2020版高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）课件 新人教A版选修2-2

1、-1- 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 目标导航 1.能利用导数的四则运算法则求导数. 2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导. 知识梳理 1.导数的运算法则 设两个函数分别为f(x)和g(x),则 名师点拨1.两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个 函数和与差的情形: f1(x)f2(x)fn(x)=f1(x)f2(x)fn(x). 2.注意两个函数的积与商的求导公式中,符号的异同,积的导数中 是“+”号,而商的导数中分子上是“-”号. 知识梳理 【做一做1-1】 函数y=x3cos x的导数是() A.3x2cos x+x3sin x B.3x2cos

2、 x-x3sin x C.3x2cos x D.-x3sin x 解析:y=(x3cos x)=3x2cos x+x3(-sin x)=3x2cos x-x3sin x,故选B. 答案:B 【做一做1-2】 若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2,则f(-1)等于( ) A.-1B.-2C.2D.0 解析:f(x)=4ax3+2bx为奇函数, f(-1)=-f(1)=-2. 答案:B 知识梳理 2.复合函数 【做一做2】 求下列函数的导数: (1)y=ln(-x); (2)y=e3x. 解:(1)函数y=ln(-x)可以看作函数y=ln u和u=-x的复合函数,根据 复合函数的求导

3、法则有yx=yuux=(ln u)(-x) (2)函数y=e3x可以看作函数y=eu和u=3x的复合函数,根据复合函 数的求导法则有yx=yuux=(eu)(3x)=eu3=3e3x. 重难聚焦 1.如何认识积和商的导数运算法则? (2)若c为常数,则cf(x)=cf(x). (3)类比f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 重难聚焦 2.如何利用复合函数的求导法则求复合函数的导数? 剖析求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系,即说明函数关系 y=f(u),u=g(x); (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特

4、 别注意中间变量对自变量求导,即先求yu,再求ux; (3)计算yuux,并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数. 整个过程可简记为分解求导回代.熟练以后,可以省略中间 过程. 典例透析 题型一题型二题型三题型四 导数公式及法则的应用 【例1】 求下列函数的导数: (6)y=xtan x. 分析:所给函数解析式较复杂时,不能直接套用导数公式和法则, 可先对函数解析式进行适当的变形与化简,然后再求导. 典例透析 题型一题型二题型三题型四 (2)y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, y=(x+1)(x+2)(x+3) =(x3+6x2+

5、11x+6) =3x2+12x+11. 典例透析 题型一题型二题型三题型四 典例透析 题型一题型二题型三题型四 反思应用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则解决函数 的求导问题时注意以下几点: 典例透析 题型一题型二题型三题型四 【变式训练1】 求下列函数的导数: 典例透析 题型一题型二题型三题型四 y=(cos x-sin x)=-sin x-cos x. 典例透析 题型一题型二题型三题型四 复合函数求导 【例2】 求下列函数的导数: 分析:解答本题可先分析复合函数的复合层次,再利用复合函数 的求导法则求解. 典例透析 题型一题型二题型三题型四 典例透析 题型一题型二题型三题型四 反思求复

6、合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本函数的结构; (2)关键是正确分析函数的复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成原自变量的函数. 典例透析 题型一题型二题型三题型四 【变式训练2】 求下列函数的导数: (1)y=ln(2x-7); (2)y=x2sin 2x. 解:(1)设y=ln u,u=2x-7, (2)令y1=sin 2x. 设y1=sin u,u=2x, 则y1=(sin u)u=2cos u=2cos 2x. 故y=(x2)sin 2x+x2(sin 2x) =2xs

7、in 2x+2x2cos 2x. 典例透析 题型一题型二题型三题型四 求曲线的切线方程 【例3】 求过点(1,-1)且与曲线y=x3-2x相切的直线方程. 分析:解答本题可先设出切点坐标,对函数求导,写出切线方程,再 利用切点在曲线上,切线过点(1,-1)代入求解. 解:设P(x0,y0)为切点, 典例透析 题型一题型二题型三题型四 即x-y-2=0或5x+4y-1=0. 典例透析 题型一题型二题型三题型四 反思1. 2.求过点P与曲线相切的直线方程的步骤: 3.经过曲线上某点的切线不一定只有一条,即该点有可能是切点, 也可能是切线与曲线的交点,解题时注意不要漏解. 典例透析 题型一题型二题型

8、三题型四 【变式训练3】 (1)求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程; (2)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10 x+3上,且在第 二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,求点P的坐标. 解:(1)因为y=ex+xex+2, 所以曲线在点(0,1)处的切线斜率为k=e0+0+2=3, 所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1. (2)设点P的坐标为(x0,y0), 因为点P在第二象限内,所以x0=-2. 因为点P在曲线C上,所以y0=(-2)3-10(-2)+3=15, 故点P的坐标为(-2,15). 典例透析 题型一题型二题型三题型四 易错辨析 易错点:对复合函数认识不清而致错 【例4】 已知y=(1+cos 2x),则y=. 错解-cos 2x 错因分析对复合函数求导计算不熟