立体几何的体积和表面积辅导讲义讲解

1、学科教师辅导教案学员姓名年级冋辅导科目数学授课老师课时数2h第次课授课日期及时段2016 年月日：一：空间几何体的表面积和体积基础知识*自主学习知识梳理1.空间几何体的结构特征多面体(1) 棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形(2) 棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3) 棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形旋转体(1) 圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到(2) 圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到(3) 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连 线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到球可

2、以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.2三视图与直观图三视图画法规则：长对正，咼平齐，宽相等直观图空间几何的直观图：常用斜二测画法来画基本步骤是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观 图中x轴，v轴的夹角为45或135. z 轴与x轴和y轴所在平面垂直 .(2 )原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中 仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在 直观图中保持原长度不变一 平行于y轴的线段 在直观图中长度为原来的一半 3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+ 2S底v=堑锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S侧+ S底1V= 3Sh台体（棱台和圆台）S表面

3、积 =S侧+ S 上+ S下V=g（S 上+ S 下 + /s上S下）h球S= 4 tR2V=4持【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“V”或“X”）（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（X ）（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（X ）用斜二测画法画水平放置的/A时，若/ A的两边分别平行于 x轴和y轴，且/ A= 90 则在直观图中,/ A= 451（ X ）（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.（X ）圆柱的侧面展开图是矩形.（V ）（6）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.（V ）1 .下列说法正确的是（）A

4、.相等的角在直观图中仍然相等B .相等的线段在直观图中仍然相等C .正方形的直观图是正方形D .若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案 D解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变.2 .某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A .圆柱 B .圆锥 C.四面体 D .三棱柱答案 A解析 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱 （放倒看）都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图 不可能为三角形，故选 A.3 .将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A . 4 n B. 3 n C. 2 n D . n答案

5、C解析 底面圆半径为1,高为1,侧面积S= 2 nrh = 2 nX 1 X 1 = 2n故选C.4 .将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD = a，则三棱锥D ABC的体积为（）因为DO = BOB.12a3AC2A. 6答案 D解析 O是AC的中点，连接DO, BO, ADC , ABC都是等腰直角三角形.=ya, BD = a，所以 BDO也是等腰直角三角形.又因为 DO丄AC, DO丄BO, ACP BO= O,所以DO丄 平面ABC,即DO就是三棱锥D ABC的高.因为&abc= 2a2,所以三棱锥D-ABC的体积为|x 2X a2x a = l|a3，故选 D.题型

6、分类深度剖析题型一 空间几何体的结构特征例1给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱; 存在每个面都是直角三角形的四面体； 棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是 .答案解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形， 但不一定全等； 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面 的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又 垂直于底面；正确，如图，正方体 ACi中的三棱锥Ci ABC，四个面

7、都是直角三角 形；正确，由棱台的概念可知.思维升华 （1）解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件 构建几何模型，在几何模型中进行判断；（2）解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.跟踪训练1给出下列命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A

8、 . 0 B. 1 C. 2 D. 3答案 A解析 不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.图2题型二空间几何体的三视图和直观图例2（1）一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是A正三角形AOB的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是思维点拨（

9、1）由上向下看，可见线段都应画出；（2）与x轴平行或重合的线段长度不变，1与y轴平行或重合的线段长度为原来的解析 （1）该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选 B.（2）画出坐标系x 0y,作出 0AB的直观图O A B （如图）.D 为O A的中点.易知D B1=2DB（D为OA的中点）,Sa O AB2X 22 = ?沁禽思维升华 （1）三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”；（2）解决有关“斜二测画法”

10、问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量 运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段 长度的关系.跟踪训练2 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A .三棱锥C .四棱锥(2)如图，矩形 O A B C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中D .四棱柱O A= 6 cm , O C = 2 cm,则原图形是()A .正方形B 矩形C.菱形D 一般的平行四边形17A. 27答案 (1)B (2)C解析(1)如图，几何体为三棱柱.(2)如图，在原图形 OABC中，应有 OD = 2O D O

11、C= jOD2+ CD2= / 4 .2 2+ 22= 6 cm, / OA = OC,故四边形 OABC 是菱形.题型三空间几何体的表面积与体积例3(1)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到， 则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()侧视图(3) 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为 .思维点拨(1)由侧视图，可想到几何体为两圆柱的组合体；考虑实

12、、虚线的意义.答案 (1)C(2)A(3)1 : 2 : 3解析 (1)由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体.其中左面圆柱的高为4 cm ,底面半径为2 cm，右面圆柱的高为 2 cm,底面半径为3 cm,则组合体的体积Vi = nX 22X 4 + nX 32 X 2 = 16n+ 18n= 34 n (cn3),原毛坯体积 V2 = nX 32X 6 =_一 54 n (erf)，则所求比值为54冗=27.(2) 该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为 V = 2X 2X 2 2 X-X -X 1 X 1 X 1 = 23323 (3) 设正方体的棱长为 a, 正方体

13、的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心 作截面如图 所示，有2门=a,r1=号，S1= 4 nr?= na2.54 n 34 n 10所示，有2r2= 2a, 球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面如图r2= 2 a, S2= 4 n2= 2 7a2. 正方体的各顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，有2r3=/3a, . r3=a, . S322=4 nr2= 3 na .综上可得，S1 : S2 : S3= 1 : 2 : 3.思维升华 （1）解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体

14、的 组合情况；（2）由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用 技巧如：割补法和等价转化法.跟踪训练3一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为C . 48+ 8 17D. 80（2）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD丄平面CBD，形成三棱锥C ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）1A.2.2B2D.答案 （1）C （2）C解析（1）由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4,高为4;另两个侧面是矩形，

15、宽为4,长为,42 + 12= .17.所以S表=42+ 2 X 4+ 2x (2 + 4) X 4X 2 + 4 X 17 X 2= 48 + 8 17.因为C在平面ABD上的射影为BD的中点0,在边长为1的正方形ABCD中，AO =C0= ：AC =于 所以侧视图的面积等于 SaAOC= CO AO =苏 屮乂于二故选C.易错書亦系列11三视图识图中的易误辨析典例：将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到如图 2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）ffl jma易误分析 （1）不能正确把握投影方向、角度致误；（2）不能正确确定点、线的投影位置；（3）不能正确应用实虚线区分可见线与非可见

16、线.解析 侧视图中能够看到线段 ADi，应画为实线，而看不到 BiC，应画为虚线.由于 ADi与BiC不平行， 投影为相交线，故应选 B.答案 B温馨提醒 （1）因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选 A; （2）因对三视图的画法要求不明而误选 C或D.在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用 虚线画；（3）解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图，在复习 时要明确三视图的含义，掌握“长对正、宽相等、高平齐”的要求思想方法*感悟提高方法与技巧1 .三视图的画法特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，

17、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.2 求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法（1）转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形， “化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的 高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（

18、或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值.失误与防范1 .画三视图应注意的问题（1）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.（2）确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同.2 .求空间几何体的表面积应注意的问题（1）求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理.（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错1.下列结论中正确的是（）A .各个面都是三角形的几何体是三棱锥B 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C .棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相

19、等，则该棱锥可能是六棱锥D 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线答案 D解析 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三 角形，但它不是三棱锥，故 A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直 线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误.2 五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线 的条数共有（）A . 20B. 15C. 12D. 10答案 D解析 如图，在五棱柱 AB

20、CDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条： AC1, AD1,同理从B, C, D , E点出发的对角线均有两条，共2 X 5= 10（条）.3 .已知底面边长为1 ,侧棱长为2的正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的各顶点均在同一 个球面上，则该球的体积为 （）32 nAh答案 D解析 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点,所以球的半径r =2=1,球的体积V = ；,3= ；n故选d.4 .某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 （）3A . 72 cm3B. 90 cm33C. 108 cm3 D. 138 cm3答案 B解析 该几何体为一个

21、组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.V = V 三棱柱 + V 长方体=1X 4X 3X 3 + 4 X 3X 6= 18+ 72= 90(cm3).5.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为AJJ答案 B解析由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下,不正确.6 .若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与表面积的比值为 答案 乙解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则辛=注，则h = 2飞则S侧=2nh = 4nrn, S全=4 n2

22、寸；+ 2 n2，故圆柱的侧面积与表面积的比值为4 nW nn4 n2 . n+ 2 n22 n+ 17.一个几何体的三视图如图所示， 其中侧视图与俯视图均为半径是 2的圆，则这个几何体的体积是答案 8n解析由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积4 3V = 3X nX 23 x 3= 8n.8.如图，在三棱柱 AiBiCi ABC中，D, E, F分别是 AB, AC, AAi的中点，设三棱锥 F ADE的体积为Vi,三棱柱 AiBiCi ABC的体积为 V2,贝U Vi : V2=答案 i : 24解析 设三棱锥F ADE的高为h,则一=；h ；AD

23、 E sin / DAE2h 2 2AD 2AE sin / DAE 249 .如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比.解 由题意可知这三个几何体的高都相等，设长方体的底面正方形的边长为a,高也等于a，故其表面积为1 1Si= 6a2直三棱柱的底面是腰长为a的等腰直角三角形，高为a，故其表面积为 S2 = 2 x a x a+ 2 x a x a + （a+ a+承a)xa=(3 +寸圆柱的底面是半径为a的圆的g,高为a，故其表面积为S3=衍2+a2 +a2*4444

24、+ 4* 2 n x a = (n2)a2.所以它们的表面积之比为S :S2:S3= 6a2: (3 +-2)a2: (n2)a2 = 6 : (3 + 2) : ( n+ 2).20 cm 和iO .已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为30 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解如图所示，三棱台 ABC AiBiCi中，0、Oi分别为两底面中心，D、Di分别为 和BiCi的中点，贝U DDi为棱台的斜高.由题意知 AiBi= 20, AB= 30，贝U OD = 5也，OiDi=琴3,由 S 侧=S 上+ S 下，得；x (20 + 3

25、0) x 3DDi= j x (202+ 302),解得 DDi= , . 3,在直角梯形 OiODDi中，OiO =OD OiDi 2 = 4 3,所以棱台的高为4 ,-3 cm.1、如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2；17.点G , E, F, H分别是棱PB，AB, CD，PC上共面的四点，平面 GEFH丄平面 ABCD , BC/平面 GEFH .(1)证明：GH / EF ;(2)若EB= 2,求四边形 GEFH的面积.(1)证明 因为BC/平面 GEFH , BC?平面PBC，且平面 PBC门平面GEFH = GH ,所以GH / BC同理可证 EF

26、 / BC,因此 GH / EF.解 如图，连接 AC, BD交于点O, BD交EF于点K，连接OP, GK.因为FA= PC , O是AC的中点，所以PO丄AC,同理可得PO丄BD.又BD A AC= O,且AC, BD都在底面内，所以 PO丄底面ABCD.又因为平面 GEFH丄平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO /平面GEFH .因为平面 PBD A平面GEFH = GK，所以PO / GK，且GK丄底面ABCD , 从而GK丄EF所以GK是梯形GEFH的高.1 1由 AB= 8, EB = 2 得 EB : AB= KB : DB = 1 : 4，从而 KB = 4DB = ?

27、OB,即卩 K 为 0B 的中点. 再由PO / GK得GK = ；P0,即卩G是PB的中点，且 GH = ；BC= 4.由已知可得 OB = 4 2, PO = PB2 OB2 = 68 32 = 6，所以 GK = 3.故四边形 GEFH 的面积 S= GH；EF gk = 4；8X 3= 18.思维升华 高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一般以解答题的形式出现，试 题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求，在试卷中也可能以选择题或者填空题的方 式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用.2、如图，在三棱锥 SABC中，平面SAB丄平面 SB

28、C, AB丄BC, AS= AB.过A作AF丄SB,垂足为F,点E, G分别是棱SA, SC的中点.求证：(1)平面EFG /平面 ABC; (2)BC丄SA证明 (1)由AS= AB, AF丄SB知F为SB中点，贝U EF / AB, FG / BC, 又 EF A FG = F , AB A BC = B,因此平面 EFG /平面ABC.由平面 SAB丄平面SBC, 且 AF丄SB,知AF丄平面SBC，贝U AF丄BC.又 BC丄 AB, AF A AB= A,贝U BC 丄平面 SAB,又SA?平面SAB,因此BC丄SA3、在如图所示的多面体中，四边形ABBiAi和ACCiAi都为矩形.

29、(1)若AC丄BC,证明：直线 BC丄平面 ACCiAi;设D , E分别是线段BC, CCi的中点，在线段 AB上是否存在一点 M，使直线DE / 平面AiMC ?请证明你的结论.(1)证明 因为四边形 ABBiAi和ACCiAi都是矩形，所以 AAi丄AB, AAi丄AC.因为AB, AC为平面ABC内两条相交的直线，所以 AAi丄平面ABC.因为直线BC?平面ABC，所以AAi丄BC.又由已知，AC丄BC, AAi和AC为平面ACCiAi内两条相交的直线，所以 BC丄平面ACCiAi.解 取线段AB的中点M，连接AiM , MC , AiC, ACi，设点0为AiC, ACi的交点.由已

30、知，点O为ACi的中点.所以MD綊2AC, OE綊|aC,因此MD綊OE.连接MD , OE,贝U MD , OE分别为 ABC, ACCi的中位线，连接OM，从而四边形 MDEO为平行四边形，则 DE / MO.因为直线DE?平面AiMC , MO?平面AiMC，所以直线DE /平面AiMC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE /平面AiMC.4、( 20i6年北京高考)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PC丄平面ABCD , AB / DC ,DC AC(I)求证：DC 平面PAC ;(II)求证： 平面PAB 平面PAC ；/平面C F?说明理由(III )设点E为AB

31、的中点，在棱PB上是否存在点F,使得解：(I)因为 C平面CD，所以 C DC .又因为DCC,所以DC平面(II)因为 /DC , DC C,所以C .因为 C 平面 CD，所以 C所以平面 C .所以平面平面 C .(III )棱 上存在点F，使得 /平面C F .证明如下：取中点F，连结 F , C , CF .又因为为 的中点，所以 F/ .又因为平面C F，所以 /平面C F .5、(20i6年全国III 卷高考)如图，四棱锥P ABC中，PA 平面ABCD , AD P BC ,AB AD AC 3, PA BC 4, M 为线段 AD 上一点，AM 2MD , N 为 PC 的中点.(I)证明MN P平面PAB;(II )求四面体N BCM的体积解析I猫已和得山卞辺取肿的中点八连接肛妙，由