对称性在积分计算中的应用

1、潍坊学院本科毕业论文引言对称性是在生产、科学研究和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及到初高等数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技巧，灵活选用合理的解题途径和方法。解决积分问题的方法多种多样，若仅限定于初等数学方法，解题往往需要较强的技巧，因此高等数学又从对称性的角度找到了便利，它是讨论积分问题的有力武器。对称性的作用在许多工程，经济等方面也非同小可。因此无论从考试角度及能力方面都需要对对称性进行系统的总结。1 对称性在积分计算中的应用1.1 对称性在计算区间上的定积分的应用性质1 对于对称区间上的定积分，有：证明：设为奇函数，则=，故： 在第二个式子中令，则，所以

2、：原式如果为偶函数，证明方法类似于。例1.1 已知为定义于闭区间上的函数。求：。解：因为为定义于定义域上的奇函数，故由上面的性质可得：例1.2 设，。 则有_ 解：在中，因为被积分函数是奇函数且积分区域为，因此。在中，因被积分函数是偶函数，为奇函数，故： 在中，因为奇函数，而为偶函数，从而：1.2 对称性在计算平面区域上的二重积分方面的应用性质2 设关于轴对称，则有： 其中为的右半部分：性质3 设关于轴对称，则有： 其中是的上半部分：性质4 设区域关于轴和轴均对称，且关于变量和均为偶函数，则有： 其中为在第一象限内的部分：性质5 设关于原点对称，则有： 其中，性质6 设积分区域关于直线是对称的

3、, 则 证明：性质2：对于上的奇函数有又因为关于对称，故不妨设定义于。 则有： 同理即可以证明当关于变量是偶函数的情况，以及上面的定理（3）、（4）、（5）、（6）。例1.3 设为平面上的以、为顶点的三角形区域，是在第一象限内的部分。则等于_。解：积分区域如右下图1-1： 图1-1则用直线可以将区域分成两个区域、，其中关于轴对称关于轴对称。而是的右半部分。注意到,关于变量是奇函数，关于变量是偶函数，是关于变量为奇函数。所以： 例1.4 设：，：，0，0 , 则下列各式中不成立的是_ 解： 因为积分区域关于轴或轴是对称的，又在中被积分函数对或y是偶函数，故成立。而中被积分函数对或是奇函数，故。对

4、于因为关于变量为奇函数，故。而在中，积分区域关于=是对称的，则=。故本题选。例1.5 计算二重积分，其中：解：因为积分区域关于轴和轴对称，而和分别关于变量和为奇函数，故。所以： 1.3 对称性在计算三重积分方面的应用类似于在二重积分中的应用，对称性在三重积分中又如下性质：性质7 设关于坐标面是对称的，则其中是的前半部分：例1.6 设空间区域：，以及：，。则_ 解：因为关于，均对称，且关于、是偶函数，故: 而在中，被积函数关于是奇函数。故： 同理可以证明、。所以本题选。例1.7 已知是由曲面和所围成的区域。计算：。解：因为关于坐标面对称，且关于为奇函数，故有，故再根据极坐标变换可得： 1.4 对

5、称性在计算第一型曲线积分方面的应用性质8 设平面分段光滑曲线关于轴对称，则其中是的右半圆周：例1.8 设为椭圆，其周长记为,则=_解：因为关于轴对称，且关于为奇函数关于为偶函数，且其定义于椭圆上，故。从而原积分： 1.5 对称性在计算第一型曲面积分方面中的应用 性质9 设分片光滑的曲面关于坐标面对称，则有其中是的前半部分：例1.9 计算曲面积分：，其中为上半球面解：因为关于坐标面和均对称。而和分别关于变量和为奇函数。故有。又在坐标面上的投影为且。从而原积分： 1.6 对称性在计算第二型曲线积分方面中的应用性质10 设分段光滑的平面曲线关于轴对称，且在上半平面的部分与下半平面的部分的方向相反，则

6、 若关于变量是偶函数，则 若关于变量是奇函数，则证明：由于 ,画图如下图1-2 yxX1 X2 图1-2 ，从变到 ，从变到，则 若时，则若时，则与上面的性质10类似，有下面的性质11：性质11 设分段光滑的平面曲线关于轴对称，且在右半平面的部分与左半平面的部分的方向相反，则： 若关于变量是偶函数，则 若关于变量是奇函数，则例1.10 计算，其中是抛物线上从到的一段弧。解：利用对称性来计算。因为关于对称，且方向相反，又被积分函数是的偶函数，所以。注意：我们可以用下面的计算来验证上面的结果。把上面的积分化成的定积分来计算：，画图如下图1-3图1-3 ：，从1变到0； ：，从0变到1；则 例1.1

7、1 计算，其中是以，为顶点的正方形正向边界线。解：应用对称性计算，积分曲线如图1-4： 图1-4 = + 对于第一个积分，因为曲线关于轴对称，且方向相反，被积分函数 是的偶函数，所以积分为0。对于第二个积分，因为曲线关于轴对称，且方向相反，被积分函数 是的偶函数，所以积分为0。从而原积分。1.7 对称性在计算第二型曲面积分方面的应用性质12 设分片光滑的曲面关于平面对称，且在平面上半空间的部分曲面取定上侧，在平面下半空间的部分曲面取定下侧，则：若关于变量是偶函数，则 若关于变量是奇函数，则性质13 设分片光滑的曲面关于平面对称，且在平面前半空间的部分曲面取定前侧，在平面后半空间的部分曲面取定后

8、侧，则 若关于变量是偶函数，则 若关于变量是奇函数，则性质14 设分片光滑的曲面关于平面对称，且在平面右半空间的部分曲面取定右侧，在平面左半空间的部分曲面取定左侧，则若关于变量是偶函数，则若关于变量是奇函数，则例1.12 计算，其中是椭圆柱面介于和之间部分的外侧，如下图1-5 图1-5解：因为是的偶函数，关于平面对称，所以。又因为是的偶函数，关于平面对称，所以。又在平面上的投影为一椭圆，投影区域的面积为0，所以。从而。例1.13 计算，其中为曲面平面和所围成立体的表面外侧。解：由，画图如下图1-6 图1-6 ：，取定下侧 ：，取定上侧所以是的偶函数，关于平面对称，又在平面上的投影域面积为零，所

9、以有： 类似的，因是的偶函数，关于平面对称，又在平面上的投影域面积为零，所以有： 又记 1，2在平面上的投影区域为，所以有： 从而。1.8 对称性在计算广义积分方面的应用性质15 设定义于区域上的连续函数，且具有某中对称性，记的对称点为，那么：若有 成立，则。若有成立，则 其中是的一半。例1.14 计算，其中为区域：。解：积分区域显然关于直线对称，点的对称点为。 所以 当积分区域具有某种对称性，而被积分函数不满足对称性要求是，有时可以通过适当改造被积分函数，使之满足对称性要求。例1.15计算，其中是由直线以及所围成的平面区域。解：区域如图1-7： 图1-7易见是关于直线对称，被积函数。记, 满

10、足对称性要求，故： = 例1.16 计算，其中是，所围成的矩形回路。解：积分路径显然关于直线对称，也关于对称，将被积分函数改造为，与满足对称性要求，故 =例1.17 计算，其中是由平面，以及所围成的圆柱体的整个边界曲面。 解：积分曲面显然关于平面对称，故将被积分函数表示为。所以有： 例1.18 计算。解：记，积分区间0， 显然是关于对称，点的对称点为，则： 所以 例1.19 计算 ，（为自然数）。解：被积函数可以改为。 记，积分区间关于对称，点的对称点为。于是有 所以 注意：在定积分的计算中，当被积分区间关于原点对称是，我们比较容易注意利用对称性；而当积分区间为任意有限区间时，我们往往想不到去

11、利用对称性.实际上，积分区间一定关于点对称。因而我们可以将性质中的结论（3）直接用到定积分的计算上，即有下面的性质：性质16 设在上连续，则分析：只要注意到的对称点为即，就会发现这一推论是显然成立的。如果从几何意义上看，曲线与曲线关于直线对称，则显然成立。这一公式对于积分的计算并没有多少直接的帮助，但是从该公式易得：这就为我们提供了改造被积函数的具体方法：将被积函数换成。 例1.20 计算 解：记，则： 2 轮换对称性在积分计算中的应用性质17 二重积分的轮换对称性：若积分区域关于具有轮换对称性，则： (1) (2)若关于直线对称，另位于直线上半部分的区域为，则：性质18 三重积分的轮换对称性

12、：若积分区域关于具有轮换对称性，则： (1) = (2)若积分区域关于坐标面对称，另位于前半部分的区域为，则： 性质19 第一型曲线积分的轮换对称性：若平面积分曲线关于具有轮换对称性，则： (1) (2)若关于直线对称，令曲线位于直线的上半部分区域为，则： 若空间积分曲线关于具有轮换对称性，则： 性质20 第一型曲面积分的轮换对称性：若积分曲面关于具有轮换对称性，则： 性质21 第二型曲线积分的轮换对称性：若积分曲线关于具有轮换对称性，则： 性质22 第二型曲面积分的轮换对称性：若积分曲面关于具有轮换对称性，则：例2.1 求证由曲面, 和所围成的立体的体积为。解：由，可得, 所求积分为： ，

13、其中注意到与的特点，关于,具有轮换对称性，则有：所以 从而 例2.2 计算三重积分。其中是由曲面与及平面所围成。解：注意到关于具有轮换对称性。则： =例2.3 计算第一型曲线积分。其中为球面与平面的交线。解：若要求出曲线的参数方程组是比较困难的，难以直接计算。但是注意到被积分曲线关于具有轮换对称性，所以： ， 而平面过球的球心，则曲线是以原点为圆心，为半径的大圆。所以：= = =例2.4 求第一型曲面积分，其中为解：因为积分曲面关于具有轮换对称性，所以有：；所以原式=+=+=结束语以上就是本文所讨论的对称性在积分计算中的应用问题。掌握其解法能够简化或解决很多问题，这不仅可以体现在理论研究中而且

14、在处理许多实际问题时也别具特色。对称性在积分计算中的应用贯穿于初高等数学各部分的内容中，对其整理归纳可以提高我们分析问题和解决问题的能力。由于对称性在社会科学和自然科学的许多方面都有应用，它的解法灵活多样，因此本文的重点是能够运用初高等数学的相关知识灵活地解决积分计算问题；但有些题目只能用一些固定的方法来解决，这些方法有一定的局限性,因此本文的难点是掌握求积分的一些特殊的解法。本文主要是对求各种积分问题的类型和相应的解题方法进行较深入地探讨，以形成较完整的理论体系。通过本文的论述，我们可以更全面地了解对称性的优势，有一定的应用价值。另外，熟练掌握此部分内容对数学的学习也大有帮助。在这一过程中，

15、我们更系统地分析了积分问题的类型和解决方法，使我们更能体会到前人探索的艰辛，以及获得成功时的喜悦之情，从而激发了我们对数学的兴趣，当然由于求积分的方法很多，加之我们的专业知识有限以及研究方法不成熟，文中难免出现不足之处。例如：对积分问题类型的讨论不够深刻和全面，由于求解解法的灵活性，本文只是归纳了部分积分问题类型和解法，因此不能囊括所有的积分问题。总之，这篇论文还有很多地方值得商榷，望老师和同学们提出宝贵的意见。 参考文献1 张禾端，高等代数（第三版），北京：高等教育出版社，1992年4月第九版 2 马小土，硕士研究生入学考试1000题，第三版，北京：中国人民大学出版社，2000，4 3 华东

16、六省工科数学系列教材编委会.高等数学学习指导书M.沈阳：辽宁科学技术出版社，19914 山东工业大学高等数学教研室.高等数学M.济南：山东大学出版社，1997 5 徐森林，薛春华.数学分析（第二册）M.北京：清华大学出版社，2006 6 裴礼文.数学分析中的典型问题和解题方法M.北京：高等教育出版社，1993 7 清华大学数学科学系微积分编写组.微积分M.北京：清华大学出版社，2004 8 电子科技大学应用数学系编.微积分M.成都：电子科技大学出版社，2000 9 童武.全国硕士研究生入学考试历年试题精解（数学三）M.北京：北京大学出版社，2004 10 同济大学应用数学系编.高等数学M.北京

17、：高等教育出版社，2004，12 11 同济大学应用数学系编.高等数学习题集M.上海：上海财经大学出版社.2006，9 12 童雪耐，对称区域上的积分，数学通报，1991 13 刘玉链，数学分析讲义（下册，第三版），北京：高等教育出版社，1996 14 张志军，熊德之.微积分及其应用M.北京：科学出版社.2007 15 华东师范大学数学系编.数学分析（第二版）M. 北京：高等教育出版社.1991 致谢逝者如斯，不舍昼夜，四次春去春又来，岁月稍纵即逝。此时，回头想想这段短暂的求学路，时而喜悦，时而惆怅。在这个美丽的校园里，原本天真幼稚的我如今已蜕变成一个睿智、沉稳的青年，感谢命运的安排，让我有幸结识了许多良师益友，是他们教我如何品味人生，让我懂得如何更好的生活！人生处处是驿站，已是挥手作别之时，在此，向所有帮助过我的人献上我最诚挚的谢意！本学位论文是在我的指导老师宋强的亲切关怀与细心指导下完成的。从课题的选择到论文的最