1.1.2余弦定理(二)学案(人教B版必修5)(2)

1、东方工昨堂核2备课纽制作 1.1.2 余弦定理（二） 自主学习 知识梳理 1.在 ABC中，边a、b、c所对的角分别为 A、B、C,则有: A+B+ C = (2) sin(A+ B) =, cos(A+ B)=, tan(A + B)= A+BA+B (3) sin 厂=, cos 2 =- 2正弦定理及其变形 a _ b _ c _ sin A sin B sin C (2) a =, b =, c =- (3) sin A=, sin B=, sin C=. (4) sin A : sin B : sin C =. 3余弦定理及其推论 (1) a2 =. ;c2a2+ b2? C 为 I

2、o A X-CX 东方工咋窒核Z备课纽*-件 自主探究 在厶ABC中，已知两边及其中一边的对角，解三角形一般情况下，先利用正弦定理 求出另一边所对的角， 再求其他的边或角， 要注意进行讨论三角形解的个数.对于这一类问 题能否利用余弦定理来解三角形，请结合下面的例子加以探究. 例：在 ABC中，若/ B= 30 AB= 2 3, AC = 2,则满足条件的三角形有几个？ 对点讲练 知识点一 利用正、余弦定理证明三角恒等式 东方工柞愛核他备裸纽剧冷 在厶ABC中，求证: tan A a2 + J b2 tan B_ b2 + c2 a2 总结证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上

3、一般有：左？右; 右？左或左？中?右三种. 变式训练1 在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边. 求证： cos B c bcos A cos C b ccos A. 知识点二利用正、余弦定理判断三角形形状 东方工咋愛樓2备棵纽剧冷 2 判断 ABC的形状. 在厶 ABC 中，若 B = 60 2b = a+ c,试 总结 题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦 定理将边的关系转化为角的关系， 也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断. 变式训练 2 在厶ABC 中，已知(a+ b+ c)(b+ c a)= 3bc,且 sin A = 2si

4、n Bcos C,试确 血东方工咋 X-CX 定厶ABC的形状. 知识点三 利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题 3 在厶ABC中，a, b, c分别是角A，B，C 的对边， cos B=，且AB BC =- 21. 5 * x-cz 东 方工昨窒楼业备课爼制件 求厶ABC的面积; 若a = 7,求角C. 总结 这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找 到三角形的边角关系. 变式训练3 ABC中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知b2= ac且cos B = 3 4. 求tan A+ ta n c的值; - 3 （2）设BA BC= 2,求 a+ c

5、 的值. 1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个（至少有一边）才能求解，常见类型及其解法见下表: 已知条件 应用定理 一般解法1 一边和两角（如a, B, C） 正弦定理 由A+ B + C= 180 ；求角A;由正弦定理求出 b与c.在有解时 dr 工 咋盖核2 备课 纽制 昨 A % XZ 只有一解. 两边和夹角（如a, b, C） 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边 C；由正弦定理求出小边所对的角；再由 A + B+ C= 180。求出另一角.在有解时只有一解 三边(a, b, c) 余弦定理 由余弦定理求出角 A、B;再利用A+ B+ C = 180 求出角

6、C. 在有解时只有一解. 两边和其中一边的 对角如（a, b, A） 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角B;由A+ B+ C = 180 :求出角C;再利用 正弦定理或余弦定理求C.可有两解、一解或无解 2根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 （1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换 课时作业 一、选择题 1. 在 ABC中，若2cos Bsin A= sin 6则厶ABC的形状一定是（） A 等腰直角三角形B 直角三角形 C.等腰三角形D 等边三角形 2. 在 ABC 中，若 b2= a2 + c2 + ac,则 B 等于（） A . 60 B . 45

7、 或 135 C. 120 D . 30 3. A ABC的三边分别为a, b, c且满足b2= ac,2b = a+ c,则此三角形是（） A .等腰三角形B .直角三角形 C.等腰直角三角形D .等边三角形 4. 在 ABC中，若a2= be,则角A是（） A .锐角B .钝角C .直角D . 60 5. 如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是（） A .锐角三角形B .直角三角形 C.钝角三角形D .由增加的长度确定 二、填空题 6. 已知 ABC的面积为2逅,BC = 5, A= 60,则厶ABC的周长是 . 7. 在 ABC中，若lg a-lg c= Ig sin

8、A=- lg込，并且 A为锐角，则厶ABC为 三角形. &设2a + 1, a,2a 1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是 三、解答题 9.在 ABC中，求证: a2 b2 c2 sin A B sin C 东方工 作畫核2备课纽 制 作 1. 1.2 余弦定理(二) 知识梳理 n C 1. n 2 2 (2)sin C cos C tan C C . C (3)cos sin 2. (1)2R (2)2 Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (3)翕 2bR 2R (4)a ： b : c b2+ c2 a2 3. (1)b2+ c2 2bccos A (2)(3)直角钝角 锐角

9、 2bc 自主探究 解 设 BC = a,AC = b, AB = c,由余弦定理，得 b2= a2 + c2 2accos B, / 22= a2+ (2,3)2 2a x 2 3cos 30 , 即 a2 6a+ 8= 0，解得 a = 2 或 a = 4. 讨论a值：当a= 2时，三边为2,2,2 3可组成三角形； 当a = 4时，三边为4,2,2 . 3也可组成三角形. 满足条件的三角形有两个. 对点讲练 jo A f： X-CX 东方工昨裳核2备课U -作 1 a2 + c2-b2 证明方法 左边= sin A cos A sin B cos B sin Acos B sin Bco

10、s A a2+ c2- b2 b2 + c2-a2 2bC 不匚=右边，所以 tan A tan B a2+ c2-兰 b2+ c2- a2. 方法 右边= a2 + c2 b2 2ac 2ac a2+ c2 b2 2aca b2 + c2-a2b2 + c2- a2 2 2bc 2bc b cos B sin A cos A sin B sin A cos B cos A sin B tan A tan B =左边, 所以 tan A tan B a2+ c2- b2 b2+ c2- a2. 变式训练1证明方法一左边 a2 + c2-b2 2 2 2 2ac b a + c - b a2 +

11、 b2- c2 c a2+ b2- c2 2ab c- b 右边= b2+ c2-a2 2bc b2 + c2-a2 b -c 2bc b a2+ c2-b2 c a2 + b2 - c2 -等工式成立. 2Rsin C- 2Rsin B cos A 方法二右边= 2Rsin B- 2Rsin C cos A sin A + B sin Bcos A sin Acos B sin A+ C sin Ccos A sin Acos C 等工式成立. 东厉工昨璽核2备裸纽制件 东方工作裳核2备课纽 b2+ c2 a2 / cos A= 2bc 也=1 . A=n 2bc 2，3. 又 sin A=

12、 2sin Bcos C. . a= 2b a2+ b2 c a2+ b2 c 2ab .b2= c2, b= c, :, ABC 为等边二角形. (1) / AB BC = 21, BC = 21. BA BC = |BA | |BC| cos B= accos B = 21. ac= 35, T cos B= 3, /. sin B= 5. 1 14 SsBc=；acsin B=；x 35 x = 14. 2 25 (2)ac= 35, a= 7, . c= 5. 由余弦定理 b2= a2 + c2 2accos B = 32, b= 4 2.由正弦定理：一匕= 先. sin C sin

13、B 东方工咋畫核2备裸纽制作 c54.2 -sin C = bsin B= 4 / 5 = 2. t c0, 0 A0, c+ x所对的最大角变为锐角. 6. 12 11J 解析 SABC = ?ABACsi n A= ?AB AC s in 60 =2.3, / ABAC = 8, BC2= AB2+ AC2- 2AB ACcos A = AB2 + AC2- AB AC= (AB+ AC)2- 3AB AC. (AB+ AC)2= BC2+ 3AB AC = 49, AB+ AC = 7,周长为 12. 7. 直角 解析 Tig a lg c= lg sin A=- lg 2, a2 ：=

14、 sin A=, T A 为锐角，- A = 45 c2 f： x-cx 东方工昨窒核2备裸纽制作 c T sin C = jsin A= 2 x sin 45 = 1, C= 90 & (2,8) 1 解析/ 2a 10, a2,最大边为 2a + 1. t三角形为钝角三角形, a2+ (2a 1)2(2a + 1)2 0a2a+ 1, 2a2, 9.证明 sin Acos B cos Asi n B 右边= sin C sin A =sin C a a2+ c2 b2 b b2+ c2 a2 c 2ac c 2bc a2 + c2 b2 b2 + c2 a2 a2 b2 =2飞2 =c=左边. a2 b2 si nA B 所以丁 =飞矿. _ sin B cos b-云迹A 2 2解方法一根据余弦定理得b2= a2 + c2 2accos B. / B= 60 2b = a+ c, 2= a2 + c2 2accos 60 ,整理得(a c)2= 0, a= c.ABC 是正二角形. 方法二根据正弦定理, 2b = a+ c 可转化为 2s