切蛋糕的数学问题

1、切蛋糕的学问学校：温州市育英国际实验学校班级：初一（ 11 ）班成员：黄纪凯 金潇然 王小丽指导老师：鲍剑锋联系电话：切蛋糕的学问一提出问题今年我过生日的时候，爸爸出差回来带来一个大蛋糕，馋得我直流口水。爸爸说：“你 先别忙吃，考你一道数学题。”我信心十足地说：“尽管出吧没有什么问 题能难得倒我的！ ”爸爸说： “你先别骄傲，听我的题目：一块蛋糕不能横着切， 从上面一刀切下去最多可以切两块，两刀最多可以切四块， 那么三刀最多可以 切几块，？四刀呢？五刀二十七刀最多可以切多少块？我想都没 想就回答： “这么简单？一刀最多可以切两块，两刀最多可以切四块，三刀最多可以 切六块，这样推想下去，二十七刀

2、当然就可以切54块呀！”爸爸说：“ 错了，其实要使切的数最多，每两刀必须交叉，且三刀以上的刀痕不能交于一点。想知 道答案，你可以找一找切的刀数与块数之间的规律。”我陷入了沉思。究 竟怎么样切，才能使块数最多呢？”二 . 探究问题我找了两个朋友一起思考，怎样才能切割出尽可能多的月饼呢？于是我在平面上与朋友一起画了一个圆形进行切割，制作了以下表格：刀数最多块数示意图一刀2块二刀4块三刀7块四刀11块五刀16块我们就逐渐发现了一个规律： 一刀的最多块数： 2=1+1,二刀的最多块数： 4=1+1+2,三刀的最多块数： 7=1+1+2+3,四刀的最多块数： 11=1+1+2+3+4,五刀的最多块数：

3、16=1+1+2+3+4+5我们从中发现快数是由一个等差数列和多余的一组成的，例如：上面可转化为以下这种形式：一刀的最多块数：1(1 1) 1(块)2二刀的最多块数：2(2 1) 1(块)2三刀的最多块数：3(3 1) 1 (块)2四刀的最多块数：4(4 1) 1(块)2五刀的最多块数：5(5 1) 1(块)那么，我们推出规律，即 n 刀的最多块数为： n（n 1） 1（块）2那么27刀就有 = 27（27 1） 1=379（块）2我和朋友高兴地把答案告诉爸爸，爸爸夸奖了我们，还给我们吃了几块美 味的蛋糕， 我在吃蛋糕的时候又想： 图形的切割多少可能与图形的什么有关 呢？三拓展和推广经过上一次

4、的探索，我发现切割蛋糕的规律。那么，切割的多少究竟与 什么有关呢？经过初步的思考，我猜测切割的多少可能与图形的面积，形 状，所处的空间维度有关。（1）我为了验证“图形的切割与图形的面积有关” ，我进行了一个实验： 设置一个半径是两厘米，一个半径是四厘米，一个半径是八厘米的圆，用同 样的手法切割。就得到一个表格：半径（厘米）刀数（次）248122224443777.nn(n 1) +12n( n 1) +12n( n 1) +12我发现无论进行多少次分割，它是与图形的面积无关的。并且块数 m 与刀数 n 的关系为： m=n（ n 1） +12所以，图形的分割与图形的面积无关（前提：圆不能缩小为一

5、点！ ）（2）现在我们来研究 “图形的分割是否与图形的形状有关” 我与我的小伙伴做出了以下实验：设置一个圆形与一个月牙形，找出这个之间的关联。刀数（次）圆形切割的最多块数月牙形切割的最多块数123246371041115.nn(n 1) +12n(n 3) +12所以，图形分割与图形形状有关。并且值得一提的是我发现月牙形的规律与三角形数一样的，如图：一刀二刀三刀四刀361015不过，月牙形的切割块数是在第二个三角形数“3”的基础上进行的。 （不 含不切的情况），因此，再求切 n 刀月牙形的最多块数时，事实上是在求第 （n+1）个三角形数。由此在三角形数的计算公式上叠加了（3-1 ），于是原来的

6、 n（n 1）便变成了 n（n 1 3 1），即 n（n 3）。2 2 2（3）对于空间维度，我们可以分三类切割：一维空间，二维空间，三维 空间。我们首先分割一维事物，在一维事物中，只有点，线，所以我们就来研究直如果一横切，2段3段第三刀4段第四刀5段所以，在一维空间里， 段数=刀数 +1二维空间我们已经研究过了， 圆形的切割规律：块数 =n（n 1） +1（n为刀数） 2现在我们来研究三维空间的切割规律，我们来研究一个比较典型的三维图形正方体。刀数（次）最多块数（块）122438415nn3 5n +16总结：一，二，三维空间的关系图为刀数（次）段，块，体（个）直线圆正方体122223443

7、478451115.nn+1n( n 1) +2n3 5n +16得出结论： 在一般情况下，三维切割的个数 二维切割的个数 一维切割的个 数（刀数 3，且二维图形的平面应该与三维图形的一面相似） 所以图形的分 割与空间维度有关。在数学的海洋与现实中，有没有分割的身影呢？答案是肯定的，例如：如果是一个折线，那它切一刀，两刀，三刀最多能切成几条？一刀的话想都不用想，肯定是 3条，我想：这一条折线要把它当成两条线，一次，一条两段，就是四条了，因为这是折线，有两条是连在一起的，所以还要减一，也就是三条了。如果是这样我就可以把一二三刀的最多线条求出来：一刀：（1+1）*2-1=3（条）两刀：（2+1）*

8、2-1=5（条）三刀：（3+1）*2-1=7（条）n 刀：（n+1）*2-1=2n+1 （条）我们找到这样的规律，欣喜若狂，并把它绘制成了表格：刀数（次）条数（条）示意图1（1+1）*2-1=32（2+1）*2-1=53（3+1）*2-1=7n+1)*2-1=2n+1所以，它的规律是 2n+1（n 为刀数）看到这张图，最疯狂的一定那些拥有奇思妙想的艺术家以及有着硕大无比的 数学脑袋的几何数学家们了， 没错！，这就是黄金分割！ 黄金分割又称黄金律， 黄金比例是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大 部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为 1或 1，即长 段为全段的。被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人 的美感的比例，因此被称为黄金分割。数学不仅创造