高中数学竞赛典型题目

1、数学竞赛典型题目（一）1.( 美国数学竞赛 ) 设 a1 ,a2 , an 是整数列 , 并且他们的最大公因子是 1. 令 S是一个整数集 , 具有性质 :（1） aiS(i1,2, n)（2） aia jS(i , j1,2, n) , 其中 i, j 可以相同（3）对于 x, yS ，若 x yS ，则 x y S证明： S 为全体整数的集合。2 ( 美国数学竞赛 ) a,b,c 是正实数，证明：(a 5a23)(b5b 23)(c5c 23) (a b c)33 ( 加拿大数学竞赛 )T 为 2004100 的所有正约数的集合，求集合T的子集 S中的最大可能的元素个数。其中S 中没有两个

2、元素，一个是另一个的倍数。4 ( 英国数学竞赛 ) 证明：存在一个整数 n 满足下列条件：（1） n 的二进制表达式中恰好有2004 个 1 和 2004 个 0；（2）2004 能整除 n .5 ( 英国数学竞赛 ) 在 0 和 1 之间，用十进制表示为 0.a1a2的实数 x 满足：在表达式中至多有 2004 个不同的区块形式， ak ak 1 ak 2003 (1k 2004) ，证明： x 是有理数。6 ( 亚太地区数学竞赛 ) 求所有由正整数组成的有限非空数集S，满足：如果m, nS ，则 mnS(m, n)7( 亚太地区数学竞赛 ) 平面上有 2004 个点，并且无三点共线， S

3、为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S中有奇数条直线分离这两点。8 ( 亚太地区数学竞赛 ) 证明： ( n1)! ( n N * ) 是 偶数。n 2n9 ( 亚太地区数学竞赛 ) x, y, z 是正实数，证明：(x 22)( y22)( z22) 9( xy yz zx)10（越南数学竞赛）函数f 满足 f (cot x)cos2x sin 2x(0 x) ，令g (x)f ( x) f (1 x)( 1 x1) ，求 g( x) 在区间 1,1 的上最值。11（越南数学竞赛）定义 p(x) 4x32x215x9, q(x) 12x 36x 27x

4、1，证明：（1）每个多项式都有三个不同的实根；（2）令 A 为 p(x) 的最大实根， B 为 q( x) 的最大实根，证明： A23B 2412（越南数学竞赛） 令 F 为所有满足 f : RR 且 f (3x) f f ( 2x)x 对任意 xR 成 立的函数 f 的 集合 。 求 最大实数 A 使 得 f ( x)Ax 对所有fF , xR 都成立。13（美国数学竞赛）证明：对于每个n ，我们可以找到一个n 位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被5n 整除。14（美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形， 证明：所有小多边形的边

5、长都是有理数。15（巴尔干数学竞赛） 一个矩形 ABCD的边 ABm, ADn, 其中 m,n 是互质的奇数。矩形被分成了mn 个单位正方形，对角线AC 交单位正方形于点A1 A, A2, A3, ,ANC ，证明： A1A2 A2 A3 A3 A4( 1)N AN 1ANACmn16（美国数学竞赛） S 为含有 2002 个元素的集合，并且 P 是所有子集的集合，证明：对于任意 n(0nP ) ，我们可以将的 n 个元素染成白色，其余染成黑色，使得的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。17（美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：f (x 2y 2 ) xf ( x) yf

6、( y) 对于任意实数 x, y 成立。18（美国数学竞赛）非负实数x, y, z 满足 x 2y2z2xyz 4 ，证明：xyzxyyzzxxyz219（巴尔干数学竞赛）数列 an : a120, a230, an 13anan 1 ，求所有n 使 5an an 11是完全平方数。20（巴尔干数学竞赛）为正整数的集合，求所有f : NN 使 得f ( f ( n)f (n)2n2001或 2n200221（协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。22（ 200巴尔干数学竞赛） 一个凸五边形的边长是有理数， 并且个角相

7、等，证明：它是正五边形。23（巴尔干数学竞赛）正实数a,b, c满 足a b c abc ， 证 明 ：a 2b2c 23abc24（加拿大数学竞赛）A0 , A1 , A2 位于半径为的圆上，并且A1 A2 不是直径，点列 An 定义如下： An 是 An 1 An 2 An 3 的外心，证明： A1 , A5 , A9 , A13共线，并求所有的 A1 , A2 使得 A1 A1001 是一个整数的次幂。A1001 A200125（越南数学竞赛） n 为正整数，证明：方程1111x 122 x 1n 2 x 1 2有唯一的解 xn 1，且 n时， xn426 （ 越 南 ） 对 于 实 数

8、 a, b 定 义 如 下 数 列 ： x, x, x,. 由x0a ，012xn 1 xnb sin xn 确定（1）若 b1.证明：对于任何 a，数列有极限 ;（2）若 b2. 证明：对于某些 a，数列没有极限 .27（越南）定义一个正实数序列： x0 , x1 , x2 , . x0b ， xn1ccxn .求所有实数 c，使得对所有 b(0, c) ，数列存在极限 .28（波兰数学竞赛） k 是正整数，数列 an : a1 k1, an 1 an2kank ，证明：数列中的任两项互质。29（数学竞赛）数列 xn : x1 a, x2b, xn 2xn 1xn ，一个数 c 如果在数列中

9、出现的次数超过次，就称它是“重复的”，证明：我们可以选择a, b 使数列中有超过个重复值，但没有无穷多个重复值。30（波兰数学竞赛） a, b 都是整数，使得 2 n a b 对所有非负整数 n 都是完全平方数，证明： a 031（波兰数学竞赛）数列 an 定义如下：a1 和 a2 为素数，an 为 an1an2 2000的最大素因子。证明：数列 an 有界 .32（波兰数学竞赛） p( x) 是一个多项式，次数为奇次，满足 p(x 21)p2 ( x) 1对所有 x 成立。证明： p(x) x33（国际数学竞赛）将集合S1,2,3,1978分成六个不同的集合Ai (i 1,2,3,4,5,6

10、) ，即 S A1 A2A6 且Ai A j，求证：在某个 Ai 中存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的倍。34（国际数学竞赛）设 n 是一个固定的正偶数 . 考虑一块 n n 的正方板，它被分成 n 2 个单位正方格 . 板上两个不同的正方格，如果有一条公共边，就称它们为相邻的 . 将板上 N 个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻 . 确定 N 的最小值 .35一个 9 9 方格能否被 15 个 2 2 方格和 6 个型方格（由 3 个小方格组成）和 3 个单位方格覆盖？36已知边长为 n 的正方形及其

11、内部的(n1)2 个点，其中无 3 点共线，证明：必存在 3 个点，以其为顶点的三角形的面积不大于1 。237已知 x 是循环节为 p 的纯循环小数， y 是无限小数，其小数点后的第n 位与数 x 小数点后的第n n 位的数字相同，问：y 是否是有理数？38求所有的正整数a, b 使得 a b 2b1, b a2a 139 xn : x0 1, x13, xn 1 6xnxn1 ，证明：除第一项外， xn 中无完全平方数。40 f ( x) ax 2bxc 是实系数多项式，且对于任何整数x0 , f (x0 ) 是完全平方数，证明： f (x)(ex d) 2 ，其中 e, d 是整数。41能

12、否找到含有1990 个正整数的集合，使（1）S 中任意两个数互质；（2）S 中任意 k(k2) 个数的和是合数。42（越南数学竞赛）是否存在(01) ，使得有一个无穷的正数列 an 满足： 1an 1anan , (n1,2,).n43 一个 整数 有限序列 a0 , a1 , an 称为一个二次序 列， 如果 对于 每个i 1,2, , n, aiai 1i 2 ；（ 1）证明：对于任何两个整数b,c ，都存在一个正整数 n 和一个二次序列使a0 b, an c ；（2）求满足下列条件的最小正整数n ，使 a00, an199644 x, y, z 是正实数，求证：(xy yz zx)( (

13、x1119y)2( y z) 2(zx)2 )445用 16 个 13 矩形和一个 11正方形拼成一个 77 正方形，求证： 11正方形要么在大正方形中心，要么在大正方形边界上。46环形公路上有 n 个加油站，每个加油站有汽油若干桶， n 个站的总存油量够一辆汽车行驶一周，证明：必存在一站，从该站起，汽车逆时针行驶（每到一站装上所有汽油）可回到原站。47正实数 a, b, c 满足 abc1 ，求证：1113 a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b)21 a(c b) 2b(c a) 2c(b a) 2 4 cbcaba48 xiR (i1,2, n) ，证明：x1x1xnn1 x

14、121 x12x221 x12xn212n49数列 an : a1, an1an，证明：ak 12an2an 1k 150求方程 x! y!x y 的正整数解51 求 所 有 三 次 多 项 式 p(x) 使 得 对 任 意 的 非 负 实 数 x, y有p(xy)p(x)p( y)52 S x22y 2 | x, yZ ，对于整数 a ，若 3aS ，证明： aS53 xn : x01, xn 13xnxn5 ，已知 x15, x226, x3136, x4712 ，求x200754数列 an 由 a01, anan 1a1a00(n1) 确定，证明：2nn1an 0( n 0)55非负实数

15、 x, y, z 满足 x 2y 2z21 ，证明：11xy1z2yz1 zxxy56圆周上有 7 个点，将他们两两连线， 求这些直线在圆内部交点个数的最小值。57是否存在一个能被103 整除的正整数 n ，满足 2n 12(mod n)58 正 实 数 x, y, z 满 足 xy yz zx x yz ， 证 明 ：111x2 y 1 y2 z 1 z21x 159（塞尔维亚数学竞赛）求能被整除且数字和是的最小的正整数。60对 20072007方格染色，使得任意2 2 方格中最多有2 个方格被染色，问：最多可以将多少个方格染色？61空间中有 9 个点，其中任意 4 点不共面。在这 9 个点

16、间连接若干条线段，但图中不存在四面体，问：图中三角形最多多少个？62（2009 加拿大数学竞赛）由一个纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成个相等的扇形，且每个圆的个扇形涂成白色的，另个扇形涂成黑色的。将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合。求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有个扇形位于大圆的同色扇形上。63（印度尼西亚数学竞赛）n 是大于的奇数，证明：8n4 | C 42nn64（英国数学竞赛）求定义在实数集上的函数使f (x 3 ) f ( y3 ) (x y)( f ( x2 ) f ( xy)f ( y 2 )65（英国数学竞赛）将不大于的正整数写成二进

17、制，其中以开头的数字串所表示的整数的不同个数记为b(n) ，求证： n2500 时， b(n)39 ，并确定取等条件。66一个圆桌周围有 n 个位置，第一个人任意坐下，第二个人从第一个人逆时针开始数 2 个位置坐下， 即第二个人坐在第一个人旁边， 第 k 1 人从第 k 个人逆时针开始数 k 1个位置坐下。如果按照这种坐法， n 个人恰好坐满 n 个位置，求 n 得所有可能值。67（2009 加拿大数学竞赛）已知为完全平方数，求所有的有序整数对。68求所有的质数 p, q 使 pq | (5 p5q )69求所有的质数 p, q 使 pq | (5 p2 p )(5q2q )70数列 an :

18、 a1 k, a2 5k 2, an 2 3an 1 2an ，其中 k 是常数。（1）求所有 k 使数列收敛；（2）若 k1 ，求证： an 27an218an an11anan 171数列 yn : y1 y2 1, yn 2 (4k5) yn 1yn 4 2k ，求所有的正整数 k ，使得数列中的每一项都是完全平方数。72求证：数列 ann 2 中有无穷多个完全平方数。73 an( n1) 2n 2（1）证明：存在无穷多个 m 使得 am 1am1 ；（2）证明：存在无穷多个 m 使得 am 1am1 。74（全国高中数学联赛）设f ( x)x2a,记f 1 ( x)f ( x), f

19、n ( x)f ( f n1 (x), n2,3， M a R |f n ( 0)2, nN * 证明： M-2, 1 41 (n75实数列 an ( n0,1,2) 满足 an 1 an20,1,2 ) ，证明： an5an25576为边长为的正四面体内一点， 证明：到各个顶点的距离和至多为3。77 xy1，证明：xy1yx1x yy 11 xx yx 1y 178 xiR(i1,2, n) 是否一定有x1 x2x2 x3xn 1 xnxn x1x1x2xnx3x4x1x279证明：a 5 nan1( a, nN* )是合数。80 f1f 21, f nf n 1fn 2 (n2) ，若正整

20、数 a, b 满足minf n,fn 1 amaxf n,f n1 ，证明： bf n 1f n 1f nbf n 1f n81把一个实数用与它相岭的两个整数之一代替称为“整化”，证明：对于给定的 n 个实数，存在一种整化方式， 使得这些数中任意若干个数的和与这些数整化后对应的和之差不大于n1 。482（数学竞赛）求证： 存在无穷多个正整数 n ，使得 n19n99可以用两种不同的方式表示为两个平方数的和。83（保加利亚） 数列 an ：a1ann，(n1,2,) 证明： n 4 时，1 ，an 1nanan2 n.84在正三角形三个顶点上各放置一个整数使得：三个数的和是整数， 若某个顶点上的

21、数 x 0，三个顶点上的数 x, y, z相应变换为x, yx, z x ，只要有负数，操作就一直进行下去。问：操作能否在有限步之后停止？85（德国数学竞赛）数列 an ： a11 ，a2 1, a32, an 31 (an 1 an 27) ，证明： an是正整数an86（克罗地亚数学竞赛）求使数列：cos, cos2 , cos22,cos 2n每一项均为负数的所有实数.87（瑞典数学竞赛）求所有实数x 满足方程 x22x 2 xx 288（俄罗斯数学竞赛）求所有的正整数 n 使得不等式 sin nAsin nB sin nC 0对于任何锐角三角形的三个内角A, B, C 都成立。89 （

22、 台 湾 数 学 竞 赛 ） 正 实 数 a,b,c满 足 abc29，证明：11131 a1 b1 c1 3abc90（克罗地亚数学竞赛）对于大于的整数n ，证明： n(n1)n 14n2491 数列 an( n0,1,2) 满足 am nam n1 (a2m a2n )(m, n0,1,2) ，若2a11 ，求a200392数列 an 定义如下：a12 ， an 12an21. 证明：对所有n 有 ( n, an )1.93求整数c ，使2007c2007. 且存在xN ，使x 2c 是 22007 整数倍 .94（德国竞赛）证明：存在无穷多个正整数a, b 使（1）|b25，（ ）25，

23、（ ）a2 b | a3 (a, b) 1.95已知射线 y(4 15 ) x( x 0). 现将该射线绕 O 点逆时针转动角，形成一个区域 D ，试证：无论多么小，区域 D 中总存在无穷多个格点 ( m,n) 满足：（1） 1 6mn 与 110mn均为完全平方数；（2） n | m21， m | n 21 .96（保加利亚数学竞赛）求实数a ，使得等式 4 anna an 对于任意的正整数 n 成立。97( 芬兰数学竞赛）设n 是大于 2 的整数， an 是最大的 n 位数，满足其既不是两个数的平方和也不是两个数的平方差。（1）求 an ；(2) 求 n 的最小值，使 an 的各位数字的平

24、方和是一个完全平方数。98设a,b,c是一个三角形的三边长，且abc1 ，若n2 ，证明：n a nbnn bnc nn c na n1n2299（芬兰数学竞赛） xn : x113, xn 1xn2xn，令111，求 SSx21x2002x1 11100设正数 a,b,c, x, y, z 满足 cy bza, azcxb, bxayc ，求求 函 数f (x, y, z)x2y2z2的最小值 .1 x1 y1z101.正实数 a(i1,2,3, n) 满足: a1 a2 a3an1 证明:i,1111n 1 a1n 1 a2n 1 an102. a, b, c 是正实数 , 证明 :a3c

25、4b8c的最小值 .2b cab2cab 3ca103.S 是至少有4 个元素的实数集 , 对任意 x, yS(xy), 有 xyS,求证:xy对于所有这样的集合 S, 存在 xS 使 2001x 2002104. 在 ABC 中 , 求 fsin Asin B5sin C的最大值105. 已知正整数 a,b, x, y 满足 ax by 是 a 2b 2 的倍数 , 若 px 2y 2 是质数 ,证明 : p a 2b 2106. 正实数 a, b, c 满足 a bc1 , 证明 : a 2b2c23(a 2b 2c2 )bca107. 在一个 m n 的方格表中填上互不相等的 mn 个数

26、 , 并且把每列数值交大的前 a( m) 个数作上标记 , 在把每行数值交大的前 b( n) 个数作上标记 , 证明 : 至少有 ab 个数作了两次标记 .108. 在一个由十进制数字组成的数码中， 如果它含有偶数个数字 ，则称它“好数码”（如 ， 等），则长度不超过 （ 为正整数）的所有“好数码”有多少个？109.(罗马尼亚数学竞赛) 存在无穷个使，存在无穷多个使不能整除110. 设 n 4 是一个给定的正整数, S P1,P2, Pn 是平面上的 n个点, 无三点共线 , 无四点共圆 , 设 at 是使Pi Pj Pk 的外接圆包含 Pt 的 Pi Pj Pk的个数,记m(s) a1 a2an , 证明 : 存在一个仅依赖于 n 的函数 f (n) , 使得 S 中的点为一个凸多边形的顶点当且仅当m(