第3章 质点系动力学[章节练习]

1、第三章 质点系动力学由两个或两个以上的质点组成的系统称为质点系。由于力是物体与物体之间的相互作用，所以动力学问题必定是质点系的问题。从研究方法的角度讲，质点动力学是把单个质点作为研究对象，逐个研究系统中的各个质点，从而研究系统中各质点的运动规律。质点系动力学是把整个系统作为研究对象，从而得到系统整体的运动规律，进一步得到个别质点的运动规律。根据具体问题的性质和要求，可以选择不同的系统，所以，质点系动力学更能清楚地反映自然规律。3-1 质心 质心运动定理一、内力 外力在一般情况下质点系中的每个质点既受外力作用, 也受内力作用。设由N 个质点组成的质点系，各质点的质量分别为，位置矢量分别为。如图3

2、-1所示，系统内第i个质点受到第j个质点的作用力为，由牛顿第三定律知，第j个质点必定受到第i个质点的作用力为，即图3-1这种系统内各质点之间的相互作用力称为内力。由于内力总是这样成对出现的，且每一对内力的矢量和为零，所以质点系内各质点之间相互作用力的矢量和为零。即 （3-1）系统内各质点受到系统外质点或物体的作用力称为外力。质点系内各质点所受的外力的矢量和称为质点系所受的合外力，即 （3-2）二、质心一人向空中抛一匀质薄三角板（3-1-1质心运动1），实际观测表明，板上有一点的运动轨迹为抛物线，而其它各点既随点作抛物线运动，又绕通过点的轴线作圆周运动。这时板的运动可看成是板的平动与整个板绕点转

3、动这两种运动的合成。因此，我们可用点的运动来代表整个板的平动。点就是三角板的质心。就平动而言，板的全部质量似乎集中在质心这一点上。跳水运动员在空中的质心的运动轨迹也是抛物线（图3-2)，3-1-1质心运动2）。这两个例子说明质点系的质心是个重要的概念。图3-3图3-2设由N 个质点组成的质点系，各质点的质量分别为，位置矢量分别为。该质点系质心的位矢定义为： （3-3a）式中，为系统的总质量。（3-3）式说明，质心的位置矢量是质点系中各质点的位置矢量以其质量为权重的加权平均值，即质心是质点系的“质量中心”。在直角坐标系中，质心位矢的分量形式表示为 （3-4a）对质量连续分布的质点系，质心位矢为

4、(3-3b)在直角坐标系中，质心位矢的分量形式表示为 (3-4b)（3-3a）式可写为 上式两边对时间t取一阶导数得 即 （3-5）式（3-5）表明，如果把质心作为一个质点，其质量等于质点系的总质量（这个质点仍称为质心），则质心的动量等于质点系的总动量。即 （3-6）可见，质心的质量等于质点系的总质量，质心的动量等于质点系的总动量，所以质心可以作为质点系的代表点。在不同的参考系中，每个质点的动量以及质点系的总动量是不同的。设质点系中第i个质点在S系中的位置矢量为，在S系中的位置矢量为，S系在S系中的位置矢量为 。由相对运动的结论有 上式两边对时间t求导数得 即 （3-7）若S系就是质心参考系，

5、则上式是 （3-8）上式两边都乘以第i个质点的质量，得 上式对质点系中每个质点都适用，对质点系中每个质点对应的上式求和考虑到式（3-5），所以 (3-9)式(3-9) 表明，质点系相对质心参考系的总动量为零，或者说，质心参考系是质点系的零动量参考系，也称为动量中心系。说明几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。 有些物体的质心可能不在所求的物体上。 质心和重心是两个不同的概念。质心是物体质量的分布中心，而物体的重心是地球对物体各部分引力的合力(重力)的作用点。只有当地面附近的物体体积不太大时，物体内各处的重力加速度的大小相等，方向平行，物体的重心与质心的位置才是重合的。当物体远离地球，不

6、受重力作用时，重心这个概念便失去意义，而质心却是依然有意义的。例3-1 如图3-4所示，一长为L ，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度。为常量， 从轻端算起，求其质心。 解如图所示，建立坐标系，距原点处取微元段，则该微元段上质元的质量为细杆的总质量为 由质心的定义可知 3-1-2求物体的质心三、质心运动定理设质点系中第i个质点所受的外力为，所受内力的矢量和为，第 i个质点的牛顿运动定律为上式对质点系中每个质点都适用，对上式求和有考虑到内力的矢量和， 则 (3-10)式中是质心的加速度。上式称为质心运动定理。上式表明，把质点系中各质点所受的外力平移到质心上，质心运动与在作用下质量为系统总质量的质

7、点的运动相同。也就是说，质心在动力学上也是整个质点系的代表点。刚体、柔体或爆炸后形成的碎片都可以取为质点系，质心运动定理都成立。内力对质心的运动不起作用。在很多实际问题中，要研究清楚系统中每个质点的运动常常是不必要或不可能的，只要研究清楚质心的运动规律，对系统的运动就有了确定的或大致的了解。由此可知引入质心概念的必要性。说明质点系各质点由于内力和外力的作用，运动情况可能很复杂，但对于质心的运动，只取决于合外力，内力对质心的运动不产生影响。当时，质心的加速度与把全部质量集中在质心的质点的加速度相同。质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的实际运动应是质心运动与质点相对质心运动的叠加。把实

8、际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了物体中各质点相对质心的运动。例3-2 设有一质量为的弹丸，从地面斜抛出去，它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片(图示)，其中一个碎片竖直自由下落，另一个碎片水平抛出，它们同时落地。试问第二个碎片落地点在何处?图3-5解：考虑弹丸为一系统，空气阻力略去不计。爆炸前和爆炸后弹丸质心的运动轨迹都在同一抛物线上，这就是说，爆炸以后两碎片质心的运动轨迹仍沿爆炸前弹丸的抛物线运动轨迹。如取第一个碎片的落地点为坐标原点，水平向右的轴为轴正向。设为第一和第二碎片的质量，且为两碎片落地时距原点的距离，为两碎片落地时它们的质心距原点的距离，由图可知，于是，质心的定义式

9、(3-4)可得由于，由上式有 即第二个碎片的落地点与第一个碎片落地点的水平距离为碎片的质心与第一个碎片水平距离的两倍。这个问题虽然也可以用第一章的质点运动学方法来求解，但比用此方法繁琐得多。3-2 质点系的动量定理和守恒定律一、质点系的动力学方程设系统含个质点，第个质点的质量和速度分别为、，对于第个质点受合内力为，受合外力为，则由牛顿第二定律得第个质点的动力学方程为 （3-11）列出质点系中各质点类似上式的动力学方程，并把各方程相加，即对上式求和，有式中为系统所受的合外力，为系统的总动量，则上式写成 （3-12）式（3-12）称为质点系的动力学方程。它表明，质点系所受的合外力等于质点系总动量的

10、时间变化率。尽管内力对质点系中的质点的动量有影响，但它对质点系的总动量没有影响。二、质点系的动量定理将式（3-12）改写成 （3-13）式中表示外力在时间内的累积，称为在时间内系统所受合外力的冲量，用表示。是质点系总动量的增量。式（3-13）为质点系动量定理的微分形式，表示系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。如果外力的作用时间从到，则可对式（3-13）积分，得 （3-14a）式中表示外力在时间间隔到内的累积，称为力在到这段时间的冲量。分别表示质点系在初状态和末状态的总动量。式（3-14）为质点系动量定理的积分形式，表明在一段时间内，质点系所受合外力的冲量等于在同一段时间内质点系总动量的增

11、量。在直角坐标系中，动量定理的分量式为 (3-14b)即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。例3-3 一辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为500kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计)v解：选取车厢和车厢里的煤的质量m ，和 时间内落入车厢的煤的质量dm为研究的系统。取水平向右为正。 t 时刻系统的水平总动量： t + dt 时刻系统的水平总动量: dt 时间内水平总动量的增量： 由动量定理得：图3-6 三、质点系的动量守恒定律由式（3-12） 可知，若质点系所受的合外力为零，即，则即 （3

12、-15）上式表明，当质点系所受的合外力为零时，系统的总动量不随时间变化,这一结论称为质点系的动量守恒定律。说明：动量守恒定律成立的条件是质点系所受外力的矢量和等于零 。有以下几种情况：不受外力；外力的矢量和为零；内力远远大于外力。 内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。动量和力是矢量，可沿坐标轴分解：和等价若质点系所受合外力时，如果在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的动量分量守恒。各速度应是相对同一惯性参考系。动量守恒是自然界的普遍规律之一，比牛顿定律更基本，应用更广泛。 如宏观、微观、量子力学、相对论。mr22vmr33vmraoq图 3-7 1vr2vr)(213vvvrrr

13、+-=aoq图3-8 )(21vvrr+q例3-4：质量为的水银球，竖直地落到光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份，沿桌面运动。其中两等份的速度分别为、，大小都为0.30m/s。相互垂直地分开，试求第三等份的速度。解：方法一用分量式法解研究对象：小球受力情况：只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平方向不受力，故水平方向动量守恒。在水平面上如图3-7取坐标，有 方法二用矢量法解 及 即 即有图3-8，可得m/s得 强调：要理解动量守恒条件 lMmSMSABx图 3-9mMvr例3-5：如图3-9，在光滑的水平面上，有一质量为长为的小车，车上一端有一质量为的人，起初、均静止，若人从车一

14、端走到另一端时，则人和车相对地面走过的距离为多少？解：研究对象：、为系统此系统在水平方向受合外力为零，在此方向动量守恒。方法一 （对地）即 如图所取坐标，标量式为即 积分（，在A处，在B处） 即 得 由图3-9知：方法二 标量式：即 积分： 可知： 由、得：例3-6：质量为的人手里拿着一个质量为的物体，此人用以与水平方向成角的速率向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为的水平速率向后抛出，问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）yxvr1x2xPo图 3-10a解：设P为抛出物体后人达到的最高点，、分别为抛球前后跳跃的距离。研究对象：人、物体组成的系统， 该系统

15、在水平方向上合外力=0， 在水平方向上系统的动量分量守恒。设在P点，人抛球前、后相对地的速度分别为、，在P点抛球后球相对地速度为，有 标量式： 即 得： 强调：，。因为是与同时产生的，而人速度为时，还没产生。例3-7 质量为M 的木块在光滑的固定斜面上由A 点静止下滑，经路程 l 到B 点时，木块被一水平射来的子弹击中子弹（m,v）射入木块中，求射中后二者的共同速度。图3-11解：所建坐标系如图所示。第一阶段：从A 运动到B，匀加速运动：第二阶段为碰撞阶段：取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向，内力远远大于外力，可用动量守恒定律求近似解可解得：例3-8 质量为，仰角为 的炮车发射了一枚

16、质量为的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u ，不计摩擦，3-2-1例题 求（1）炮弹出口时炮车的速率。 （2）发射炮弹过程中，炮车移动的距离(炮身长为L )。图3-12解：（1）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，水平方向合外力为零，系统总动量x 分量守恒。设炮弹相对于地面的速度为，由x 方向的动量守恒可得： 由相对速度的概念 可得： 解得 “-”号表示炮车反冲速度与x轴正向相反。（2）若以u(t ) 表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率 设炮弹经 t1 s 出口，在 t1 s 内炮车沿水平方向移动了 解题步骤：（1）理解整个过程，把整个过程分为不同阶段。（

17、2）分析个阶段系统受力的特点，确定遵守的规律，列出这些规律的方程。 明过程 选系统 分阶段 分析力 列方程3-3 质点系的动能定理和机械能守恒定律一、质点系的动能定理设质点系由个质点组成，第个质点所受合外力为，合内力为，在某一微小过程中，合外力作用于该质点的元功为，合内力作用于该质点的元功为，由质点的动能定理可知，对第个质点有： （3-16）式中是第个质点动能的增量。对于一有限过程，对（3-16）式各项进行积分得 （3-17）式中分别为第个质点末态和初态的动能。列出表示质点系中各质点的动能定理的方程式，并且相加，即（3-17）式两边求和，有式中是质点系所受外力作功的代数和，用 表示。是质点系中

18、各质点相互作用的内力作功的代数和，用 表示。 分别是质点系中各质点末态动能的总和和初态的动能的总和，即分别为质点系的末态动能和初态动能，以表示。则可得 （3-18）（3-18）表明，作用于质点系的外力所作的功与质点系中各质点相互作用的内力所作的功的代数和，在数值上等于质点系动能的增量。这一结论称为质点系的动能定理。注意：内力的作用不能改变系统的总动量，但能改变系统的总动能。 例3-9质量为 物体A由静止沿斜面下滑，质量为 的物体B随之上升。试求物体A滑过S的距离时，物体A和B的速率v =? (摩擦力及滑轮的质量不计)。图3-13解：系统所受的外力中，重力GA对物体A作正功，重力GB对物体B作负

19、功，支持力N不作功。故有： 作功的代数和为零， 系统初态动能为零，未态动能为 由动能定理得 解得： 例3-10 一链条长为L，质量m。放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为m，令链条从静止开始运动，则：链条离开桌面时的速率是多少？解：建坐标系如图所示，链条动能的变化是由下垂部分的重力作功以及桌面对链条的摩擦力作负功引起的。根据质点系的动能定理可知al-a xO 摩擦力为 摩擦力作功： 重力作的功： 代入动能定理的表达式 （本题也可用牛顿定律求解）二、质点系的功能原理质点系内各质点相互作用的内力可分为保守内力和非保守内力，因此，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保

20、守力就为内力了，内力可分为保守内力和非保守内力，内力的元功等于保守内力的元功和非保守内力的元功的代数和，即所以，式（3-16）可以写成 根据，上式可写成式中称为第i个质点的机械能，为第i个质点的机械能的增量。写出质点系中各质点在微小过程中的动能定理的微分形式并相加得式中为作用于质点系的外力的元功，用表示。是非保守内力的元功，用表示。而则分别表示质点系动能的增量和势能的增量。是质点系机械能的增量。所以有 （3-19）上式表明，在质点系运动状态变化的任意微小过程中，外力的元功与非保守内力的元功的代数和，在数值上等于质点系机械能的增量。对于任一有限过程，把（3-19）式中各项积分得 （3-20） 结

21、论：合外力功+非保守内力功=系统机械能（动能+势能）的增量。称此为功能原理，（3-19）式和（3-20）式分别为功能原理的微分和积分形式。说明：功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。功是能量变化或转化的量度能量是系统状态的单值函数三、质点系的机械能守恒定律由功能原理（3-19）式知，若 则 （3-21）上式说明，在有限的任意微小过程中，作用于质点系的外力元功与非保守内力的元功的代数和总是为零，则质点系的机械能保持不变。这一结论称为质点系的机械能守恒定律。讨论：机械能守恒的条件：,或只有保守力做功E不变，但Ek和Ep可以互相转化（保守内力作功）是对质点系而言的，依赖于系

22、统的选取,只适用于惯性系例3-11：如图3-15，在计算上抛物体最大高度时，有人列出了方程（不计空气阻力）列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个？解：（1）动能定理为xy0vvH0=pEqo图 3-15 合力功=质点动能增量（2）功能原理为外力功+非保守内力功=系统机械能增量（取、地为系统）（3）机械能守恒定律 即 可见，此人用的是质点的动能定理。例3-12：质量为的物体，从四分之一圆槽A点静止开始下滑到B。在B处速率为，槽半径为。求从AB过程中摩擦力做的功。解：方法一按功定义，在任一点c处，切线方向的牛顿第二定律方程为图 3-16切线m0=pEsdrqdqcAB

23、rFrgmvvvoq水平 方法二用质点动能定理受三个力，由有 即 方法三用功能原理 取、地为系统， 无非保守内力 ，功为（不作功，及槽对地的力也不做功）由 有 即注意：此题目机械能不守恒。例3-13：质量为、的二质点靠万有引力作用，起初相距，均静止。它们运动到距离为时，它们速率各为多少？解：以二质点为系统，则系统的动量及能量均守恒，即 由、解得： 例3-14：如图3-17所示，有一质量略去不计的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点，另一端系一质量为的小球，小球穿过圆环并在圆环上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球静止于点，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径；当小球运动到圆环的底端点时，小球

24、对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。解： 取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的重力，小球与弹簧间的作用力均为保守内力。而圆环对小球的支持力和点对弹簧的拉力虽都为外力，但都不作功。所以，小球从运动到的过程中，系统的机械能是不变量，机械能应守恒。因小球在点时弹簧为自然状态，故取点的弹性势能为零；另取点时小球的重力势能为零。那么，由机械能守恒定律可得图3-17 其中是小球在点的速率。又小球在点时的牛顿第二定律方程为 解式和式，得弹簧的劲度系数为 3-4 质点系的角动量定理和守恒定律一、质点系的角动量设质点系中包括了n个质点, 它们的质量分别为m1、m2、mn , 在某时刻各质点的动量分别为，

25、相对于参考点o的位置矢量分别为，则第i个质点相对于参考点o的角动量为 质点系的角动量定义为质点系中各质点对同一参考点的角动量的矢量和，即 （3-22）二、质点系的角动量定理若质点系中第i个质点所受的外力为，所受的内力为，由质点的角动量定理可知写出质点系中各质点的角动量定理的表达式并相加，即对上式求和，可得由于所以 （3-23）（3-23）式中右边第一项是作用于质点系的外力对参考点o的力矩的矢量和,以表示， 第二项则是质点系内各质点之间的作用力对参考点o的力矩矢量和，以表示。让我们看一下第i个质点和第j个质点之间的情况。设和是质点i和j之间的作用力和反作用力, 它们相对于参考点o的位置矢量分别为

26、和, 则和相对于参考点o的力矩分别为和，将它们相加, 得内力矩为由图3-18可以看出, 与是平行的, 它们的矢积必定等于零。即图3-18 对于质点系中每一对相互作用的质点, 都有同样的情形, 所以内力对参考点o的总力矩一定等于零, 即 于是式(3-23)可以写为 （3-24a）去掉角标“外”, 用代表质点系所受外力对参考点o的力矩矢量和, 则上式可改写为 （3-24b）上式表明，质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率，这一结论称为质点系的角动量定理。把（3-24b）改写成 （3-25）式中是合外力矩在时间内的积累，称为合外力矩的冲量矩，用表示。是质点系角动量的增量，是冲量矩产生的效果。

27、若合外力矩由时刻 持续地作用到时刻 ，则有 （3-26）上式表明，质点系的外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量。这一结论称为质点系的角动量定理。（3-25）式为质点系角动量定理的微分形式，（3-26）式为质点系角动量定理的积分形式。（3-24）式、（3-25）式、（3-26）式均为矢量方程。在确定的坐标系中，可以写成三个分量式。如（3-26）式在直角坐标系中的分量形式为 (3-27)说明：只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的总角动量。三、质点系的角动量守恒定律对于质点系，由式（3-24）可知，当质点系不受外力矩作用或所受外力矩对某参考点

28、的力矩之和为零时，即有 （3-28）上式表明，当质点系不受外力矩作用或所受外力矩对某参考点的力矩之和为零时，质点系对该点的角动量守恒。这一结论称为质点系的角动量守恒定律。（3-28）式为矢量表达式，在确定的坐标系中，可以写成三个分量式。在直角坐标系中的分量形式为 （3-29）上式说明，若质点系所受的合外力矩不为零，但合外力矩在某一方向上的分量等于零，则质点系的角动量在该方向的分量守恒。说明：角动量守恒的条件是合外力矩等于零。合外力为零不一定合外力矩等于零。例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零。合外力矩为零可分三种情况：a.质点系内各质点不受外力作用，这样的质点系为孤立系统。b.质点系中各质点所

29、受外力均通过参考点。c.质点系中各质点的外力对参考点的力矩不为零，但它们的矢量和为零。如只受重力作用的质点系，各质点的重力对质心的力矩可以不为零，但它们的矢量和等零。系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。只适用于惯性系，也可适用于微观现象。质点系的角动量的改变只与系统所受的外力矩之和有关，而与内力矩无关。内力矩只改变系统内各质点的角动量，或者说内力矩是系统内各质点之间角动量交换或传递的原因。但不影响系统的总角动量。与动量守恒的条件加以区别。例3-15 两人质量相等,位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳， 绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？解:选两人及轮为系统，O 为参考点，取垂直板面

30、向外为正。系统所受外力如图3-19。产生力矩的只有两人的重力。系统所受外力对参考点O的合力矩为系统对参考点O的角动量为 图3-19根据角动量定理 可得 。即两人同时到达顶点。法二: ( 角动量守恒 )系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒。 讨论:若其中一个人不动，外力矩情况依然，内力矩对角动量无贡献，因而角动量守恒。若m1m2，则。 即轻者先到达。3-5 三个守恒定律的应用我们已经讨论了描述物体运动的三个状态量动量、角动量和能量，引入了改变系统上述状态量的三个作用量冲量、冲量矩和功，建立了描述系统状态量与外界作用量之间的关系的三个基本原理动量定理、角动量定理和功能原理，并且在一定条件下建立了三

31、条守恒定律：动量守恒、角动量守恒和机械能守恒定律,如表31所示。状态量变化率作用量名称定义性质名称定义性质动量矢量冲量矢量角动量冲量矩能量 动能标量功标量基本原理守恒定律条件守恒量解题时要注意分解过程；选系统，分析外界作用量；用三个基本原理或三个守恒定律解题，要特别注意守恒条件。3-5-1动量守恒和机械能守恒举例例3-16 质量为m 的珠子，穿在半径为R的固定不动的铅直圆环上，并可沿圆环作无摩擦的滑动。珠子又与倔强系数为k的轻弹簧连结，而弹簧的另一端固定于环底点C。开始时，珠子静止于环顶A处，此时弹簧无形变。当珠子滑到点B（B与O在同一水平线上）时，珠子的速度为多大？圆环作用于珠子上的弹力为多

32、大？图3-21图3-20解：以弹簧、珠子和地球为系统，珠子受力如图3-21所示，系统机械能守恒。取A点为零势能点，由机械能守恒定律得： 可得 在点B的法向上应用牛顿定律，得 将 v 的值代入上式，可求得：图3-22例3-17 质量为m的小球A，以速度v0沿质量为M、半径为R的地球表面的切向水平向右飞出，如图3-22所示。地轴OO与v0平行，小球A的运动轨道与轴OO相交于点C，OC=3R。若不考虑地球自转和空气阻力，求小球A在点C的速度与OO轴的夹角。解 取小球与地球为系统，机械能守恒 由对地心角动量守恒，得 联立解得 例3-18 若由于某种原因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？解：由

33、机械能守恒定律 m要从M上逃逸，则有：当时， 。也就是满足为万有引力常数，为天体的半径。所以其逃逸速度应为可见，逃逸速度与物体的质量无关，只取决于天体的质量和半径。如果，为光速，则光也逃不出这个天体，于是就变成了黑洞。所以一个质量为的天体，只要半径缩小到某一临界值则此天体就成为黑洞。已知太阳的质量，现在的半径，当 时，它变成一个黑洞。3-6 碰撞两物体在相互接触（或接近）中发生强烈相互作用，并使其运动状态急剧变化的过程称为碰撞。碰撞现象非常普遍，如击球、打桩、锻压、天体的碰撞等。碰撞过程时间非常短，相互作用的内力非常大，作用在系统上的外力都相对很小，在碰撞过程中外力作用于系统的冲量可以忽略不计

34、，所以可认为在碰撞过程中，系统的总动量是守恒的。在碰撞过程中，内力可能作功，可以改变系统的动能，所以，按照碰撞前后系统的总动能是否发生变化，可以把碰撞分为两类：一类是碰撞前后系统的总动能相等的碰撞称为完全弹性碰撞。如钢球之间的碰撞可以看作是完全弹性碰撞。原子、原子核与微观粒子之间的碰撞是严格的完全弹性碰撞。另一类是碰撞前后系统的总动能不相等的碰撞称为非完全弹性碰撞。也就是，在非完全弹性碰撞过程中有动能损失，或者说，在非完全弹性碰撞过程中有动能转变为非机械能形式的能量。由此看来，完全弹性碰撞过程中，前半程两物体的形变逐渐增加，动能转变为与形变对应的弹性势能，后半程形变恢复，弹性势能转变为系统的动

35、能。在整个碰撞过程中系统的机械能不变。在非完全弹性碰撞中有一种特例，就是两个物体在碰撞后合为一体，这种碰撞称为完全非弹性碰撞。3-6-1碰撞一、完全弹性碰撞设两个小球的质量分别为m1和m2, 碰撞前的速度分别为和, 碰撞后的速度分别为和。根据动量守恒定律, 有 (3-30)在完全弹性碰撞中, 碰撞前后系统的总动能相等。即 （3-31）以上（3-30）式和（3-31）式就是处理完全弹性碰撞问题的基本方程。这里我们只分析完全弹性碰撞中最简单的一种情形, 就是两球在碰撞前的速度方向都与两球球心的连线在同条直线上,这种碰撞称为对心碰撞或正碰。3-6-2完全弹性碰撞图3-23m1m2m2m1v10v20

36、v2v1m1m2f1f2两个小球在光滑水平桌面上作对心式完全弹性碰撞。由于两个小球的速度沿同条直线，取的初速度的方向为正方向，式（3-30）可写成标量式 （3-32）由（3-31）式和（3-32）式可得 （3-33） （3-34）由式（3-33）和式（3-34）可得几种特殊情况：当时，。即碰撞使两小球交换速。当时，可得，即质量小的被原速率弹回，质量大的几乎保持静止。当时，可得。这说明，质量很大的球去碰质量很小的静止球时，结果质量大的球的速度几乎不变，而质量小的球以2倍于质量大的球的速度前进。3-6-3弹性碰撞的讨论二、完全非弹性碰撞设两个小球的质量分别为m1和m2, 碰撞前的速度分别为和,经对

37、心碰撞后结合为一体，设它们的共同速度为。根据动量守恒定律，有所以 （3-35）碰撞过程中动能的损失为 （3-36）三、恢复系数牛顿认为，碰撞后的分离速度()与碰撞前两球的接近速度()成正比，比值由两球的材料决定，即 ( 3-37） e 称为恢复系数。式(3-32)和式（3-37）联立，解得 (3-38) (3-39)碰撞中的动能损失 （3-40）e=1 时为弹性碰撞， e=0 时为完全非弹性碰撞，e=1 时(弹性碰撞), e=0 时(完全非弹性碰撞)， 一般非完全弹性碰撞 0e1 ,e值可用实验的方法测定。四、恢复系数的其它定义碰撞的规律是客观的，对其描述是人为的。任何一种能反映碰撞规律的描述

38、，都是碰撞的一种正确描述，不同的描述从不同的侧面来反映客观规律。很明显，牛顿用恢复系数 描述碰撞是合适的。 碰撞的规律是有动能损失。不同类型的碰撞系统动能的损失不同。因此，动能损失定义恢复系数也必定可以。用损失的动能与碰撞前动能的比（姑且也定义为恢复系数）描述碰撞也是合适的。即 （3-41）利用式（3-32）和式（3-41）也可以求得。对于完全弹性碰撞，这样定义的恢复系数，对于非完全弹性碰撞，越大，越接近完全非弹性碰撞。一般地讲，完全非弹性碰撞不再有固定的值。容易看出，用 （3-42）也可以描述碰撞的特征。 由于碰撞过程动量守恒，所以质心的动能不变。由柯尼希定理知，质点系在惯性系中的动能等于质

39、心的动能与相对质心系的动能之和。所以碰撞过程中损失的动能是总动能中的相对质心系的动能，用损失的相对质心系的动能与原相对动能的比定义为恢复系数更能反映碰撞的本质。即 （3-43）分别是碰撞前、后的相对质心系的动能和损失的相对动能。对于完全弹性碰撞，这样定义的恢复系数，对于非完全弹性碰撞，一般情况，。容易看出，把 （3-44）定义成恢复系数也可以。对于完全弹性碰撞，这样定义的恢复系数，对于非完全弹性碰撞，一般情况，。碰撞是一种现象，现象是客观的，现象的描述是一种方法。要想正确的描述现象，要认真观察现象的本质。碰撞前后相对速度发生了变化，这是现象的本质，从而定义恢复系数。碰撞前后相对动能发生了变化，

40、这也是现象的本质，从而定义恢复系数。这都是碰撞现象本质的描述，他们从不同的方面描述了现象的本质，都是很好的描述方法。不同描述方法是可以进行比较的。通过比较选择最好的描述方法。例3-19 两半径为r的匀质小球靠在一起，处于静止状态。另有一半径为 2r 的材料相同的大球以速度与之作弹性碰撞，如图3-24所示。 的方向正好位于两小球球心中垂线上，求碰撞后大球的速度。解：小球的质量为m，则大球的质量为M=8m，取的方向为x轴的正向，由对称性可知，碰撞后大球的速度仍沿x轴方向，设为，碰撞后两小球的速度大小相等，设为v1=v2=v；运动方向与x轴夹角相同，设为1=2=。由x方向动量守恒得： 图3-24由机

41、械能守恒得：由几何关系知：将M=8m及cos代入上两式，得 ， 联立解得 内容概要一、理论框架和逻辑关系由两个或两个以上的质点组成的系统称为质点系。由于机械运动是一个物体（质点）相对另一个物体（质点）位置的变化，力是质点之间的相互作用。所以，力学问题实际上是研究质点系的运动问题。如果只侧重其中一个质点的运动，另一个作为参考系，就是质点运动的问题。质点系动力学是研究多个质点相对参考系运动的动力学问题。和研究质点动力学问题一样，首先要定义质点系的动量、角动量、动能、势能、机械能等力学量。研究的核心仍然是当质点系的运动状态变化时，这些状态量的变化遵守的规律。为了更方便地研究质点系的动力学问题定义了质

42、心。质心是质点系中各质点的位置矢量的加权平均值，即。质心还有一个含义是，质心是位于上式确定的位置处、质量等于质点系的总质量的质点。之所以这样定义质心，是因为这样定义的质心有下列特点：质心的动量等于质点系的动量；质心运动定理的数学形式和牛顿第二定律的数学形式相同，其动力学问题容易求解。因此，质心是质点系最好的代表。质心还是一个很好的参考系。所以，按上述定义的质心为研究质点系的动力学问题带来很大方便。质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量，各质点角动量的矢量和称为质点系的角动量，各质点动能的和称为质点系的动能。因为取了系统，所以，质点系中各质点受的力可以分为外力和内力。所以，研究质点系的运动状

43、态变化时，这些状态量的变化遵守的规律时，要分别考虑外力和内力的作用量。上一章已得到质点的动量定理、角动量定理和动能定理，列出质点系中各质点的动量定理、角动量定理和动能定理的方程式，然后把各质点的相应方程相加，即可得到质点系的动量定理、角动量定理和动能定理。具体是：1、质点系的动量定理设第个质点受的外力为，受的内力的矢量和为，根据牛顿运动定律把质点系中各质点的牛顿运动定律的方程式相加得考虑到质点系中各质点受的内力的矢量和，其中是质点系受到合外力，是质点系的动量，从而得到当时，即质点系的动量这就是质点系的动量守恒定律。改变的数学形式，即对于一段有限过程，上式两边积分得到这就使质点系的动量定理。2、

44、质点系的角动量定理设第个质点受的外力，受的内力的矢量和为，根据质点的角动量定理把质点系中各质点的角动量定理的方程式相加得根据牛顿第三定律，内力总是成对出现的，因为一对作用力和反作用力对同一点的力矩的矢量和为零，所以，质点系中各质点受的内力力矩的的矢量和。考虑到，其中是质点系所受外力力矩的矢量和，称为合外力矩，是质点系的角动量，从而得到当时，即质点系的角动量这就是质点系的角动量守恒定律。改变的数学形式，即 对于一段有限过程，上式两边积分得到这就是质点系的角动量定理。3、质点系的动能定理设第个质点受的外力为，受的内力的矢量和为，根据质点的动能定理把质点系中各质点的动能定理的方程式相加得注意，内力的元功，内力元功的代数和一般不等于零。外力的元功的代数和，所以对于一段有限过程，上式两边积分得到上面两式就是质点系的动能定理。4、功能定理由于内力可以分为保守力和非保守力，内力所作的功也可以分为保守力作的功和非保守力作的功，即而保守力作的功等于相应势能的减小，即把上两式代入动能定理的微分形式得到对于一段有限过程，上式两边积分得到上面两式就是质点系的功能定理。5、机械能守恒定律由功能定理的微分形式，在有限过程中的任意微小过程，如果则系统的机械能的增量 这就是机械能守恒定律。6、质心参考系质心参考系有重要意义。质心参考系是质点