高中数学竞赛试题(20201121105534)

1、全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一、选择题1、下列三数3 ,log 16 82,log 27 124的大小关系正确的是.（）323log16 82log 27 124 .log27 124log16 82 .A、B、2323log16 82.D、 log27 124log16 82C、 log27 124222、已知两点A （1,2）， B（ 3,1）到直线 L距离分别是2，52，则满足条件的直线L 共有（）A、1条B、2 条C、 3条D、 4条3、设 f (n) 为正整数 n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f 1231222 3214 。记 f1(n)f (n)， fk1 (n)

2、f ( f k ( n) ，k1,2,3. ，则 f2006 (2006)（）A 、20B、 4C、 42D、 1454、设在 xOy 平面上，0 yx2 ， 0x1所围成图形的面积为1 ，则集合3M(x, y) | y | | x |1 , N(x, y) | y |x21的交集 MN 所表示的图形面积为（）12C、14A 、B、D、3335、在正2006 边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（）。A 、 2006B 、 10032C、 100321003D、 1003210026、函数f ( x)sin xcosxtan xcot xsin xcos xtan xcot x 在xosi

3、n xtan xcosxtan xcosxcot xsin xcot x( , ) 时的最小值2为（）。A 、 2B、 4C、 6D 、8二、填空题7、手表的表面在一平面上。整点1,2,12 这 12个数字等间隔地分布在半径为2 的圆周上。从2整点 i 到整点i1 的向量记作 ti ti1 ，则 t1t2t2t3t2t3t3 t4t12t1t1t 2 。8、设 aiR(i1,2,n), ,R,且0 ，则对任意 xR,n111。1 aixai ()x1 aixai ()x1 aixai ()xi 19、在 1,2,2006 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。10、设 a,b 是非零实

4、数，x R ，若 sin 4 xcos4 xa21b2，则 sin2008 xcos2008 x。a2b2a2006b200611、已知 Ax, yx2y22xcos21 sin1y0,R ，Bx, yykx3,kR 。若AB 为单元素集，则。12、 max min1 , 12 , 13 ,ab2c3。a,b ,c Rabc三、解答题13、 在 x轴同侧的两个圆：动圆C1和 圆4a2x24 a2y24 a b x2 a y2外 切b0a, bN,a0，且动圆 C1 与 x 轴相切，求（ 1）动圆 C1 的圆心轨迹方程L ；（ 2）若直线 4 7 1 abx4ay b2a26958a 0 与曲线

5、 L 有且仅有一个公共点，求值。14 、已知数列an 满足 a11,an 1 an2nn1,2,3， bn满足 b11 ， bn 1n 1,2,31n11 。，证明：2k 1ak 1bkkak 1bkk15、六个面分别写上1，2， 3， 4，5， 6 的正方体叫做骰子。问1）共有多少种不同的骰子；2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差所有的骰子中，求V 的最大值和最小值。a, b 之bn2bnnV 。在全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准一 .选择题二 .1. C2.C3.D4. B5.C6. B填空题7. 6398. n9.3401010.11

6、1.312.3b2 )1003(a2详细解答如下：一 .选择题下列三数 3, log16 82, log 27 124的大小关系正确的是（C）1.2（A） 33log1682log27124（ ）124log16 822Blog 27323（ C） log 27 124log16 82（ D） log 27 1242log16 822解： 因为 log16 82log 16 81log 24 34log 2 3 ，log27 124log 27 125log 3 53log 3 5 。333 。令 xlog 2 3 ，则 2 x3。又因为 228 32x ，所以 x233 。再令 y log

7、35 ，则 3y5，而322753 y ，所以 y2综上所述，有3log1682。 因此 选 （C）。log 27 12422. 已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2, 52 ，则满足条件的直线 L共有（ C ）条。（A）1（B）2（C）3（D）4解:由AB5, 分别以 A ，B 为圆心， 2 ， 5 为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。3. 设 f (n) 为正整数 n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f (123) 12223214 。 记 f1 (n)f (n) ， fk 1 (n)f ( f k (n) ， k1,2,3,

8、 ，则f 2006 (2006) （D）(A) 20(B)4(C)42(D) 145.解： 将 f (2006) 40 记做 200640，于是有200640163758891454220416从 16 开始， f n 是周期为 8 的周期数列。故f 2006 (2006)f 2004 (16)f 42508 (16)f 4 (16)145.正确答案为 D。4.设在 xOy 平面上， 0yx2 ， 0x1所围成图形的面积为1 ，则集合3M( x, y)yx 1,N( x, y)yx21 的交集 MN 所表示的图形面积为（B ）。12(C)14(A)(B)(B).333解： MN 在 xOy 平

9、面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称，由此 M N 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4 即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得， MN 的图形在第一象限的面积为A 111。因此 M N的图形面积为 2 。236所以选（ B）。35. 在正 2006 边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C）。(A) 2006(B)1003 2(C)100321003(D)100321002 .解： 正 2n 边形 A1 A2A2n ，对角线共有12n(2n3)n(2n3) 条。2计算与一边 A1 A2 平行的对角线条数， 因 A1 A2/ An1 An 2 ，与 A1 A2

10、平行的对角线的端点只能取自 2n-4 个点，平行线共任何边都不平行的对角线共有6. 函数 f (x)sin xcosxsin xtanx小值为（B ）。n-2 条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C。tan xcot xsin xcosxtan xcot x 在 x(0, ) 时的最cosxtan xcosxcot xsin xcot x2(A) 2(B) 4(C)6(D)8f ( x) (sin xcos x)11tan x cos x cot x解：sin x11(tan xcot x)tan x sin x

11、 cot xcos x（由调和平均值不等式）4(sin x cosx)cosxcot xsin x tan x(tan x cot x)4tan xcosx cot xsin x4要使上式等号成立，当且仅当sin xtan xcos xcot x(1)tan xcos xcot xsin x(2)（ 1）（ 2）得到 sin xcosxcos xsin x ，即得 sin xcosx 。因为 x(0,) ，2所以当 x时， f ( x)f ( )4 。所以 min f (x)4.因此应选（ B）。二 .填空题4427. 手表的表面在一平面上。 整点 1，2， ，12 这 12 个数字等间隔地分

12、布在半径为2的圆周上。从整点 i 到整点（i 1）的向量记作 t i ti 1 ，则 t1t2 t2 t3t2 t3 t 3t 4t12 t1 t1t 263 9。解：连接相邻刻度的线段构成半径为2的圆内接正12 边形。相邻两个边向量的夹角2即为正 12边形外角，为30 度。各边向量的长为22 sin223 。 则21242t1t 2t2 t323cos2 233 。共有 12 个相等项。所以求得数量积之和24642为639。8. 设 aiR (i1,2,n),R, 且0， 则对任意 xR ，n111i 1 1 aixai () x1 aixai() x1 aixai() x解：111xai

13、() x1 aixai() x1 aixai() x1 ain。aixai() x11，ai xai() x1 ai() x1 ai x1 aixai() xn111.所以，1 aixai () x1 aixai() x1 aixai() xni 19 在1,2,2006 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是3。4010解： 三个数成递增等差数列，设为a, ad , a 2d，按题意必须满足a 2d 2006,d 1002。 对于给定的 d，a 可以取 1，2， ， 2006-2d。1002故三数成递增等差数列的个数为(20062d )1003 * 1002.d1三数成递增等差数列的概

14、率为100310023。C 20063401010. 设 a,b 是非零实数， xR ，若 sin 4 xcos4xa21，则 sin 2008 xcos2008 xa2b2b2a2006b20061。(a22)1003b441解： 已知s i n xc o sx，（1）a2b2a2b2将（ 1）改写成144b24a24s i n xc o s xa2s i n xb2c o sx 。而12xcos2x24x4x2sin2x2 x。(sin)sincoscos所以有b 2422a 240。a 2s i n x2s i n x c o sxb 2c o s xba2sin 4xcos4x即sin

15、220也即将该值记为。则由（ ）知，xcosx,，Caba 4b 41a2 Cb 2Ca212。于是有， C(a212)2 .bb而sin 2008 xcos2008xa2C502b2C502(a2b2)111003 。a2006200622)1004( a22)b( abb11. 已知 A(x, y) x2y 22x cos2(1sin)(1y)0,R ,B( x, y) ykx3, kR 。若 AB 为单元素集，则 k3 。解由x 2y 22 x cos2(1sin)(1 y)0( xcos) 2( y1sin) 20xcos, y1sinx2( y1)21A B 为单元素集，即直线 yk

16、x3 与 x2( y1)21相切，则 k3 .12.max min1, 12,13, ab2c3=3。a,b ,cRabc解：设11123111tmina , b2, c3, abc，则 0 ta ， 0tb2 , 0tc 3，即有a1 ， b21 ， c31 。 所 以 有 t a b2c 33. 于是可得t3，且当ttttab2c33 时， t3 .因此maxmin1, 12, 13 , ab2c33 .3a ,b ,c Ra bc解答题13. 在x 轴 同 侧 的 两 个 圆 ： 动 圆 C1和 圆 4a2 x24a 2 y 24abx2ayb20 外 切（ a, bN , a 0 ），

17、且动圆 C1 与 x 轴相切，求（ 1）动圆 C1 的圆心轨迹方程 L;（ 2）若直线 4( 71) abx4ayb 2a 26958a 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点，求a, b之值。解：（ 1）由 4a 2 x 24a 2 y24abx2ayb 20 可得 (xb ) 2( y1 ) 2(1)2,2a4a4a由 a, b N，以及两圆在 x 轴同侧，可知动圆圆心在 x 轴上方，设动圆圆心坐标为 ( x, y) , 则有(xb ) 2( y1 ) 2y1 ,2a4a4a整理得到动圆圆心轨迹方程y ax 2bxb 2(xb ) 。 （ 5 分）4a2a(b1,)y12a 4a4ab(,0)

18、2a(xb)21yy ax 2bxb 2(xb )52aa4a2a2yax 2bxb2(xb )4a2a4( 71)abx 4ayb2a 26958a0y42x24 7abx(a26958) 0aa167a 2b216a 2 ( a26958a)0,7b 2a26958a7 a27 aa7a1b 27a126958a17 b27 b .b7b17b12a12994a1107 a1 ,7 b1a49n,b49m,7m 2n2142n(n71) 27m2712 ,m, n7m2712( n 71) 2 84 mm 4r112r 2712r 245r 0,1 2 3 4 5 615r0,4712112r 2a6958,a6272a68620b0(不合，舍去 )b7 8 4b7 8 414. 已 知 数 列 an满 足a11,an 1an2n(n1,2,3)， bn 满 足 b11,bn 1bn2( n 1,2,3 ) ，证明：1bn2nn11 。k 1ak 1bkkak 1bkk证明：记 I nn1，则 I1I 2I n 。1ak 1bkkak 1bkk2k 1n1n1n1（5 分）而 I n。1)(bk k)ak 11 k 1 bkkk 1(ak