专升本高数公式大全

1、名师推荐精心整理学习必备 导数公式: 高等数学公式 (tgx) =sec x (ctgx) = -CSC x (secx) = secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (ax/ = ax In a 1 (logaxr xIn a (arcsin x)，=扌 1 j1-x2 1 (arccos x) =- j1 x2 1 (arctgx)= _2 1 +x (arcctgx y = - 1 + x 基本积分表: Jtgxdx = In cosx +C Jctgxdx =1 n si n X + C Jsecxdx=l n|secx+tgx +C Jcscxdx = In |cs

2、cx -ctgx +C dx J 2 丄2 a +x .dx J 22 x -a F dx 2 a -x dx 1x =一 arctg -力 aa X -a X +a a +x Ja2 -X2 In 2a 15八 丄 In 2a a - x x = arcsi n +C a dx J2 cos x dx J 2= Jcsc2 xdx = -ctgx + C sin X 、 fsecx tgxdx = secx + C =fsec xdx = tgx + C Jcscx ctgxdx = -cscx + C X faxd- +C In a Jshxdx=chx +C Jchxdx = shx+C

3、 dx 半径为a的圆: kJ a 定积分的近似计算: b 矩形法：J f(x) a b 梯形法：f(x) a b 抛物线法：Jf (x) b -a ,、 止（y。+% 屮+yi） n b -a 1 止一2（yo+yn）+y1-+山 b -a a*b3（y+yn）+2（y2+y4 心+4（%+心 定积分应用相关公式： 功：W = F S 水压力：F = P ”A 引力：F邑,k为引力系数 r - 1 b 函数的平均值：y= ff(x)dx b a a 均方根ff 2(t)dt p-aa 空间解析几何和向量代数： =J(X2 -X1)2 +(y2 - yj2 +(Z2 -乙)2 向量在轴上的投影：

4、PrjuAB = AB cos严是AB与u轴的夹角。 空间2点的距离：d=MiM2 Prju（ai 七2）= Pr jai 中Pr ja? a b = a 两向量之间的夹角: b cosT =axbx +ayby +azbz,是一个数量， axbx+ ayby +azbz 2 +bz2 COsH =戸22 Va/ +a/ +a/ 血？ +by c =axb = ax ay bx by az bz b sin日.例：线速度：v=wxr. 向量的混合积：abc =(axb) c = ax bx Cx ay by Cy az bz Cz =ab (Cco曲严为锐角时, 代表平行六面体的体积。 平面的

5、方程： 1、点法式：A(x X0)+B(y y。)+ C(z乙。*。，其中 n = A, B,C, M。他,y。忆。) 2、一般方程： Ax+By+Cz + D=0 3、截距世方程：-+丫+三=1 c 平面外任意一点到该平 面的距离: Axo + Byo + Czo + D d =. Ja2 + b2 +c2 空间直线的方程: X-X0 m 土旦 =t,其中s=m, n,p;参数方程：y = P X = x0 + mt yo +nt z = z 0 + pt 二次曲面: 1、 椭球面: 2、 抛物面: 2 冷+占+ a2 b2 2 2 x + y =z,( p,q 同号) 2p 2q 八 3、

6、 双曲面: 单叶双曲面: 双叶双曲面: 2 2 2 x_+I-_z_=1 2.22 I a b c 2 2 2 务-告+zy=1(马鞍面) a b c 多元函数微分法及应用 J-.J-. .u , , cu , , cu , du =dx + dy + dz excycz 全微分：dz=dx +亘dy exdy 全微分的近似计算：亞 Zz = fx(x, y)ix + fy (x, y)Ay 多元复合函数的求导法： Z = fu(t),v(t) Z = fu(x,y),v(x,y) cz cu丄 cz cv ” + ou a cv d cz cz cu ,z p + 0时APSo)为极大值 l

7、A 0,(冷，y0 )为极小值 则：AC -B2 co时，无极值 AC-B2 =0时,不确定 重积分及其应用: JJf(X, y)dxdy = JJ f (r cos8, rsin8)rdrd 0 DD 曲面z = f (X, y)的面积A = ff Jl +住+ D Y g丿 JJxP(x,y)dbMUyP(x,y)dcr 平面薄片的重心：X =皿 = , y =巴1二 JJP(X, y)db D 对于 y轴 I y = JJx2P(x, y)db D MJJP(x, y)dbM D 平面薄片的转动惯量：对于X轴IX = JJy2 P(x, y)db, D 平面薄片(位于xoy平面)对Z轴上

8、质点M (0,0, a), (a A 0)的引力：F =Fx,Fy,Fz，其中: L . rr P(X,y)Xdb Fx = f JJp D /222 2 (X +y +a )2 柱面坐标和球面坐标： rJL D p(x, y)ydcr 3， (X2 +y2 +a2f Fz fajj 卩(X，y)Xd= D /222 2 (X + y +a )2 川 f(x,y,z)dxdydz=川 F(r 9,z)rdrdTdz, QQ x = r COS0 柱面坐标：y =r s in日， I I z = z 其中：F(r,8,z) = f (r cos0,r sin日，z) X = rsi n cos

9、日 球面坐标：y =rsinsin, dv = rdW rsin日 dr =r2sinWdrdWdT I z = r cos 川 f (x,y,z)dxdydz=川 F(r,W,日)r2sindrdd0 = Jd 号; 号。 两类曲面积分之间的关 系：仃Pdydz+Qdzdx +Rdxdy= ff(Pco弊 +QcosP + RcosY)ds ZZ 高斯公式: ffJ ( + )d J：f Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =聊(Pcosa +QcosP +RcosY)ds Q汰刃阮Zt 高斯公式的物理意义通量与散度： 散度: divv = +竺+即：单位体积内所产生 的流体质量，若

10、div0,则为消失 xdydz 通量: JJA nds= JJAnds= JJ(Pcosa +QcosP + RcosY)ds， z z z _ 高斯公式又可写 成：川divAdv = qAnds 斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系： 示 EQ?PrR fK - . )dydz + ( )dzdx + ( -)dxdy = q Pdx + Qdy + 乞 dyaczx ex r dydz dzdx dxdy cosot cosP cosY 上式左端又可写成：ff r =ff z ex cz z ex cz P Q R P Q R 空间曲线积分与路径无 ,关的条件： 职cQ cP cRcQ

11、 cP 3 cz cz exex 勿 因此, Rdz 旋度：rotA = k g cz R 向量场A沿有向闭曲线r的环流量：Pdx + Qdy+RdziJA tds rr 等比数列: 等差数列: yi2 丄.n 11 q 1 +q +q +q = 1 -q (n +1) n 调和级数: 1 +2 +3+n = 2 1+!+!十+丄是发散的 23 n 常数项级数: 级数审敛法: 1、正项级数的审敛法 根植审敛法(柯西判 别法)： rp1时，级数发散 P =1时，不确定 2、比值审敛法: 设：P =|imU y Un P1时，级数发散 ! p=i时，不确定 3、定义法： Si =比+U2 +Un；

12、 lim sn存在，则收敛；否则发 散。 n 交错级数6 -U2 +u3 -U4十(或-6 +U2-u3 +，un aO)的审敛法莱布尼兹定理： Un Un + 如果交错级数满足|imU =0,那么级数收敛且其和SU1,其余项rn的绝对值|rn|1时收敛 幕级数: 2 1 +x+x X 1时，收敛于 1-x 眾时，发散 对于级数(3)a0+ a1x + a2X2十+anXn +，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全 R时收敛 aR时发散，其中R称为收敛半径。 =R时不定 数轴上都收敛，则必存 在R,使 P HO时, 求收敛半径的方法：设 lim Fan =P，其中an，an十是(3)的系数，贝

13、y ( P=0时， 卩=邑时，R=0 n， 函数展开成幕级数: 函数展开成泰勒级数: f(X)= f(X0)(X X0)+f2X0)(X X0)2 + +-(XX0)n + + n! f (nF)( E) 余项：Rn=(n+；)!)(x-X0)nHf(x河以展开成泰勒级数的 充要条件是：噪尺=0 十十血Xn n! (n十) x0 =0时即为麦克劳林公式: f(X)= f (0) + f (0)x+口0U2 2! 一些函数展开成幕级数: 亠,m(m-1) 2 (1+x) =1+mx+ X 2! 35 X , X sinX =x + 3!5! 卡.+ m(m-1)(m-n+ 1)xn n! 2n4

14、 x _ +(_1)2 (2n-1)! + 欧拉公式: ix .ix e +e cosx = ix1 e =cosx +isinx 或i 2 i iX4X . e -e si n X = I2 三角级数: 处a处 fuAo +送 A1 sin(n巩+咒)=-0 中艺(an cosnx + gsinnx) n#2 其中，a。= aA0， an = An sin %，g = A cos%，豹t = x。 正交性:1 ,sin X, cosx, sin 2x,cos2xsin nx,cosnX任意两个不同项的乘积 在,兀 上的积分=0。 傅立叶级数： a f(x)=- + (an cos nx +

15、bns inn x), 周期 =27i 2 1 an = f f(x)cosnxdx (n =0,1,2 ) 其中 |bn 兀 -Ji 兀 1 =一 Jf(x)sinnxdx (n =1,23) ,11 1 + + 3252 1亠1亠1亠 2242 + JI2 正弦级数: 余弦级数: 62 an bn + 1-4 +丄-丄+ 241 223242 2 =0, bn=Jf(x)sinnxdx 兀0 JI 2 =0, an = J f (X)cosnxdx 周期为21的周期函数的傅立叶级数: =(相加) 6 2 JI =(相减) 12 n = 1,2,3 n = 0,1,2 f(x) =2 bn

16、sinnx是奇函数 f(x)=+2 an cosnx是偶函数 2 、a。匸.n;rx . f(X)=(an cos+0 sin 2n4l 1 /、n；ix an =- Jf (x)cosdx 1 _L1 .1 , . n；rx . bn =- ff (x)sindx n l 1l F),周期=2 (n =0,1,2 ) 其中 (n =1,2,3) 微分方程的相关概念: 或 P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0 一阶微分方程：y=f(x, y) 可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy = f(x)dx的形式，解法: Jg(y)dy =Jf (x)dx 得：G(y)

17、= F(X)+C称为隐式通解。 齐次方程：一阶微分方 程可以写成 鱼=f(x,y)=P(x,y)，即写成上的函数，解法: dx 设u异，则矽=u+xdu x dx 即得齐次方程通解。 dx du 分离变量，积分后将上代替u, x申(u)ux ,u+屯 M(u) dx dx 一阶线性微分方程: 1、一阶线性微分方程: dx+p (x)y=Q(x) 当Q(x) =0时，为齐次方程，y=CeTP(x)dx 当Q(x) H0时, 为非齐次方程，y=(JQ(x)e x)dx_rP(x)dx dx+ C)e 2贝努力方程: dy + P(x)y =Q(x) yn,(nH0,1) dx 全微分方程： 如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0中左端是某函数的全微 分方程，即： du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x,y)dy =0,其中：旦=P(x,y),B =Q(x,y) 2、求出(A)式的两个根r1, r2 3根