中考数学图形类压轴题解法探究

1、中考数学图形类压轴题解法探究图形计算与证明、动态图形问题、图形与最值是图形类综合题的常见类型，一方面，考查学生综合运用平行线、全等三角形、相似三角形、四边形、圆、直角三角形边角关系及平移、旋转、对称等知识解决问题的能力；另一方面，考查图形性质与方程、函数等有关内容综合应用的能力这类问题往往图形都较为复杂，干扰条件太多，不利于解决问题，可以考虑根据各问的需要，从复杂图形中选取与解决问题有关的图形，将复杂图形简单化，把问题分步逐一解决例1（2012云南）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的图象过点，并与直线相交于、两点. 求抛物线的解析式（关系式）； 过点作交轴于点，求点的坐

2、标； 除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.评析：本题在编排上具有起点低、坡度缓、难点分散但综合程度高的特点。全题共分三小题，各小题间承接性明显，为学生顺利解题隐含地提供着导向作用，较好地实现了对初中数学基础知识、基本技能和以数学思维为核心的能力考查。特别是第（3）小题，综合程度高，难度进一步加大，并且是一个动态、静态相结合问题，要求学生具备分类讨论的思想，这无疑对数学思维提出了比较高的要求，同时这一点更是本题的最高难点。全题所呈现的数学思想与方法有：方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想，所涉及的数学知识较多，能有效地考查学生的思维

3、品质和实践能力，具有一定的区分度。难度较大。解：如图，因为一次函数交轴于点，所以，即.交轴于点，所以，即. 由、是抛物线的图象上的点， 所以，抛物线的解析式是： 如图，、 在中， 点的坐标：设除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形.在中，若，那么是以为直径的圆与坐标轴的交点，.若交点在上（如图），设，则有， ，此时 .若交点在上（如图），设，此时过作垂直于点，则有，于是： ， ，此时， 或 .在中，若，如图，设，同样过作垂直于点，则在中，有 ，此时，综上所述，除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形，满足条件的点的坐标是：、或、或、或.例2（2007云南）（本小题（1）（3）问共13

4、分；第（4）问为附加题，共5分 附加题得分可计入总分，若计入总分后超过120分的，则按120分计）已知：如图，抛物线经过、三点（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C的直线与抛物线相交于点E （4，m），请求出CBE的面积S的值；xyCBAE11O（3）在抛物线上求一点使得ABP0为等腰三角形并写出点的坐标；（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由解：（1）抛物线经过点、， 又抛物线经过点， ，抛物线的解析式为3分（2）E点在抛物线上，m = 4246+5

5、 = -3直线y = kx+b过点C（0， 5）、E（4， 3）， 解得k = -2，b = 5 7分设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，当y=0时，-2x+5=0，解得x=D点的坐标为（，0） 8分S=SBDC + SBDE=109分（3）抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，点为所求满足条件的点13分（4）除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得ABP为等腰三角形1分理由如下：，2分分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点、，除去、两个点外，其余6个点为满足条件的点5分 （说明：只说出P点个数但未简要说明理由的不给分）例3（2010，曲靖）如图，在平面直角坐标系中，抛物线向

6、左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线，所得抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）求h、k的值；（2）判断ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使AOM与ABC相似.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由评析：本题入口不难，采用“低起点，宽入口，坡度缓，步步高，窄出口”的分层考查的特点，考查学生综合运用知识解决问题的能力以教材九年级下册第9页抛物线的平移为背景，综合考查了二次函数解析式的确定、方程、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质、平面坐标系中点的读取能力、操作与探究能力在解答本题时，待定系数法、方程思想、数形结合

7、思想等是解决本题比较重要的思想方法，综合应用它们，才会使得本题柳暗花明解：（1）h=1，k=4（2）如图一，易求得A（3,0）,C（0，3），D（1,4）。由勾股定理可得AD2=20，AC2=18，CD2=2，AC2+CD2=AD2ACD是直角三角形（3）存在分两种情况：当AMO=ACB时，如图二AMOACB可得,当AMO=ABC时，如图三AMOABC可得，。例4（2008，云南）如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC，半圆周心的坐标为（0,2），四边形OABC是矩形，点A的坐标为（6,0）（1）若过点且与半圆D相切于点F的切线分别与y轴和BC边并于点H与点E，求切线PF所在直线的解析式；（2）

8、若过点A和点B的切线分别与半圆相切于点P1和P2（点P1、P2与点O、C不重合），请求P1、P2点的坐标并说明理由（注：第（2）问可利用备用图作答）评析：本题以矩形背景，主要讨论以下两个问题：第（1）问求直线的解析式，与矩形无关，可利用切线的性质、三角形全等以及三角函数知识求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，难度适中，但涉及的知识点较多；第（2）问从操作和探究两个方面来进行设置，图形比较复杂，具有一定的难度，可借助相似三角形的判定和性质求出点的坐标，再根据圆的对称性求出点的坐标矩形在此处提供了大量的解决问题的条件，也为此道压轴题增添了不少亮点解：（1）H（0,6）（2）过点A作AP

9、1切半圆D于点P1，设P1点的坐标为（x1，y1）过P1作MN/x轴分别与边OC、AB交于点M、N，连接OP1AP1是半圆D的切线，MP1D+AP1N=90MN/x轴， DMP1=ANP1=90， AP1N+ P1AN=90. MP1D= NAP1 ，从而DMP1P1NA ，即 解方程组，得所求满足条件的点的坐标为据圆的对称性知点是点关于直线对称的点，从而可得点的坐标为另解一：设OE=a，EDP1EAO，求出a后求P1有两种方法（相似或两直线交点）另解二：可用三角函数代替相似另解三:OP1=2，AP1=6，用勾股定理或两点间距离公式列出二元二次方程组来解决问题例5（2009，昆明）如图，在平面

10、直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OABC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(3，4)，点C在y轴的正半轴上动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)(1)求线段AB的长；当t为何值时，MNOC？(2)设CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由评析：本题是中考常考的热点

11、题型，以运动变化为背景设计问题，主要考查读图、识图能力、相似三角形、方程、用割补法求不规则形的面积的方法、二次函数的性质等本题探索性强，形式比较新颖，有一定的层次变化，综合程度较高解：（1）过点B作BDOA于点D，则四边形CODB是矩形 BD=CO=4,OD=CB=3,DA=3 在RtABD中, 当MN/OC时，MN/BD, AMNADB, AN=OM=t, AM=6-t,AD=3 ，即（2）过点N作NEx轴于点E, 交 CB的延长线于点F NE/BD，AENADB， 即， SS梯形OABCSCOMSMNASCBN, 即（） 由，得，当时t=4时，S有最小值，且（3）设MN与CA相交于点P，若

12、MNAC，则MPA为Rt，且PMA+ PAM=90 在RtCOA中,OCA+ OAC=90， PMA= OCA MENCOA90 MENCOA，则 AEN ADB， ，即 ， 由得，即 存在满足题意的t 值，使MNAC，此时秒例6（2012，阜新）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点C。（1）求这个二次函数的关系表达式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生请注意：下面的（3）、（4）（5）题为三选一的选做题，即只能选做期中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记哟！（3）在平面直角坐

13、标系中，是否存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E。是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与AOC相似。若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由。备用图解：（1）由抛物线过点，则 解这个方程组，得 二次函数的关系表达式为 （2）设点P坐标为，则 连接，作轴于M，轴于N ， 当时，所以 0， 函数有最大值 当时，有最

14、大值 此时 存在点，使的面积最大 （3）点 （4）点 （5）点 例7（2012六盘水）如图1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0t4）解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC（2）设AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）如图2，把AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ那么是否存在某时刻t

15、，使四边形AQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由评析：本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题解：AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，C为直角（1）BP=2t，则AP=102tPQBC，即，解得t=，当t=s时，PQBC（2）如答图1所示，过P点作PDAC于点DPDBC，即，解得PD=6tS=AQPD=2t

16、（6t）=t2+6t=（t）2+，当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分，则有SAQP=SABC，而SABC=ACBC=24，此时SAQP=12由（2）可知，SAQP=t2+6t，t2+6t=12，化简得：t25t+10=0，=（5）24110=150，此方程无解，不存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t如答图2所示，过P点作PDAC于点D，则有PDBC，即，解得：PD=6t，AD=8t，QD=ADAQ=8t2t=8t在RtPQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8t）2+（6t）2=（2t）2，化简得：13t290t+125=0，解得：t1=5，t2=，t=5s时，AQ=10cmAC，不符合题意，舍去，t=由（2）可知，SAQP=t2+6tS菱形AQPQ=2SAQP=2（t2+6t）=2（）2+6=cm2所以存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，此时菱形的面积为cm2例8（2001，昆明）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB。（1）求点B的坐标；（2