高中数学竞赛决赛试题及答案

1、高中数学竞赛复赛试题及答案一、选择题 （本大题共6 小题，每小题6 分，共 36 分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题卡的相应位置）1从集合 1， 3， 6， 8中任取两个数相乘，积是偶数的概率是5211A BCD 63232若是第四象限角，且 sincos1 2 sincos ，则是22222A 第一象限角B第二象限角C第三象限角D 第四象限角3.已知点 O、A、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP2OA+BA ，则A点 P不在直线 AB上B点 P 在线段 AB 上C点 P 在线段 AB 的延长线上D 点 P 在线段 AB 的反向延长线上4设 m

2、, n R ，若直线 (m1) x(n1) y4 0 与圆 ( x2) 2( y2) 24 相切，则 mn 的取值范围是A . (0,13B. 13,)C. 22 2,)D.(0,2 22 5.已知正方体C1 的棱长为 18 2 ，以 C1 的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C2，以 C2 的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C3，则凸多面体C3 的棱长为A 18B9 2C 9D6 26. 已知定义在R上的奇函数f ( x)，满足f ( x 3), 且在区间3上是增函数, 若方程f ( x )0, 2f ( x) m (m0)在区间 6, 6上有四个不同的根 x1, x2 , x3 , x4 ,

3、 则 x1x2 x3 x4A 6B 6C 8D 8二、填空题 （本大题共6 小题，每小题6 分，共 36分请把答案填在答题卡相应题的横线上）ln 1 , x 07已知 f (x)x，则不等式 f ( x)1的解集为.1, x0x8随机抽查某中学高二年级100 名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3 至 5.2. 现将这些数据分成 9 组，得其频率分布直方图如下.又知前 4 组的频数成等比数列，后6 组的频数成等差数列，则视力在 4.6 到 5.0 之间的学生有人 .频率/ 组距0.30.14.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1. 5.2视力9在ABC 中

4、，角 A, B,C 所对应的边长分别为a,b, c ，若 a2b22c2 ，则 cos C 的最小值为.10给出下列四个命题：（ 1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交；（ 2）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面；（ 3）如果平面平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直；（ 4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面其中真命题 的序号是（写出所有真命题的序号）11若动点 M (x0 , y0 ) 在直线 xy2 0 上运动，且满足 (x02) 2( y0 2)2 8，则 x02y02 的取值范围是x12设函数 fxx 11， A0 为

5、坐标原点， An 为函数 yf x 图象上横坐标为n（ nN * ）的点，向2x 1n1 Ak ，向量 i(1,0) ，设 n 为向量 an 与向量 intan5 的最大整数 n 是量 anAk的夹角，满足kk1k13。答题卡一、选择题 （本大题共 6 小题，每小题6 分，共 36 分）题号123456答案二、填空题 （本大题共 6 小题，每小题6 分，共 36 分）789101112三、解答题 （本大题共 6 小题，共78 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ）13. （本小题满分12 分）已知函数 f ( x) 2sin x cos x2 3sin 2 x3 222（ 1

6、）求函数f ( x) 的单调减区间；（ 2）该函数的图象可由ysin x(xR) 的图象经过怎样的变换得到?（ 3）已知, 2 ，且 f ( )6，求 f () 的值635614. （本小题满分 12 分）菱形 ABCD 中， A(1, 2) ， AB(6, 0) ，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CM 与 BD 交于点 P .（ 1）若向量 AD (3, 7)，求点 C 的坐标；（ 2）当点 D 运动时，求点P的轨迹.15（本题满分13 分）如图，四边形ABCD 是边长为 2 的正方形， ABE 为等腰三角形，AEDCBE ，平面 ABCD 平面 ABE ，点 F 在 CE 上，且 BF

7、平面 ACE.（ 1）判断平面ADE 与平面 BCE 是否垂直，并说明理由；FABE（ 2）求点 D 到平面 ACE 的距离 .16（本题满分13 分）如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水 2 万 m3，每天流过甲厂的河水流量是500 万 m3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1. 4 万 m3，每天流过乙厂的河水流量是700 万 m3（含乙厂排放的污水）. 由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有 20%可自然净化 . 假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部门的要

8、求，整个河流中污水含量不能超过0. 2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.（ 1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、 y 万 m3，试根据环保部门的要求写出x、 y所满足的所有条件；（ 2）已知甲厂处理污水的成本是1200 元 / 万 m3，乙厂处理污水的成本是1000 元 / 万 m3，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m3，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？支流甲厂乙厂500 万 m3/ 天700 万 m3/ 天17（本题满分 14 分）已知 f ( x)ax 22bx4c(a, b, c R) .（

9、1）当 a0 时，若函数f ( x) 的图象与直线yx 均无公共点，求证：4ac b2 1 ;34（ 2） b时，对于给定的负数 a8 ，记使不等式 | f ( x) | 5成立的 x 的最大值为 M (a) .4, c4问 a 为何值时， M ( a) 最大，并求出这个最大的M ( a) ，证明你的结论 .高中数学竞赛决赛参考答案11.24一、选择题 （本大题共 6 小题，每小题6 分，共36 分）题号123456答案ABDCDB二、填空题 （本大题共 6 小题，每小题6 分，共 36 分）7 ( , 1) ( 0, e)87891210（3）（ 4）112， 8123三、解答题 （本大题共

10、 6小题，共 78分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ）13. （本小题满分 12 分）解：（ 1） f ( x) sin x3(1 2sin 2 x) sin x3cos x 2sin x 2 分232kx32kkZ2232k7Zx2kk66, 7f ( x)2k2k k Z5662ysin x( xR)ysin( x)( xR)332y2sin(x R)x373f (62sin(6, sin(3)5),5335,2(,) .,)63328cos(12(3)24103)sin)1 (535f ()2sin()2sin(3)coscos()sin6366362 3341 33

11、 4.125252514. 12ABCDAC ADAB(3, 7)(6, 0)(9, 7)A(1, 2)C(10, 9).412P( x, y)BPAPAB ( x1, y2) (6, 0) (x7, y2).5MABCMBDPPABCMC3MP ,ACAMMC1 AB3MP1 AB3(AP1 AB)3APAB2223( x1, y2)(6, 0)(3x9, 3 y6)7ABCDBPAC( x 7, y 2)(3x 9, 3 y6)0( x 7) (3x 9) ( y 2)(3y 6)0(x 5)2( y 2) 24 y211P(5,2)2y2.15131ADEBCE.1BFACEBF AE.

12、3DABCDABEABCDBC ABABCD ABE ABBCABEBC AE.6AEBCEADEBCE.7A2BDACMMBDDBACE.8BFACEBFBACE.9DAEBCEAE BE.AE BEAEB.10AB 2BE 2sin 452 .11ARtCBECEBC2BE26BC BE2 22 3BF63CEDACE23.31613FEMFGE12CBCB131xy2x0.25001000.8(2x) 1.4y0.247001000x20y1.44x5 y81x2.50y1.42zyz 1200x 1000y 200(6 x 5y).7l.10l 6x 5y=0A(1 0.8)1.4Az

13、o2x1z 1200 1 10000.8 2000.124x 5y=81 m3 0.8m32000 .131714(1)f (x)ax 22bx4c(a,b,cR)yxa0ax 22bx4cx 1ax 2(2b1)x4c0(2b1) 216ac04acb21b(1)34ax 2(2b1)x4c0(2b1) 216ac04acb21b(2)54(1),(2):4acb21.634(2)b4, cf ( x)ax28x 374 )4164)16f (3,a8f (359aaaaf (x)5|f ( x) |5xf ( x)5x10M (a)ax 28x35M (a)42 42a811aaa 8M

14、(a)4242a4a13a4 2a2a8M ( a)1514M ( a).218143n yn32 n1xn4n5cn1ck ynm32 k4m 52ck132( k 1)9 32 k9(4 m5)36m454(9m10) 549m10N ,ck 1 yn 9m10521,2b xn yn s tas(a1)a sbt bta1a 2, s ta sba16sasbaN1t1aa1s2n(nN )b 1asb a2n11 a2 n1 ( a) ( a) 2( a)2 n 1 a1a11( a)( a 1)1 a2a4a2 n 2 Nasba18n yn z zna2nN )xn( nb2asb

15、a2 n2a2 n1a1Nasba19a1a1a11asba(a2nb )s 2n 1 (n N ) ,taa10a11ba(a2nb )a2a2nNa a1taaN11a1若 a 2 ，要 a2nbN ，则要 b 2，此时 a2nba2n1，12 分ab )aa(a2nN ，即 as由知， a2n1能被 a 1整除， 故 taab 能被 a1 整除1当且仅当 ba2 时， a Sb 能被 a1 整除13 分此时数列 xn和n有公共项组成的数列 zn ，通项公式为zn22 n 1 y ( n N ) .综上所述，存在b1,2 ，使得数列 xn 和 yn 有公共项组成的数列 zn ，且当 b 1时 , 数列zna2n(n N ) ；当 b a