2011-2012学年上海市黄浦区高三(上)期末暨高考一模数学试卷(文科

1、2011-2012学年上海市黄浦区高三（上）期末暨高考一模数学试卷（文科） 2011-2012学年上海市黄浦区高三（上）期末暨高考一模数学试卷（文科）一填空题：（本大题满分56分）1（4分）已知全集U=R，集合A=x|x2x20，xR，B=（0，+），则（CUA）B=_2（4分）函数f（x）=的定义域是_3（4分）（x）11的二项展开式中含x的项是_（x的系数用数值表示）4（4分）不等式|x1|+x1+的解集是_5（4分）关于z的方程=1+2i（i是虚数单位）的解是z=_6（4分）函数y=3|x2|的单调增区间是_7（4分）等差数列an（nN*）满足a3=5，a7=1，且前n项和为Sn，则=_

2、8（4分）若0，sin=，sin（+）=，则cos=_9（4分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的图象如图所示，则f（）=_10（4分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果是_11（4分）已知长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB=3，AD=2，AA1=2，如图所示，则异面直线AB1与DA1所成的角是_（结果用反三角函数值表示）12（4分）已知点A（1，1），B（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段AB相交（包含端点的情况），则实数M的取值范围是_13（4分）一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个（共16个），经过充分混合后，现从中任

3、意摸出3个球，则至少得到1个白球的概率是_（用数值作答）14（4分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x0时，有f（x）=关于x的方程f（x）=m（mR）有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则sin（+）=_二选择题：（本大题满分16分）15（4分）若x，yR，且xy0，则下列不等式中能恒成立的是（）ABx+yCD16（4分）圆x2+y2+ax+by=0与直线ax+by=0（a2+b20）的位置关系是（）A直线与圆相交但不过圆心B相切C直线与圆相交且过圆心D相离17（4分）已知函数f（x）=lg（）（a为常数）是奇函数，则f（x）的反函数是（）ABCD18（4分）现给出如下命题

4、：（1）若直线l上有两个点到平面的距离相等，则直线l平面；（2）“平面上有四个不共线的点到平面的距离相等”的充要条件是“平面平面”；（3）若一个球的表面积是108，则它的体积；（4）若从总体中随机抽取的样本为2，3，1，1，1，4，3，3，0，1，则该总体均值的点估计值是0.9则其中正确命题的序号是（）A（1）、（2）、（3）B（1）、（2）、（4）C（3）、（4）D（2）、（3）三解答题：（本大题满分78分）19（14分）已知四棱锥SABCD的底面ABCD是直角梯形，ABCD，BCAB，侧面SAB为正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2如图所示（1）证明：SD平面SAB；（2）求三棱锥BS

5、AD的体积VBSAD20（12分）要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素14C的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C含量的衰变经过5570年（14C的半衰期），它的残余量只有原始量的一半若14C的原始含量为a，则经过x年后的残余量a与a之间满足a=aekx（1）求实数k的值；（2）测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中14C的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）21（16分）已知两点A（1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点Q（

6、x，）满足（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；（2）过点B作斜率为的直线i交曲线C于M、N两点，且满足（O为坐标原点），试判断点H是否在曲线C上，并说明理由22（18分）已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx1（xR）（1）试说明函数f（x）的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到的；（2）若函数g（x）=|f（x+）|+|f（x+）|（xR），试判断函数g（x）的奇偶性，写出函数g（x）的最小正周期并说明理由；（3）求函数g（x）的单调区间和值域23（18分）已知ab，且a2a6=0，b2b6=0，数列an、bn满足a1=1，a2=6a，an+1=6an9an1（n2，

7、nN*），bn=an+1ban（nN*）（1）求证数列bn是等比数列；（2）已知数列cn满足cn=（nN*），试建立数列cn的递推公式（要求不含an或bn）；（3）若数列an的前n项和为Sn，求Sn2011-2012学年上海市黄浦区高三（上）期末暨高考一模数学试卷（文科）参考答案与试题解析一填空题：（本大题满分56分）1（4分）已知全集U=R，集合A=x|x2x20，xR，B=（0，+），则（CUA）B=（0，2考点：一元二次不等式的解法；交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：将集合A中的不等式左边的多项式分解因式，然后根据两数相乘积为正，得到两因式同号，转化为两个一元一次不等式组，求出不等

8、式组的解集得到x的范围，确定出集合A，再由全集为R，求出A的补集，找出A补集与集合B的公共部分，即可确定出所求的集合解答：解：将集合A中的不等式x2x20，因式分解得：（x2）（x+1）0，可化为：或，解得：x2或x1，集合A=（，1）（2，+），又全集U=R，CUA=1，2，又B=（0，+），则（CUA）B=（0，2故答案为：（0，2点评：此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及交集的运算，利用了转化的数学思想，是高考中常考的题型2（4分）函数f（x）=的定义域是1，）（，1考点：函数的定义域及其求法专题：计算题分析：分式的分母不为零，且二次根式的被开方数大于或等于零，由此建立关于

9、x的不等式组，解之即得函数f（x）的定义域解答：解：根据题意，得，即，解之得1x1且x故答案为：1，）（，1点评：本题给出含有根号和分母的函数，求函数的定义域，着重考查了函数的定义域和不等式的解法等知识，属于基础题3（4分）（x）11的二项展开式中含x的项是462x（x的系数用数值表示）考点：二项式定理专题：计算题分析：在（x）11的二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出 r的值，即可求得（x）11的二项展开式中含x的项解答：解：（x）11的二项展开式的通项公式为 Tr+1=x11r（1）rxr=（1）r x112r，令112r=1，解得 r=5，（x）11的二项展开式中含x的项是x

10、=462x，故答案为462x点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题4（4分）不等式|x1|+x1+的解集是（，1）（1，1）考点：绝对值不等式的解法专题：计算题分析：不等式|x1|+x1+x10且x+10，从而可得答案解答：解：|x1|+x1+x10且x+10，x1且x1原不等式的解集为：x|x1且x1故答案为：（，1）（1，1）点评：本题考查绝对值不等式的解法，理解题意得到“等价关系”是关键，属于中档题5（4分）关于z的方程=1+2i（i是虚数单位）的解是z=i考点：三阶矩阵；复数相等的充要条件专题：计算题分析：利用矩阵的意义，将方程化简

11、，再利用复数的除法运算，即可得到结论解答：解：由题意，iz+z（i1）=1+2iz（2i1）=1+2iz=i故答案为：i点评：本题考查三阶矩阵的意义，考查复数的除法运算，属于中档题6（4分）函数y=3|x2|的单调增区间是（，2考点：复合函数的单调性专题：计算题分析：将函数分解为两个基本初等函数，研究它们的单调性，即可得到结论解答：解：令t=|x2|，则y=3t，函数y=3t在R上是单调增函数t=|x2|的单调增区间是（，2函数y=3|x2|的单调增区间是（，2故答案为：（，2点评：本题考查复合函数的单调性，利用基本初等函数的单调性是解题的关键7（4分）等差数列an（nN*）满足a3=5，a7

12、=1，且前n项和为Sn，则=考点：数列的极限；等差数列的性质专题：综合题分析：确定数列的首项与公差，求出数列的通项与前n项和，进而可求极限解答：解：由题意，=1，a3=a1+2d=5，a1=7an=7（n1）=8n，=故答案为：点评：本题考查数列的极限，解题的关键是确定数列的通项与前n项和，属于中档题8（4分）若0，sin=，sin（+）=，则cos=考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：由与的范围，得到+的范围，根据sin的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，由sin（+）的值求出cos（+）的值，然后将所求式子中的角变为（+），利用两角和与差的余

13、弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值解答：解：0，+，由sin=，得到cos=，由sin（+）=，得到cos（+）=，则cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=故答案为：点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围9（4分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的图象如图所示，则f（）=1考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：计算题分析：根据函数的最值得到A=2，再由函数的周期为，结合周期公式得到的值，再根据函数的最大值对应的x值，代入并解之得=，从

14、而得到函数的表达式，最后代入即得要求的函数值解答：解：函数f（x）的最大值为2，最小值为2，A=2又函数的周期T=（）=，=根据函数取最大值2时，相应的x=+T=函数图象经过点P（，2），即：2sin（+）=2，解之得+=+2k，取k=0，得=函数的表达式为：f（x）=2sin（x+），可得f（）=2sin（）+=2sin（）=1，故答案为：1点评：本题给出函数y=Asin（x+）的部分图象，要我们确定其解析式并根据解析式求特殊的函数值，着重考查了函数y=Asin（x+）的图象与性质的知识，属于中档题10（4分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果是5考点：数列的求和；循环结构

15、专题：计算题分析：不妨设程序开始之前的S为S0，则S0=0，程序开始之前的k为k0，则k0=0每运行以后可求得相应的Si，ki，当Si21000时输出的i+1即为所求解答：解：不妨设程序开始之前的S为S0，则S0=0，程序开始之前的k为k0，则k0=0运行第一次后，S1=S0+=121000，继续运行，把1赋给k，即k1=1；运行第二次后，S2=S1+=1+2121000，继续运行，把1+1赋给k，即k2=2；运行第四次后，S4=S3+=1+21+23+21121000，继续运行，同理可得有k4=4；运行第五次后，S5=S4+=1+21+23+211+22059，继续运行，同理有k5=5；验证

16、，S5=S4+=1+21+23+211+2205921000，程序终止故答案为：5点评：本题考擦好数列求和，考查循环结构，理解循环结构是关键，也是难点，考查识图、推理与运算能力，属于中档题11（4分）已知长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB=3，AD=2，AA1=2，如图所示，则异面直线AB1与DA1所成的角是arccos（结果用反三角函数值表示）考点：反三角函数的运用；异面直线及其所成的角专题：计算题分析：由题意可得，DA1CB1，将异面直线AB1与DA1所成的角转化为AB1与CB1所成的角，在ACB1中，利用余弦定理即可求得答案解答：解：ABCDA1B1C1D1的长方体，DA1CB1，A

17、B1与DA1所成的角就是AB1与CB1所成的角AB1C，在ACB1中，AB1=，CB1=2，AC=，由余弦定理得，cosAB1C=0AB1CAB1C=arccos故答案为：arccos点评：本题考查异面直线及其所成的角，考查反三角函数的运用，将异面直线AB1与DA1所成的角转化为AB1与CB1所成的角是关键，属于中档题12（4分）已知点A（1，1），B（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段AB相交（包含端点的情况），则实数M的取值范围是（，2，+）考点：恒过定点的直线；两条直线的交点坐标专题：计算题分析：确定直线过定点，求出直线PA的斜率，直线PB的斜率，根据直线l：x+my+m=0与线

18、段AB相交（包含端点的情况），即可求实数a的取值范围解答：解：直线l：x+my+m=0可化为x+m（y+1）=0，所以直线恒过定点P（0，1）点A（1，1），B（2，2），kPA=2，kPB=，直线l：x+my+m=0与线段AB相交（包含端点的情况），2或m或m2实数m的取值范围是（，2，+）故答案为：（，2，+）点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13（4分）一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个（共16个），经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到1个白球的概率是（用数值作答）考点：古典概型及其概率计算公式专题：计算题分

19、析：至少得到1个白球的对立事件是取到的三个球都是黑球，从16个球中摸出3个球，有种取法，取到的三个球都是黑球的取法有种取法，由此能求出至少得到1个白球的概率解答：解：至少得到1个白球的对立事件是取到的三个球都是黑球，从16个球中摸出3个球，有种取法，取到的三个球都是黑球的取法有种取法，至少得到1个白球的概率P=1=1=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率的计算公式，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合公式的合理运用14（4分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x0时，有f（x）=关于x的方程f（x）=m（mR）有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则sin（+）=

20、考点：两角和与差的正弦函数；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断专题：计算题；综合题分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有四个公共点，所以m=1再解方程f（x）=1，得最大根=，再代入再化简，即可得到sin（+）的值解答：解：当x0时，函数在区间（0，）和（，+）上是增函数，在区间（，）上是减函数f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（）=0作出函数当x0时的图象如右图函数y=f（x）是R上的偶函数，当x0时y=f（x）的图象与当x0时的图象关于y轴对称，故函数xR时的图象如图所示将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有四个不同的公共点

21、，相应地方程f（x）=m（mR）有且仅有四个不同的实数根令f（x）=1，得x1，2=，x3，4=，所以=，sin（+）=sin（+）=sin=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题二选择题：（本大题满分16分）15（4分）若x，yR，且xy0，则下列不等式中能恒成立的是（）ABx+yCD考点：基本不等式专题：计算题分析：根据题意，分析选项，对于A，举出反例x=y=1可得其错误；对于B，举出反例x=y=1，可得其错误，对于C，出反例x=y=1，可得其错误，对于D，由xy0，可得与均为正值，由基

22、本不等式可得+2=2，可得D正确；即可得答案解答：解：根据题意，分析选项，对于A，当x=y=1时，x2+y2=2，则A错误；对于B，当x=y=1时，左边x+y=2，而右边2=2，此时x+y2，则B错误，对于C，当x=y=1时，=2，而右边=2，此时x+y2，则C错误，对于D，根据题意，因为xy0，则与均为正值，则+2=2，即+2成立，D正确；故选D点评：本题考查基本不等式的性质，注意基本不等式成立的条件：一正二定三相等，对于选择题的选项，也可以用特殊值法构造反例16（4分）圆x2+y2+ax+by=0与直线ax+by=0（a2+b20）的位置关系是（）A直线与圆相交但不过圆心B相切C直线与圆相

23、交且过圆心D相离考点：直线与圆的位置关系专题：计算题分析：将圆的方程化为标准方程，表示出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由d=r可得出直线与圆位置关系是相切解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y+）2=，圆心坐标为（，），半径r=，圆心到直线ax+by=0的距离d=r，则圆与直线的位置关系是相切故选B点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键17（4分）已知函数f（x）=lg（）（a为常数）是奇函数，则f（x）的反函数是（）ABC

24、D考点：反函数；函数奇偶性的性质专题：计算题分析：利用函数是奇函数求出a，再通过函数与反函数的对应关系，直接求出f（x）的反函数即可解答：解：因为函数f（x）=lg（）（a为常数）是奇函数，所以f（0）=0，所以f（0）=lg（）=0，a=1，f（x）=lg（）=lg，从中解出x，x=，再互换x，y得：，则f（x）的反函数是，故选A点评：本题考查函数与反函数的对应关系，函数的奇偶性的应用，考查计算能力18（4分）现给出如下命题：（1）若直线l上有两个点到平面的距离相等，则直线l平面；（2）“平面上有四个不共线的点到平面的距离相等”的充要条件是“平面平面”；（3）若一个球的表面积是108，则它的

25、体积；（4）若从总体中随机抽取的样本为2，3，1，1，1，4，3，3，0，1，则该总体均值的点估计值是0.9则其中正确命题的序号是（）A（1）、（2）、（3）B（1）、（2）、（4）C（3）、（4）D（2）、（3）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；众数、中位数、平均数专题：计算题分析：通过举反例可得（1）错误；利用必要条件的判断方法结合题设条件知（2）不成立；通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积解决（3）；利用平均值的计算公式求出样本的均值来估计总计的均值解决（4）即可解答：解：（1）错误如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交（2）内存在不共线四点到的距离相等平面平面或相交，故

26、（2）不正确（3）一个球的表面积是108，所以球的半径为3，那么这个球的体积为：=故（3）正确（4）样本为2，3，1，1，1，4，3，3，0，1，则样本的均值为：（2+31+1+1+4+3+3+01）=0.9从而估计该总体均值的点估计值是0.9故（4）对故选C点评：本题考查了线线，线面，面面平行关系的判定与性质、充要条件、命题的真假判断与应用等，是个中档题三解答题：（本大题满分78分）19（14分）已知四棱锥SABCD的底面ABCD是直角梯形，ABCD，BCAB，侧面SAB为正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2如图所示（1）证明：SD平面SAB；（2）求三棱锥BSAD的体积VBSAD考点：

27、直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：综合题分析：（1）证明线面垂直，利用线面垂直的判定定理，证明SDSA，SDSB即可；（2）利用等体积VBSAD=VDSAB，即可得到结论解答：（1）证明：直角梯形ABCD，ABCD，BCAB，侧面SAB为正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2，BD=2，AD=2 在DSA和DSB中，有SA2+SD2=42+22=AD2，SB2+SD2=42+22=BD2SDSA，SDSBSASB=SSD平面SAB；（2）解：SD平面SAB，SAB是正三角形，=4结合几何体，可知VBSAD=VDSAB于是，VBSAD=VDSAB=点评：本题考查线面垂直，考查体

28、积的计算，解题的关键是利用线面垂直的判定定理，正确运用体积公式20（12分）要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素14C的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C含量的衰变经过5570年（14C的半衰期），它的残余量只有原始量的一半若14C的原始含量为a，则经过x年后的残余量a与a之间满足a=aekx（1）求实数k的值；（2）测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中14C的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）考点：函数模型的选择与应用专题：应用题分析：（1）根据a=aekx，原有的14C含量的衰变经过55

29、70年（14C的半衰期），它的残余量只有原始量的一半，建立等式，可求实数k的值；（2）古墓中女尸14C的残余量约占原始含量的76.7%，建立方程，可推算马王堆古墓的年代解答：解：（1）由题意可知，当x=5570时，a=aekx，=e5570k，k=（2）古墓中女尸14C的残余量约占原始含量的76.7%，即0.767=，解得x2132由此可推测古墓约是2100多年前的遗址点评：本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于基础题21（16分）已知两点A（1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点Q（x，）满足（1）求动点P所在

30、曲线C的轨迹方程；（2）过点B作斜率为的直线i交曲线C于M、N两点，且满足（O为坐标原点），试判断点H是否在曲线C上，并说明理由考点：圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题专题：综合题分析：（1）确定向量AQ，BQ的坐标，利用，即可求动点P所在曲线C的轨迹方程；（2）求出直线方程与椭圆联立，利用，求得点H的坐标代入曲线C的方程，验证可得结论解答：解（1）依据题意，有，x21+2y2=1动点P所在曲线C的轨迹方程是+y2=1（2）因直线l过点B，且斜率为k=，故有l：y=（x1）联立直线与椭圆，消元可得2x22x1=0设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），

31、可得得 x1+x2=1，x1x2=，于是 x1+x2=1，y1+y2=又，于是=（x1x2，y1y2），可得点H（1，）将点H（1，）的坐标代入曲线C的方程的左边，有=1（=右边），即点H的坐标满足曲线C的方程所以点H在曲线C上点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题22（18分）已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx1（xR）（1）试说明函数f（x）的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到的；（2）若函数g（x）=|f（x+）|+|f（x+）|（xR），试判断函数g（x）的奇偶性，写出函数g（x）的最小正周期并说明理由；（3

32、）求函数g（x）的单调区间和值域考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（x+）的图象变换；复合三角函数的单调性专题：计算题；综合题分析：（1）根据三角函数的二倍角公式进行降次，再用辅助角公式合并，得f（x）=2sin（2x）再用函数y=Asin（x+）的图象变换的公式，可得到函数由曲线y=sinx的图象经变换的过程（2）根据（1）得到的表示式代入化简，得g（x）=2|sin2x|因此不难由正弦函数的奇偶性，证出g（x）是偶函数，再结合正弦曲线的形状，可得g（x）的最小正周期（3）注意到函数g（x）的最小正周期是，只需研究g（x）在区间0，上的单调性和最值，再

33、结合函数的周期性，即可得到函数g（x）的单调区间和值域解答：解（1）f（x）=2sin2x+2sinxcosx1=sin2xcos2x=2（sin2xcoscos2xsin），f（x）=2sin（2x）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象按如下方式变换得到：将函数的y=sinx图象向右平移个单位，得到函数y=sin（x）的图象；将函数y=sin（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x）的图象； 将函数y=sin（2x）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数f（x）=2sin（2x）的图象（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x），xRg（x）=|f（x+）|+|f（x+）|=|2sin2x|+|2sin（2x+）|=2|sin2x|又对任意xR，有g（x）=2|sin（2x）|=2|sin2x|=g（x），函数g（x）是偶函数函数y=2sin2x的最小正周期是，结合函数图象可知，函数g（x）=2|sin2x|的最小正周期是T=（3）先求函数g（x）在一个周期0，内的单调区间和函