概率论公式总结

1、精品文档第 1 章随机事件及其概率加法公式减法公式乘法公式独立性P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A时， P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时， P( B )=1- P(B)乘法公式： P( AB)P( A) P(B / A)更一般地，对事件 A1， A2， An，若 P(A1A2 An-1 )0 ，则有| A AA)P(A A2A) P(A)P(A | A)P(A | A A)P( An2。1n12131 21n 1两个事件的独立性设事件 A、 B 满足 P(AB)P( A

2、) P( B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。若事件 A 、 B 相互独立，且P( A)0 ，则有P(B | A)P( AB)P( A)P( B)P( B)P( A)P( A)多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C ）全概公式贝叶斯公式P( A) P( B1) P( A | B1) P( B2) P( A | B2)P(Bn )P( A | Bn) 。P( Bi / A) nP( Bi ) P( A / Bi )，2，

3、n。， i=1P(B j ) P( A / B j )j1此公式即为贝叶斯公式。P( Bi ) ，（ i1 ， 2 ， ， n ），通常叫先验概率。P(Bi / A) ，（ i1 ，2 ， ，n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。第二章随机变量及其分布连 续 型设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数f ( x) ，对任意实数 x ，有随 机 变F ( x)x量 的 分f (x)dx，则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度布密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面性质：f (x)0 。f (

4、x)dx1离 散 与P( Xx) P( xXxdx)f ( x) dx 。积分元 f ( x) dx 在连续型随机变量理论连 续 型随 机 变中所起的作用与 P( Xxk )pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。量 的 关系.精品文档0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数F ( x)P( Xx) 称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。在 n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件A 发生P(aXb)F (b)F ( a)可以得到X 落入区间 (a,b 的概率。分布函数的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为

5、 0,1,2, ,n 。F (x) 表示随机变量落入区间（， x内的概率。1. 0F ( x)1,P(X k)Pn( k)C nk p k q n k，1其2中x； 2。F (x) 是单调不减的函数，即xx 时，有（5）八q1p,0p1, k0,，1,2, n，； 4 。12) ； 3。)F)lim F( x)1F ( x )F( xF (lim F ( x)0(大分布二项分布xx则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， F (x 0) F ( x) ，即 F (x) 是右连续的； 5. P( X x) F (x)p 的二项分布。记为 F ( x 0) 。对于离散型X B(n,

6、p) 。当 n 1时， P( Xk)xp k q1 k ， k0.1，这随机变量， F ( x)pk ；对于连续型随机变量，。 F ( x )f ( x ) dxxk x就是（ 0-1 ）分布，所以（0-1 ）分布是二项分布的特例。设随机变量X 的分布律为k泊松分布超几何分布几何分布均匀分布P(Xk)e ，0 ， k0,1,2 ，k!则称随机变量X 服从参数为的泊松分布，记为X ( ) 或者 P() 。kn kk0,1,2,lP(Xk)CM ?CN M,min(M , n)CNnl随机变量 X 服从参数为 n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M) 。P(X k)q k1 p,k1,2,3,

7、，其中 p0， q=1-p 。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p) 。设随机变量 X 的值只落在 a ，b 内，其密度函数f (x) 在 a ，b上为常数1，即ba当 a x1x2 b 时，X 落在区间1,a x b（ x1 , x2 ）内的概率为f ( x)ba其他x2x10,P(x1X x2 )ba.指数分布正态分布函 数 分布离散型精品文档e x ,x0 ,f (x)x0 ,0,其中0 ，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X 的分布函数为1 e x ,记住积分公式x 0 ,F ( x)xnexdx n!0,x0。0设随机变量X 的密度函数为1( x)2f ( x)e

8、222其中、0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 X N (,2 ) 。f (x) 具有如下性质：1f ( x) 的图形是关于x对称的；2 当 x时， f ()1为最大值；若XN(,22)，则 X的分布函数为1x(t) 2F (x)e222dt(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x) 1- (x) 且 (0) 1。如果 X N(,2) ，则X2 N (0,1)P ( x 1Xx 2)x 2x 1。已知 X 的分布列为Xx1, x2, xn ,，P( Xxi)p1, p2, pn,Y g( X ) 的分布列（ yi g( xi

9、) 互不相等）如下：Yg( x1), g( x2 ),g( xn),P(Yyi )，p1, p2,pn,pi 相加作为 g (xi) 的概率。若有某些 g ( xi ) 相等，则应将对应的.精品文档连续型f X(x) 写出 Y 的分布函数FY(y) P(g(X) 先利用 X 的概率密度y) ，再利用变上下限积分的求导公式求出f Y(y) 。第三章二维随机变量及其分布对于二维随机向量(X,Y)，如果存在非负函数f (x, y)(x,y) ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|axb,cy2)n2E( X )xf X ( x) dxE(Y)yf Y ( y)dyEG(

10、X , Y) G ( x, y) f (x, y) dxdy.精品文档D(X) xi2D(X) x E( X )2f X ( x)dxE( X ) pi?i方差D(Y) x jE(Y)2p? jD (Y) y E(Y) 2 f Y ( y)dyj对于随机变量X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩11为 X与 Y的协方差数 字或相关矩，记为XY 或 cov( X , Y) ，即特征协方差XY11E( X E( X )(Y E(Y).与记号XY 相对应， X 与 Y 的方差 D（ X）与 D（ Y）也可分别记为XX 与YY 。对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X） 0, D(Y)0，则称XY为 X

11、与 Y 的相关系数，记作XY （有时可简记为）。D(X) D(Y)相关系数| |1，当|=1时，称 X 与 Y 完全相关： P( X aYb)1完全正相关，当时，相关1 (a0)负相关，当时，1 (a0)而当0 时，称 X 与 Y 不相关。 以下五个命题是等价的：XY0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协 方(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);差 的(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);性质(iii)cov(X +X , Y)=cov(X,Y)+cov(X,Y);1212

12、(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).独 立XY 0 ；反之不真。若随机变量 X 与 Y 相互独立，则和 不相关.精品文档设随机变量X ， X ， 相互独立，服从同一分布，且具有12相同的数学期望和方差：列维, D ( X k )20(k1,2,) ，则随机变量E( X k )林德伯格定理nX k nYnk 1n（2）中心极限定理的分布函数n (x) 对任意的实数，有Fx2nX knXN(,)1t 2nk 1xlim Fn (x)lim Pxe 2 dt.nnn2此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。棣莫弗设随机变量 X n 为具有参数n, p(0p1) 的二项分布，则

13、对于拉普拉斯定任意实数 x, 有理X nnp1t 2xlim Pxe 2 dt .nnp(1p)2第六章样本及抽样分布1nxi .样本均值xn i1S 21nx) 2 .样本方差1 i( xin11nx ) 2 .样本标准差Sn( x i常见统计量1 i 1及其性质样本 k 阶原点矩样本 k 阶中心矩E(X )， D(X)2E(S2 )2，nE(S *2 )n 1 21nn其中 S*2X )2，为二阶中心矩( X in i 1.精品文档正态分布t 分布（ 2）正 态总体下的四大分布2 分布F 分布设 x1 , x2 , xn 为来自正态总体N (,2 ) 的一个样本，则样本函数defxu/N(

14、0 ,1).n设 x1 , x2 , xn 为来自正态总体N (,2 ) 的一个样本，则样def x t( n1),其中t(n-1) 表示自由度为本函数 ts /nn-1的 t 分布。设 x1 , x2 , xn 为来自正态总体N (,2 ) 的一个样本，则def(n1) S22(n1),2w2表示自由度为分n-1 的分布设 x1 , x2 , xn 为来自正态总体N (, 12 ) 的一个样本，而y1 , y2 , yn 为来自正态总体N ( ,22 ) 的一个样本，则样本函数2/2defS11 F (n11, n21), 其中F2/2S221n11n 2S121 i( xix) 2 , S22( yi y) 2 ;n11n21 i 1F (n11, n21) 表示自由度为 n1 1，当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为f ( x;1 ,2 , ,m )，其中为未知参数。又设 x1 , x 2, xn 为总体的一个样本，称nL( 1,2, m )f (xi ; 1 ,2, ,m )为样本的似然函数，简记为Ln.i 1当总体 X 为离型随机变量