最大公因式(高等代数)（经典实用）

1、最大公因式(高等代数)提供网站： 最大公因式(高等代数) i) ( )( ),( )( );d xf xd x g x 1公因式公因式: :( )( ) ,f xg xP x 、( )xP x ,若若 满足满足: ( )( ),x g x ( )( )xf x 且且 2最大公因式最大公因式: :( )( ) ,f xg xP x 、( ) d xP x 若若 满足：满足： ii) 若若 ， 且且 ，则，则( ) xP x ( )( )xf x ( )( )x g x ( )( ).x d x 则称则称 为为 的的最大公因式最大公因式 ( )d x( )( )、f xg x 则称则称 为为 的的

2、公因式公因式 ( )( )f xg x、( )x 一、公因式一、公因式 最大公因式最大公因式 最大公因式(高等代数) 说明：说明： 是是( )f x ， 与零多项式与零多项式0的最大公因式的最大公因式( ) f xP x( )f x 的首项系数为的首项系数为1的最大公因式记作的最大公因式记作: :( )( )、f xg x ( ( ) .(f xg x、 若若 ，则，则 的最大公式为零的最大公式为零。( )= ( )0f xg x ( ),( )f xg x 若若 不全为零，则不全为零，则( ),( )f xg x( ),( )0.f xg x 最大公因式(高等代数) 最大公因式不是唯一的，但

3、首项系数为最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大的最大 公因式是唯一的公因式是唯一的. c c为非零常数为非零常数 12 ( ) c( )dxdx= 若若 为为 12 ( )( )dxdx、( )( )、f xg x的最大公因式，则的最大公因式，则 说明：说明： 提供网站： 最大公因式(高等代数) 二、最大公因式的存在性与求法二、最大公因式的存在性与求法 若等式若等式 成立，则成立，则 与与 有相同的公因式有相同的公因式, ,从而从而 ( )( ) ( )( )f xq x g xr x ( )( )、f xg x( )( )、g xr x ( ( )( )( ( )( ),f xg xg

4、 xr x 引理：引理： 提供网站： 最大公因式(高等代数) 定理定理2对对 ，在，在 中存在中存在 一个最大公因式一个最大公因式 ，且，且 可表成可表成 的一个组合，即的一个组合，即 ，使，使 ( )( ) f xg xP x 、 P x ( )d x( )d x( )( )、f xg x ( )( ) u xv xP x、 ( )( ) ( )( ) ( ).d xu x f xv x g x = 最大公因式(高等代数) 若若 有一为有一为0，如，如 ，则，则 ( )( )、f xg x( )0g x ( )f x 就是一个最大公因式且就是一个最大公因式且 ( )1( )0( ).f xf

5、 xg x 考虑一般情形：考虑一般情形： ( )0,( )0,f xg x 用用 除除 得：得： ( )g x ( )f x 11 ( )( ) ( )( )f xq x g xr x 其中其中 或或 . . 1 ( ( )( ( )r xg x 1( ) 0r x 212 ( )( ) ( )( )g xqx r xr x 若若 ，用，用 除除 ，得：，得： 1( ) r x( )g x 1( ) 0r x 证：证： 最大公因式(高等代数) 若若 ，用，用 除除 ，得，得 2( ) 0r x 2( ) r x 1( ) r x 1323 ( )( ) ( )( ),r xqx r xr x

6、如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 因此，有限次后，必然有余式为因此，有限次后，必然有余式为0设设 1( ) 0. s rx 其中其中 或或 21 ( ( )( ( )r xr x 2( ) 0r x 12 ( ( )( ( )( ( )g xr xr x 即即 于是我们有一串等式于是我们有一串等式 最大公因式(高等代数) 1 ( ( )( )=( ( )( )f xg xg xr x, s 1s =( )( )rxr x , s( ) ( ) ( )( ) ( ).r xu x f xv x g x = 从而有从而有 12 =( ( )(

7、 )r xr x, = s =( ( ) 0)r x , 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去 s 11 ( ), ( )rxr x 再并项就得到再并项就得到 说明说明: : 定理中用来求最大公因式的方法， 定理中用来求最大公因式的方法， 通常称为通常称为辗转相除法辗转相除法 最大公因式(高等代数) 注意注意: : 定理中最大公因式定理中最大公因式 ( )= ( ) ( )+ ( ) ( )d xu x f xv x g x 中的中的 不唯一不唯一. ( )( )、u xv x 对于对于 ， 使使 , ,但是但是 未必是未必是 的最大公因式的

8、最大公因式. . ( ),( )( ) ( )( ) d xf x g xP xu x v xP x , ( ) ( )( ) ( )( )=d xu x f xv x g x ( )d x ( )( ),f xg x 最大公因式(高等代数) 如如: : ，则，则 2 ( )=1,( )=1f xxg x ( ( )( )=1.f xg x、 取取 ，有，有 2 ( )=1,( )=u xv xx ( ) ( )+ ( ) ( )=1,u x f xv x g x 取取 ，也有，也有 ( )=0,( )=1u xv x( ) ( )+ ( ) ( )=1,u x f xv x g x 取取 ,

9、 ,也有也有 2 ( )=2, ( )=21u xv xx ( ) ( )+ ( ) ( )=1.u x f xv x g x 成立成立 ( )( )g( ) ( ) ( )+ ( ) ( )g( )= ( )u xh xx f xv xh x f xxd x 事实上事实上, ,若若 则对则对 ， ( )h x ( ) ( )+ ( ) ( )= ( ),u x f xv x g xd x 最大公因式(高等代数) 若若 ，且，且( )( ) ( )( ) ( )d xu x f xv x g x = ( )( ),( )( )d xf xd x g x 则则 为为 的最公因式的最公因式( )d

10、 x( )( )、f xg x 设设 为为 的任一公因式，则的任一公因式，则( )x ( )( )、f xg x ( )( ),( )( ),xf xx g x 证：证： ( )( ( ) ( )( ) ( ),xu x f xv x g x 从而从而 ( )( ).x d x 即即 为为 的最大公因式的最大公因式 ( )d x( )( )、f xg x 最大公因式(高等代数) 例例1 432 ( )242,f xxxxx - 432 ( )2,g xxxxx -2 求求 ，并求，并求 使使 ( )( )、f xg x( ), ( )u x v x ( ( )( )( ) ( )( ) ( )

11、.f xg xu x f xv x g x、 最大公因式(高等代数) 432 242xxxx - 432 22xxxx- ( )f x( )g x 432 22xxxx- 1 1( ) q x 3 2xx 1( ) r x 1 x 42 2xx 32 22xxx 3 2xx 2 2x 2( ) r x 2( ) qx x 3( ) qx 3 2xx 0 2 ( ( ), ( )2f xg xx- 2 2(1) ( )(2) ( ).xxf xxg x 解解: : 且由且由 1 12 ( )( )( ) , ( )(1) ( )( ) f xg xr x g xxr xr x 得得 最大公因式(

12、高等代数) 例例2. . 设设 432 ( )343f xxxxx 32 ( )31023g xxxx 求求 ，并求，并求 使使 ( )( )、f xg x( ), ( )u x v x ( ( )( )( ) ( )( ) ( ).f xg xu x f xv x g x、 最大公因式(高等代数) 因式，即因式，即 就可以就可以)，这是因为，这是因为 和和 具有完全相同的具有完全相同的( )f x( )cf x 若仅求若仅求 ，为了避免辗转相除时出现，为了避免辗转相除时出现( )( )、f xg x 注注1:1: 分数运算，可用一个数乘以除式或被除式分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一

13、开始从一开始 1 ( ), ( )( ), ( )f xg xc f xg x 212 ( ),( )( ),( ) ,f x c g xc f x c g x 为非零常数为非零常数 12 ,cc 最大公因式(高等代数) 但是，在不同数域内公因子可能有变化。但是，在不同数域内公因子可能有变化。 注注2:2: 最大公因式的存在性不因数域扩大而改变，最大公因式的存在性不因数域扩大而改变， 24 ( )(1)(1),( )(1)(2)f xxxg xxx 例如例如 最大公因式(高等代数) ( ), ( ) ,f xg xP x 则称则称 为为互素的互素的(或互质的或互质的)( ), ( )f xg

14、x 1 1定义定义: : 三、互素三、互素 ( ), ( )1,f xg x 若若 互素互素 ( )( ),f xg x ( ( ), ( )1f x g x ( ), ( )f xg x除去零次多项式外无除去零次多项式外无 说明说明: : 由定义，由定义， 其它公因式其它公因式 最大公因式(高等代数) 定理定理3 互素互素 ，使，使 ( ), ( ) ,f x g xP x ( ), ( )f xg x ( ) ( )( ) ( )1u x f xv x g x ( ), ( ) u x v xP x 2 2互素的判定与性质互素的判定与性质 证：证：显然显然 设为设为 的任一公因式，则的任一

15、公因式，则( )( ), ( )xf x g x ( )( ),( )( ),xf xx g x 从而从而 ( )1,x 又又1( ),x ( ),0.xcc 故故( ), ( )1.f xg x 最大公因式(高等代数) 定理定理4若若 ，且，且 ， 则则 ( ), ( )1f xg x ( )| ( ) ( )f xg x h x ( )| ( ).f xh x ( ), ( )1,f xg x ( ), ( ) ,u x v xP x 证：证： 使使 ( ) ( )( ) ( )1u x f xv x g x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )u x f x h xv x

16、g x h xh x 于是有于是有 又又( )| ( ) ( ),f xg x h x( )|( ) ( )f xf x h x ( )| ( ).f xh x 最大公因式(高等代数) 1( )| ( ) fxg x 推论推论 若若 ，且，且 12 ( )| ( )( )| ( ),fxg xfxg x 又又 2( )| ( ), fxg x 211 ( )|( )( ).fxfx h x 12 ( ),( )1f xfx 12 ( )( )| ( ).fx fxg x，则，则 证证: : 11 ( )( )( ) ,g xfx h x ，使，使 1( ) h x 于是于是 ，使，使 2( )

17、 h x 122 ( )( )( ),h xfx h x 12 ( )( )| ( )fx fxg x 12 ( ),( )1,fxfx 而而 21 ( )|( )fxh x由定理由定理4有有 122 ( )( )( )( )g xfx fx h x 从而从而 最大公因式(高等代数) 证明：若证明：若 ， ( ), ( )1( ), ( )1,f x g x=f x h x ( ), ( ) ( )1.f x g x h x 则则 练习练习: : 最大公因式(高等代数) 12 ( ),( ),( ) (2) s fxfxfxP xs 若若 满足满足: : ( ) d xP x 定义定义 i)

18、( )( ),1,2, i d xf xis 则称则称 为为 的的最大公因式最大公因式 ( )d x 12 ( ),( ),( ) s fxfxfx ( ) ,xP x ii)( )( ),1,2, i xf xis 若若 ( )( ).x d x 则则 四、多个多项式的最大公因式四、多个多项式的最大公因式 最大公因式(高等代数) 12 ( ),( ),( ) s fxfxfx 表示首表示首1最大公因式最大公因式 1211 ,. sss fffu fu f ,= ，使，使 12 , s u uuP x 12121 , sss fffffff =, 11 , 11 kks ffffks = 的最

19、大公因式一定存在的最大公因式一定存在 12 ( ),( ),( ) s fxfxfx 11 1. ss u fu f 互素互素 使使 12 , s fff 12 , , s u uuP x 最大公因式(高等代数) 作业作业 P455.1） 6.1) 9. 13. 14. 最大公因式(高等代数) a 0121nn aaaaa 0121nn abababab ) 00121n babbbr 附附1: 综合除法综合除法 的商式的商式 1 01 ( ) n n q xb xb 和余式和余式r 可按下列计算格式求得：可按下列计算格式求得： 这里，这里， 若若 1 ( ), nn-1 0n f xa x + a x+ a 则则 xa ( )f x除除 110221 ,baabbaab 1.nn raab 112,nnn baab 最大公因式(高等代数) 去除去除 求一次多项式求一次多项式 xa fx 的商式及余式的商式及余式 把把 fx表成表成 xa 的方幂和，即表成的方幂和，即表成 2 012 ( )()()f