理论力学-动力学：d-ch6 刚体动力学(二)D

1、作业：作业：6-136-13、6-146-14、6-156-15 什么是陀螺？什么是陀螺？ 为什么要研究陀螺为什么要研究陀螺 近似理论？近似理论？ 用什么方法研究？用什么方法研究？ 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 2021-5-41 什么是陀螺？什么是陀螺？ 陀陀 螺螺(gyroscope)： 绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体。绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体。 结构特性：结构特性：陀螺转子为旋转体陀螺转子为旋转体 运动特性：运动特性：绕旋转体的旋转轴高速转动绕旋转体的旋转轴高速转动（角速度大小为常量）（角速度大小为常量） 2021-5-42 陀螺的动力学特性陀螺的动力学特性 陀

2、螺的进动性陀螺的进动性 陀螺的定向性陀螺的定向性 如何解释如何解释“骑车撒把骑车撒把”的稳定性的稳定性 2021-5-43 为什么要研究近似理论为什么要研究近似理论 问题问题: : 1 1、如何定性分析陀螺的动力学特性？、如何定性分析陀螺的动力学特性？ 2 2、如何应用陀螺近似理论研究实际工程问题？、如何应用陀螺近似理论研究实际工程问题？ 3 3、如何应用陀螺近似理论分析解释一些力学现象？、如何应用陀螺近似理论分析解释一些力学现象？ 目的：目的：要建立陀螺的要建立陀螺的运动运动与其作用与其作用力力间的间的简洁关系式简洁关系式 2021-5-44 用什么方法研究用什么方法研究 定点运动定点运动刚

3、体刚体的欧拉动力学方程的欧拉动力学方程 kjiL zzyyxxO JJJ )( d d e)( FM L O O t )( )( )( zyxxyzz yzxzxyy xzyyzxx MJJJ MJJJ MJJJ x y z x o z y 其中：其中：Ox、Oy、Oz为刚体对为刚体对 O点的惯量主轴（随体坐标轴）点的惯量主轴（随体坐标轴） 方程的特点：方程的特点：具有普遍性，适用范围广。具有普遍性，适用范围广。 形式复杂，不易做定性分析和简便计算。形式复杂，不易做定性分析和简便计算。 2021-5-45 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 a ),( JJJJ yxz kjiL zzy

4、yxxO JJJ )( kjiL zzyyxxO JJJ a )( 0 kl zl 利用陀螺的运动特性和结构特性利用陀螺的运动特性和结构特性 )() ( kji zzyx JJ )( 0 kl zzl JJ t J t J zzlO d d )( d d 0 kl L Z l l x y O 0 d ? d d ? d d ? d t t t i k l 目的：目的：略去二阶小量略去二阶小量 a )( kji zyx z l l y x 2021-5-46 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 t O O d dL M zO JM 陀螺近似理论公式：陀螺近似理论公式： d d k k t

5、, d d l l tt J t J zzlO d d )( d d kl L )( zzO JJ l L zzzO JJJ l L if :zz z J O L 其中：其中： MO是作用于陀螺转子上的所有外力对是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和，点之矩的矢量和， O点既可以是点既可以是惯性参考系惯性参考系中的中的固定点固定点，也可以是，也可以是刚体的质心刚体的质心。 Z l if : z J OO L M zO JM 陀螺规则进动精确公式：陀螺规则进动精确公式： /,0 z l 2021-5-47 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 陀螺的动力学特性：陀螺的动力学特性： 陀

6、螺（力矩）效应陀螺（力矩）效应 陀螺的进动性陀螺的进动性 陀螺的定向性陀螺的定向性 陀螺力矩陀螺力矩(gyroscopic torque)： z J g M 0 g MMO作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡 zO JM0 zO JM0 zO JM Z 2021-5-48 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 例：例：已知已知 的大小为常量，均质圆盘质量为的大小为常量，均质圆盘质量为m，半径为，半径为R CD2L，求陀螺力矩和支座，求陀螺力矩和支座C、D的的附加动反力附加动反力。 12 , 2021-5-49 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论

7、 z J g M g M C F D F 21 2 2 1 mRM g L M FF g CD 2 当转子高速转动时，若转轴也转当转子高速转动时，若转轴也转 动，则陀螺力矩会产生附加动反力动，则陀螺力矩会产生附加动反力。 21 2 4 1 mR L 陀螺力矩陀螺力矩 陀螺力矩产生的作用效应称为陀螺力矩产生的作用效应称为 陀螺效应。陀螺效应。 轴承轴承C、D作用在作用在CD轴上的附加动反力轴上的附加动反力 0 g MMO 2021-5-410 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 观察的现象：观察的现象： 下半圆盘向里斜下半圆盘向里斜, 上半圆盘向外斜。上半圆盘向外斜。 z J g M陀螺力

8、矩陀螺力矩 动点动点: 圆盘边缘上的一点圆盘边缘上的一点M 动系动系: 固连在电机定子的固连在电机定子的 oxyz y x z o r v C a C FM 可以证明：可以证明：陀螺力矩就是各质点科氏陀螺力矩就是各质点科氏 惯性力对惯性力对O点之矩的矢量和。点之矩的矢量和。 2021-5-411 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 z J g M g M 当计算机硬盘转动时，搬动计算机会损坏硬盘。当计算机硬盘转动时，搬动计算机会损坏硬盘。 2 2 1 mRM g 计算机硬盘的陀螺效应计算机硬盘的陀螺效应 陀螺效应的实例陀螺效应的实例 L M FF g CD 2 2 4 1 mR L 20

9、21-5-412 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 问题：问题：分析汽车转向时，车轮的陀螺效应分析汽车转向时，车轮的陀螺效应. z J g M g M v 车身惯性力的影响车身惯性力的影响 2021-5-413 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 问题：问题：分析飞机盘旋飞行时，发动机转子的陀螺效应。分析飞机盘旋飞行时，发动机转子的陀螺效应。 z J g M 转子的陀螺效应：转子的陀螺效应： 使飞机抬头或低头。使飞机抬头或低头。 v 2021-5-414 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 2021-5-415 zO 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 问题：问题：分

10、析舰艇在波浪分析舰艇在波浪 中行进时，转动系统的中行进时，转动系统的 陀螺效应。陀螺效应。 z J g M 陀螺效应陀螺效应: 产生疲劳破坏产生疲劳破坏 2021-5-416 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 陀螺的进动性陀螺的进动性 zO JM gm 问题：问题：如何确定陀螺转如何确定陀螺转 子的自转角速度方向？子的自转角速度方向？O M 2021-5-417 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 陀螺的定向性陀螺的定向性 证明：证明：当外力对刚体的质心之矩为零时，刚体绕最大或最小当外力对刚体的质心之矩为零时，刚体绕最大或最小 惯量转轴（惯量转轴（k 轴）的转动是稳定的（轴）的转

11、动是稳定的（k的的方向是稳定的）。方向是稳定的）。 2021-5-418 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 )( )( )( zyxxyzz yzxzxyy xzyyzxx MJJJ MJJJ MJJJ 设：设：z 轴是刚体的最大或最小惯量主轴。轴是刚体的最大或最小惯量主轴。 ) 3 (0)( ) 2(0)( ) 1 (0)( yxxyzz zxzxyy zyyzxx JJJ JJJ JJJ yyz xxz JJ JJ )()2( )()1 ( 0)( )( yyyzy xxxzx JJJ JJJ 0BA 设：设： 根据根据z轴的性质有：轴的性质有： 根据欧拉动力学方程根据欧拉动力学方

12、程 由于外力对质心之矩为零，则由于外力对质心之矩为零，则 )( )( yzy xzx JJJB JJJA 0 yyxx BA ?)(),( 0 0 tt zz kk 然后两式相加得：然后两式相加得： 2021-5-419 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 0 yyxx BA 0dd yyxx BA 0)(d 2 1 2 2 yx BA 22 (4) xy ABC A、B、C 同号同号 22 00 ( )( )(5) xy CAtBt |( ) |*,|( ) |*(6) xy tt |( )|* |( )|* x y CAB tM AA CAB tM BB 00 ( ),( ) xy

13、tt 若：若： 2 ()CAB max, ABAB M AB 由（由（4）式可得：）式可得： 不失一般性，设：不失一般性，设： A0、B0、C0 由（由（5）式可得：）式可得： 2021-5-420 0)( d d )e( FM LC C t 00 (8) zz Jk 0000 ,(),(),1 xyz tttt ( )*,( )* xy tt 由（由（6）式可知：）式可知： kjiLC zzyyxx JJJ刚体对质心刚体对质心 C 的动量矩为：的动量矩为： ( ) (9) zz Jtk 0000000 ( )( )( )( ) xxyyzz tJtJtJt C Lijk 1 0 ( )( )

14、(7) C ttLL )(),( 0 0 tt zz kk )()()()( kjiLCtJtJtJt zzyyxx 由（由（7 7）、（）、（8 8）、（）、（9 9）式可知：）式可知： 2021-5-421 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 飞行器惯性导航飞行器惯性导航 2021-5-422 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 高速旋转物体的其它动力学特性高速旋转物体的其它动力学特性 2021-5-423 6-3 6-3 陀螺近似理论陀螺近似理论 Z Z O 思考题：思考题：质点质点A、B质量均为质量均为m，固连在不计质量的，固连在不计质量的AB杆上，杆上， AB杆绕杆绕O点作定点运动。设：点作定点运动。设：AO=BO=R，能否用陀螺近似理，能否用陀螺近似理 论公式计算图示瞬时两个质点的陀螺力矩。论公式计算图示瞬时两个质点的陀螺力矩。 A B Z Z O B A z J g M 2021-5-42