x y u 则原方程化为du i 1 du u 1 dx u即 dx u分离变量得du dx u 1两端积分得u ln| u 1| x ln| Q以u x y代入上式得y In I X y 1|ln| Q或 x Qe? y 1 125 全微分方程全微分方程一个一阶微分方程写成P(x, y) dx Qx, y)dy 0形式后如果它的左端恰好是某一个函数u u( x, y)的全微分du(x, y) P(x, y)dx Qx, y)dy那么方程F(x, y)dx Qx, y)dy 0就叫做

28、全微分方程这里P(x,y) -u Q(x,y)xy而方程可写为du(x, y)0全微分方程的判定 若Rx, y)、Q(x, y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数P Q y x则方程P(x, y) dx Qx, y)dy 0是全微分方程全微分方程的通解若方程P(x, y)dx Qx, y) dy 0是全微分方程且du(x, y) P(x, y)dx Qx, y) dy 则u(x, y) Cx P(x, y)dx入3yyoQ(xo,y)dx C(xo,yo) G)是方程P(x, y) dx Qx, y)dy 0的通解423222例 1 求解(5 x 3xyy ) dx (3x y 3xy y )d

29、y 0解这里P2 Q6xy 3yyx所以这是全微分方程取(xo, yo)(0, 0) 有x 423y 2u(x,y) 0(5x4 3xy2 y3)dx 0 y2dy53 2 2313x x y xy 3于是 方程的通解为5 3 2 23 1 3X gx y xy y C但存在一函数积分因子若方程F(x, y) dx Qx, y) dy 0不是全微分方程(x, y) ( (x, y) 0) 使方程(x, y) F(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy 00的积分因子是全微分方程贝U函数(x, y)叫做方程F( x, y) dx Qx, y)dy例2通过观察求方程的积分因子并求其通解：(1

30、) ydx xdy 0(2) (1xy) ydx (1xy) xdy 0解(1)方程ydx xdy 0不是全微分方程因为ydx xdyy21所以T2是方程ydxxdy 0的积分因子ydx xdy 02 uy是旦全微分方程C所给方程的通解为 y 方程(1 xy) ydx (1 xy) xdy 0不是全微分方程将方程的各项重新合并( ydx xdy) xy(ydxxdy)0再把它改写成d(xy) x2y2(dxxi这时容易看出(xy)为积分因子乘以该积分因子后d(xy) dx dy 0(xy)2 x y积分得通解丄丄 ln|-| lnC x Cexy xy y即 y我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y方程就变为Rx)y Qx)P(x)dx可以验证 (x) e 是一阶线性方程 yP(x)yQx)的一个积分因子P(x)dx线性方程的两边乘以(X)e 得在一阶P(x)dxyeP(x)dxP(x)dxyP(x)eQ(x)e即P(x)dxyeP( x)dxP(x)dxye Q(x)e亦即P(x)dxyeP(x)dxQ(x)e两边积分便得通解P(x)dxyeP(x)dxQ(x)edx C例3用积分因子求兴2x74x的通解解方程的积分因子为(x)2xdx ex2ex方程两边乘以X2ex得ye2xex y4xex22 2即(ex y) 4xexx24xe dx2ex2x2曰ex