毕业论文函数方程的一些解法

1、目 录摘 要 .iiabstract.iii前 言.1第一章 单变量递推形式函数方程的一些解法. .21.1 换元法. .21.2 构造方程组法. .31.3 待定系数法.31.4 极限法. .41.5 定义法. .5第二章 双变量递推形式函数方程的一些解法. .62.1 递归法. . .62.2 转化法. . .72.3 微积分法. . .82.4 赋值法.9第三章 微分积分形式函数方程的一些解法. . .103.1 常微分法. . .113.2 积分法. . .13第四章 隐函数方程的一些解法. . . .144.1 不动点法. . .14结 论. . . . . . .17参考文献. .

2、 .18致 谢. . . .19摘 要 本文讨论函数方程的一些解法。在第一章，我们介绍单变量递推形式函数方程的一些解法，以构造方程组法、待定系数法、极限法、换元法这四种方法为主要研究内容。在第二章，我们介绍双变量递推形式函数方程的一些解法，如：柯西递归法、转化法、微积分法、赋值法。在第三章，我们介绍微分积分形式函数方程的一些解法,主要有分离变量法、凑微分法、拉普拉斯变换法、常数变易法等。在第四章，我们将探讨一种特殊隐式函数方程。关键词：函数方程，微分方程，单变量，双变量、解abstract in the paper, we study some methods to solve functio

3、n equations. in the first chapter，we introduce some methods to solve function equations with some recursive form with one variable. it contains four main research methods: structural equations method, undetermined coefficients method, limit law methods, element method.in the second chapter，we introd

4、uce some methods to solve function equations with some recursive form with two variable. it contains cauchy recursive method, transformation method, calculus method, assignment method. in the third chapter，we introduce some methods to solve function equations with differential or integral forms. it

5、contains variables separation method, differential method, laplace transform method, variation of constants method. in the fourth chapter, we will explore a special kind of implicit function equationskey words: functional equation, differential equation, single variable, bivariable, solutions前 言函数方程

6、顾名思义就是含有未知函数的方程1-12，它是一个历史十分悠久、内容特别丰富、应用及其广泛的数学分支。求函数方程的解的过程，叫做解函数方程虽然解函数方程还没有一般的方法可以使用，使得至今还有大量的函数方程未能解出，但还是有一些我们比较常见的基本的解法可以运用的，而如何正确应用这些方法求解函数方程是本毕业论文的目的。本文通过一些具体的例子,介绍求解一些基本形式的函数方程的方法，例如：构造方程组法、待定系数法、极限法、换元法、柯西递归法、转化法、微积分法、赋值法、分离变量法、凑微分法、拉普拉斯变换法、常数变易法等。第一章 单变量递推形式函数方程的一些解法在具有某一递推形式的函数方程中，如果函数方程只

7、有一个变化的量（单变量），即一个自变量，那么我们称此类函数方程为单变量递推形式函数方程。例如以下形式的函数方程就是单变量递推形式的函数方程：（1）设满足求；（2）设满足，求；（3）设，求；（4）设在附近有界，满足，求；（5）设满足，求解；（6）设在有定义，且，试证。本章主要介绍求解单变量函数方程的一些方法，如：换元法、构造方程组法、待定系数法、极限法等。1.1换元法换元法主要是将函数的某一变量或关系式用另一个新的变量代替，然后再将其带回原来的问题中去，可以起到简化计算的效果，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，从而得到所求方程的解。例1：已知函数方程求解。解：由题意可知，。那么设，即。代

8、入题目已知条件中可得，。再把换成，可以得到，。那么就有下面的方程组：将乘以得： 再将得，整理得。1.2构造方程组法 构造方程组法是利用函数方程的递推形式，通过变量替换，引进另一变量，形成方程组，解此方程组最终得到未知函数的具体形式。例2：设满足，求的表达式。解：由题意可知，设，那么将得到。再将代人已知条件得到： ，即：。于是得到方程组： 将（5）代人（4）中可得 ，整理得。1.3待定系数法当未知函数具有某种已知形式时，例如多项式形式，待定系数法是将未知函数表示成满足要求的含有待定系数的形式，利用函数方程就可以得到一个恒等式。然后再根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方

9、程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，从而得到未知函数的具体形式。例3：已知是一个多项式函数，并且，试求。解：由题意可知，因为和均不会改变的次数，并且它们两个的和是二次的，所以函数一定是一个二次函数。那么就可以设。则有：因为由已知条件有 比较俩式的同次项系数可得：，即，。1.4极限法 极限法主要是运用叠代的思想方法，对于被考察的未知函数，首先合理的构造一个与它有关的变量，确认这个变量通过无限叠代过程的结果就是所求的未知函数，最后借助极限理论来得到函数方程的解。例4：设函数在附近有界，并且同时还满足，求函数的表达式。解：由题意可知，=因为已知在附近有界，则取极限之后有：，并且 =

10、 =，故。例5：设在有定义且，,证明：，。 解：由题意可知，因为 所以。又因为，所以，并且在有定义，综上述：，。1.5定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出所反映的事物的本质属性来明确概念。例6：已知函数满足，求解。解：由题意可知， 所以。令，那么，所以。第二章 双变量递推形式函数方程的一些解法在具有某一递推形式的函数方程中，如果函数方程只有两个变化的量（双变量），即两个自变量的话，那么我们称之为双变量递推形式函数方程。例如以下形式的函数方程就是双变量递推形式的函数方程：（1）设在内连续且对

11、于，满足，求；（2）设其中，存在非零连续解，求；（3）设在可微且，证；（4）设在连续，且存在，试证；（5）设在的范围内是不恒为0的连续函数，且对,有，试证。本章主要介绍求解双变量函数方程的一些解法，同时说明这些方法的主要内容。如：柯西递归法、转化法、微积分法、赋值法等。2.1柯西递归法 柯西递归法是依次求出对于自变量的所有的自然数值、整数值、有理数值，直到所有实数值的函数方程的解。以函数方程为出发点，从比较简单的情况着手，并且在推导的过程中注意找寻函数方程一些重要的递推规律，然后得到所需要的求解结果的思想。例7：已知函数在实数域内是连续的并且对于任意的，均有下面的函数等式成立，那么。解：首先，

12、我们证明等式成立，其中当，式子显然是成立的。假设当时成立，即，那么有：=由数学归纳法，有等式成立，其次，当是自然数的时，有，整理后得到，所以成立假设，那么可以得到：。让，所以。对于负有理数：-， （9）由（8），（9），对任意的有理数，都会有。最后，假设是无理数，那么存在有理数列，。，又在处连续，当，所以,。令，。令，所以。2.2转化法 转化法就是通过引入合适的、新的变量，将引入的新变量与原来的变量作替换，最终将题设所给的函数方程转化为简单、容易求解的函数方程，从而得到所求函数方程的解。例8：已知函数方程其中，并且存在非零连续解，则它的解应该为。证明：由题意，存在使得。令，有等式，那么有。 令

13、，有0。作变换：。记，由于的连续性以及，同时由上一题的结论可以知道，从而得到。2.3微积分法微积分法即在求解函数方程解的过程中，合理的运用微分以及积分的知识，将求解函数方程解的问题转移到求解微积分的问题上来，从而得到函数方程的解的方法。例9：假设函数方程在实数域内可微并且对于任意的，并且有下面的函数方程式成立，那么。证明：由题意可知， 。那么我们让，则可以得到， 。因为 = =所以有等式：，那么，。 再让，则有，所以可以得到。例10：设在连续，并且存在，证明。证明：由题意可知，对，积分得， 令，。 因为连续，则关于可导，由存在。两边对求导，有。令 ，于是。2.4赋值法 赋值法其实就是在求解函数

14、方程解的过程中，在函数定义域的范围内，赋予函数方程中的变量（一个或几个）一些特别的值，将方程化简，从而将复杂问题简单化，最终得到函数方程解的一种方法。例11：假设函数在的范围内是不恒为0的连续函数，而且对于任意的,满足，那么。证明：首先证明恒大于0.由题意令，有。又因为不恒等于0,所以一定存在,满足0.又令，有 令有等式。综上述0。由于，令，即有， 又有， 可以知道，设（为一确定的数）， 所以，故有，于是。第三章 微分积分形式函数方程的一些解法表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间关系的方程，称为微分方程。而含有对未知函数的积分运算的方程，称为积分方程。例如以下形式的函数方程就是微

15、积分形式的函数方程：（1）求微分方程的通解；（2）求解方程；（3）求方程 的满足初始条件的解；（4）求方程的通解，这里为常数；（5）设求的表达式；（6）设在连续可导，求表达式；（7）设是连续函数，且，求的表达式。本章将介绍微分积分形式函数方程的一些解法，同时介绍各种方法的重要内容，如：分离变量法、凑微分法、降阶法、常数变易法等。3.1常微分法 分离变量法主要是指在函数方程的求解过程中，关于未知函数的方程是已知的，而在求解的时候对函数方程的式子作一定的变化，将多元变量分离开来进行分别的计算，从而简化函数方程求解的难度，最终得到函数方程的解。例12：求微分方程的通解。解：由题意我们可以知道，该微分

16、方程是可以进行分离变量的，那么分离变量后可得：。对上式的两边都积分可得：，整理得到：（为任意常数），从而有。因为任然是任意的常数，则把记作为任意常数，于是便得到方程的通解：。 凑微分法就是在求解含有微分的函数方程中，将被微分的项凑成某一个函数的微分的一种方法，从而得到函数方程的解。例13：求解方程。解：由题意可知，再用凑微分法的到方程的通解：（为任意常数）。拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数的代数方程（组），通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组）的解。例14：求方程 的满足初始条件的解。解：对方程两边施行拉普拉斯变换得。由

17、此得到 。把上式右端分解成部分分式。对上式右端各项分别求出（查表）其原函数，则它们的和就是的与函数。 常数变易法在求解问题的时候，将函数方程中的常数变易为其中变量的待定函数，其实质就是一种变量变换的方法。例15：求方程的通解，这里为常数。解：由题意可知，我们可以将方程改写为 第一步，求解齐次线性方程的通解，从，则得到了齐次线性方程的通解。第二步，再应用常数变易法求解非齐次线性方程的通解。将上一式中的看成为的待定函数，那么微分之后可以得到：以及代人中，得到。积分之后可以求得：，所以，用求得的代人中，就得到了原方程的通解，这里的是任意的常数。例16：已知求的表达式。解：由题意可知，对等式两边对求导

18、数可以得到。解得：。代人初始条件：，得到，所以的表达式为：。例17：已知在连续可导，求表达式。解：由题意对作变换得到。两边对求导得到。解得。再代人初始条件，得到。所以的表达式为。3.2积分法微积分法即在求解函数方程解的过程中，合理的运用微分以及积分的知识。将求解函数方程解的问题转移到求解微积分的问题上来，从而得到函数方程的解的方法。例18：设是整个实数轴上的连续函数，已知，求的表达式。解：由题意可知，。令则有。于是由于连续，关于可导，当然式右端函数也应对可导，求导。由已知条件可知，所以。有，因此。又注意到，得。那么的表达式为：第四章 隐式函数方程的一些解法一般地，如果变量和满足一个方程，在一定

19、条件下，当取区间内的任一个值的时候，相应地总会有满足这个方程的值存在，那么就说方程在该区间内为一个隐函数，并且为一隐式函数方程。例如以下形式的函数方程就是隐式函数方程： （1）设：满足条件，求的表达式；（2）设在连续， 证明；（3）设在连续， 证明（4）设在连续，记，（个）.证明。本章将介绍求解隐函数方程的一些解法，如：不动点法。4.1不动点法设函数在闭区间有定义,使,称为的一个不动点。例19：函数：满足条件，求的表达式。解：令，那么即是的不动点.令，得到令。得到，所以.由0，得即1是不动点.再证1是唯一不动点。反设是函数的不动点，且.若1，则是不动点，知是不动点，与条件矛盾。若1，则故是不动

20、点。由上述推理得出矛盾，故1是函数唯一的不动点。由上述可知，满足，从而.例20：设在连续，,证明。证明：对于，假设, 则由可知 故是一对一的. 由是一对一的，假设不严格单调, 则必 1.使得，或，。即，或，。 就前一种情况进行讨论，后一种情况类似可得。任意取一数，使得。由连续性可知，使得，这就和是一对一的矛盾，故只能严格单调。 因为，要么要么，要么。严格单调增加可知：若，则，矛盾；若，则，矛盾；故总有。 例21：设在连续， 证明。证明：对于，假设，则由可知， 故是一对一的。 类似上例知严格单调增加，由此知严格单调增加。 下证，从而由上例知。 事实上，若，使或。不妨则严格单调增加知，即则严格单调

21、增加知，矛盾。例22：设在连续，其中，（个），则。证明：对于，假设，则由可知， 故是一对一的。类似上两例知严格单调增加，由此知严格单调增加。下证，从而依次类推有事实上，若，使或。不妨则严格单调增加知但由及严格单调增加知即我们有： 从而类推得矛盾。结 论对四类形式的函数方程的求解，不但需要了解清楚各种类型的函数方程的概念，而且还要对各种函数方程的求解方法，应该充分的掌握与运用，同时对于各种求解函数方程的方法的内容也要有重要的认识。对于求解单变量与双变量形式的函数方程的方法中，构造方程组法应正确的利用函数方程的递推形式，巧妙引入变量，从而求解。待定系数法应掌握怎样将某一个多项式表示成另一种含有待定

22、系数的新的形式，得到一个恒等式，求出待定的系数或找出某些系数所满足的关系式的思想。极限法是运用叠代的思想，最后借助极限理论来得到函数方程的解。换元法则应注意何时进行变量替换。柯西递归法对依次求出对于自变量的所有的自然数值、整数值、有理数值应该注意，微积分法应合理的掌握运用微分以及积分的知识。赋值法必须注意赋予的特别的值是在函数定义域的范围内。对于微积分形式的函数方程的求解，分离变量法的关键是多元变量分离开来进行分别的计算。凑微分法中将被积分的项凑成某函数的微分是最重要的。拉普拉斯变换法方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不适用了。常数变易法其实质就是一种变量变换的方法。对于隐式函数方程的求解问题的研究，不动点法其实质就是一种数学定义法，它通过对定义的理解，正确掌握其解法思想。参考文献1 陈纪修，於崇华等. 数学分析m.北京：高等教育出版社，2004.2 王朝霞，张庆.几类函数方程解法的研究j.唐山师范学院学报，2006,28（2