MATLAB在机械优化设计中的应用

1、MATLAB在机械优化设计中的应用 刘刘玉玉美美 ，刘刘昆昆磊磊 （平平顶顶山山工工业业职职业业技技术术学学院院， 河河南南 平平顶顶山山 ） 摘摘 要要： MATLAB 是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件工具 , 它具有强大的数 值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、模拟仿真和最优化设计等功能。本文用机械设计 中的几个常见的问题为例，来介绍 MATLA 的几点应用 。 关键词：关键词：M MA AT TL LA AB B ； 数数表表公公式式化化； 机机械械优化设计优化设计 引引言言 MATLAB是MathWorks公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件，它一面世，就以 强大的数值

2、分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、 动态系统仿真和最优化设计等功能及交 互性强的特点，受到了广大工程技术人员的青睐 ,并风靡于欧美高等院校。 。 本文用机械设计中的几个常见的问题为例，来介绍MATLA的几点应用 。 1 1 数数表表线线图图公公式式化化 在机械设计手册中有大量的数表和线图 , 它们无法直接编程输入计算机。其实，这些数表 或线图主要有两个来源：一是来源于某些理论公式，此时只需找到原始公式就可以了；二是来 源于实验或统计的离散数据，这需要我们运用数学的方法将这些数表或线图公式化，而后再按 这些公式编程输入计算机 ，MATLAB就可以完成这一工作。 1 1 1 1 数数表表公公式式

3、化化曲曲线线拟拟合合法法 数表公式化就是运用数学的方法找出 数表中所列的离散 数据之间的函数关系，通常采用曲线拟合法。 试举一例：表1是滚动轴承选择计算时常用的温度系数f t表，试用MATLAB求出滚动轴承工作 温度-温度系数的拟合曲线及关系式。 在MATLAB 命令窗口输入: c=125 150 175 200 225 250 300 350; ft=0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.60 0.50; f=polyfit(c,ft,1) % 调用曲线拟合函数 t=120:1:360; u=polyval(f,t); plot(t,u,c,ft,o); % 调用绘

4、图函数 运行结果如下:f =- 0.0020 1.2000 即：ft = - 0.002t+1.2000 （2-1） 图中曲线是用MATLAB的绘图函数自动绘出的，离散点是表1中的数值。 1 1 2 2 线图线图公公式式化化 关于线图的公式化，通常的步骤是：首先从给定的线图上读取一些离 散数据，作出数表；然后再根据设计精度的要求，采用前面所述的“曲线拟合法”将线图公式化。 例如：如图2所示，是进行轴的疲劳强度设计时所使用的线图：轴上有通孔时，在受剪工作 状态下的 应力集中系数线图，试把它公式化。 首先，在所给的图2的线图上读取一些离散数据，做出数表，记录如表2所示 。然后， 在MATLAB 命

5、令窗口输入: dD=0:0.05:0.30; at=2.0 1.78 1.66 1.57 1.5 1.46 1.42; A=polyfit(dD,at,3) 运行结果如下: A =-22.2222 16.3810 -4.8397 1.9957 即得图2所示线图的拟合公式为： = -22.2222 + 16.3810- 3 )(Dd 2 )(Dd 4.8397+ 1.9957 （22）)(Dd 有了这些公式， 设计中就可以把它们编入程序，利用公式（21）可以求任意温度对应的温 度系数，而无需再去查表输值；利用公式（22）可以求任意（d/D）值所对应的应力集中系数 ，而无需再去查图输值。 例如：要

6、求d/D=022时的=？ 只需 在MATLAB 命令窗口输入: at= polyval(A,0.22) % at为前面所求的系数矩 阵 运行结果如下: at= 1.4872 2 2、 机机械械优优化化设设计计应应用用实实例例 机械优化设计把数学规划理论与数值方法应用于设计 表表 1: 滚动轴承温度系数滚动轴承温度系数f t 轴承工作温 度 温度系数 （ ）f t 125 0.95 150 0.90 175 0.85 200 0.80 225 0.75 250 0.70 300 0.60 350 0.50 表表 2 : 轴上横向孔处应力集中系数轴上横向孔处应力集中系数 孔径/轴径应力集中系数 d

7、/D 0.002.00 0.051.78 0.101.66 0.151.57 0.201.50 0.251.46 0.301.42 中，用计算机从大量可行方案中找出 最优化设计方案，从 而大大 提高设计质量和设计效率。 MATLAB 具有解决线性规划和非线性 规划、约束优化和无 约束优化问题的内部函数，因而可 以完成这 一功能。 现举一例：螺栓组联结的优化设计螺栓组联结的优化设计 如图 4 所示的压力容器螺栓组联接中，已知 D1= 400mm,D2 = 250mm，缸内工作压力为 p=1.5 MPa，螺栓材料为 35 号钢，s=320Mpa,安全系数 S=3,取残余预紧力 Qp=1.6F,采用

8、铜皮石棉密封 垫片。现从安全、可靠、经济的角度来选择螺栓的个数 n 和螺栓的直径 d 。 2 2 1 1 设设计计问问题题分分析析 若从经济性考虑，螺栓数量尽量少些、尺寸小些，但这会使降低联结的强度和密封性，不能 保证安全可靠的工作；若从安全、可靠度考虑，螺栓数量应多一些、尺寸大一些为好，显然经济 性差，甚至造成安装扳手空间过小，操作困难。为此，该问题的设计思想是：在追求螺栓组联结该问题的设计思想是：在追求螺栓组联结 经济成本最小化的同时，还要保证联结工作安全、可靠经济成本最小化的同时，还要保证联结工作安全、可靠。 2 2 2 2 设设计计变变量量 目目标标函函数数 约约束束条条件件 2 2

9、2 2 . .1 1 设设计计变变量量 选取螺栓的个数 n 和直径 d(mm)为设计变量: T 21 T xxdn X 2 2 2 2 . .2 2 目标函数目标函数 追求螺栓组联结经济成本 Cn最小为目标。而当螺栓的长度、材料和 加工条件一定时，螺栓的总成本与 nd 值成正比，所以本问题优化设计的 目标函数为 min F(X) = Cn = nd = x1x2 强度约束条件强度约束条件 为了保证安全可靠地工作，螺栓组联结必须满足强度条件 3 2 . 5 2 1 d Q ca ； 其中Mpa S s 106 . 3 320 ； n n p n D FFFFQQ p 60937 4 250 5

10、. 16 . 2 4 6 . 26 . 26 . 1 22 2 N； 对于粗牙普通螺纹：由文献3推荐，小径 d1=0.85d 所以，强度约束条件为： 0106 146192 106 146192 106 105624 )( 2 21 22 1 1 xxndnd Xg 密封密封约束条件约束条件 为了保证密封安全，螺栓间距应小于 10d，所以，密封约束条件为： 010 400 10)( 2 1 1 2 x x d n D Xg 安装扳手空间安装扳手空间约束条件约束条件 为了保证足够的扳手空间，螺栓间距应大于 5d，所以，安装安装约束 条件为：0 400 55)( 1 2 1 3 x x n D d

11、Xg 边界约束条件边界约束条件 0)( 14 xXg ；0)( 25 xXg 1 1 3 3 3 3 建建立立数数学学模模型型 综上所述，本问题的数学模型可表达为： 设计变量： T 21 xxX 目标函数：min F(X) = x1x2 约束条件： s.t. 0)(Xgi ( i = 1, 2, 3, 4, 5,) 现运用MATLAB的优化函数进行求解 : 先编写M文件 function c,ceq=mynas(x) c(1)=/(x(1)*x(2)2)-106; % 非线性不等式约束 c(2)=400*pi/x(1)-10*x(2); c(3)=-400*pi/x(1)+5*x(2); ce

12、q=; % 非线性等式约束 在MATLAB命令窗口输入: fun=x(1)*x(2); % 目标函数 x0=4,6; % 设计变量初始值 A=-1,0;0,-1; % 线性不等式约束矩阵 b=0;0; Aeq=; % 线性等式约束矩阵 beq=; lb=; % 边界约束矩阵 ub=; x,fval=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mynlsub) % 调用有约束优化函数 运行结果如下: x = 11.4499 10.9751 fval = 125.6637 所以，该问题优化结果为： n =11.4499 ,d = 10.9751，目标函数最小值： F(X)=

13、125.6637。根据实际问题的意义取整、标准化： n =12 ,d = 12。 由此例可以看出，与其它编程语言相比， MATLAB语言可以简化编程。 图5是调用MATLAB绘图函数自动对上例绘制的数学模型要素图（标注数字的曲线为目标函 数的等值线） ，为此 在MATLAB命令窗口输入: x1=0.1:20; y1=./(106.*x1.2); y2=400.*pi./(10.*x1); y3=400.*pi./(5.*x1); plot(y1,x1,y2,x1,y3,x1,x(1),x(2),o) y4=0.1:0.1:20; y4,x1=meshgrid(y4,x1); Q=y4.*x1; hold