2019-2020学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 2.3 圆的切线的性质及判定定理课件 新人教A版选修4-1

1、-1- 三圆的切线的性质及判定定理 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 12 1.切线的性质定理及其推论 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. (3)推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 12 做一做1如图,直线PM与P

2、N均与圆O相切,则四边形PMON一定是 () A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.圆内接四边形 解析因为直线PM与PN均与圆O相切,所以PMO=PNO=90, 因此PMO+PNO=180,故四边形PMON一定是圆内接四边形. 答案D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 12 2.切线的判定定理 判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 12 做一做2 如图所示,A是O上的一点,P是

3、O外一点,且OA=3,AP=4,OP=5, 则直线PA与O的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 解析在OAP中,OA2+AP2=32+42=52=OP2, OAAP, PA与O相切. 答案B XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 12 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)垂直于半径的直线是圆的切线. () (2)切线和圆心的距离等于圆的半径. () (3)圆的切线与圆只有一个公共点. () (4)经过直径的一端且垂直于这条直径的直线是圆的切线. ()

4、 答案(1)(2)(3)(4) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 探究探究一圆的切线的判定圆的切线的判定 【例1】如图所示,在ABC中,已知AB=AC,以AB为直径的O交 BC于点D,DEAC于点E.求证:DE是O的切线. 分析利用圆的切线的判定定理进行切线的证明,关键是找出定理 的两个条件:(1)过半径的外端;(2)该直线与半径所在的直线垂直. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 证明 连接OD和

5、AD,如图所示. AB是O的直径,ADBC. AB=AC,BD=CD. 又AO=OB,OD是ABC的中位线,ODAC. DEAC,DEOD, 故DE是O的切线. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 变式训练1如图所示,ABC为等腰三角形, O是底边BC的中点,O与腰AB相切于点D. 求证:AC与O相切. 证明 连接OD,过点O作OEAC,垂足为E. O与AB相切于点

6、D, ODAB,且OD等于圆的半径. ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,B=C,OB=OC. 又ODB=OEC=90,ODB OEC. OE=OD,即OE是O的半径, 即圆心O到直线AC的距离等于半径. 故AC与O相切. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 探究探究二圆的切线的性质圆的切线的性质 【例2】 如图所示,AB为O的直径,BC,CD为O的切线,B,D为 切点. (1)求证:ADOC; (2)若O的半径为1,求ADOC的值. 分析(1)要证ADOC,因为AB是O的直径,所以BDAD.

7、故可转 化为证明BDOC;(2)由ADOC可以联想到ABDOCB,利用等 积式转化线段间的关系. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 (1)证明 如图,连接OD,BD. BC,CD是O的切线,OBBC,ODCD. OBC=ODC=90. 又OB=OD,OC=OC, RtOBC RtODC. BC=CD.又OB=OD,OCBD. AB为O的直径,ADB=90, 即ADBD.ADOC. (2)解ADOC,A=BOC. 又ADB=OBC=90, ADOC=ABOB=21=2. XINZHIDAOXUE

8、新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 变式训练2 已知PAB是O的割线,AB为O的直径,PC为O的切线,点C为 切点,BDPC交PC延长线于点D,交O于点E,PA=AO=OB=1. (1)求P的度数;(2)求DE的长. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 XINZHIDAOXUE 新知导学 DAN

9、GTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 探究探究三圆的切线的判定与性质的综合应用圆的切线的判定与性质的综合应用 【例3】 如图所示,已知AP是O的切线,P为切点,AC是O的割线,与O 交于B,C两点,圆心O在PAC的内部,点M是BC的中点. (1)证明A,P,O,M四点共圆; (2)求OAM+APM的大小. 分析(1)由圆内接四边形的判定定理证明其对角互补即可;(2)由 圆周角定理及其推论以及圆的切线的性质进行证明. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二

10、探究三 (1)证明 连接OP,OM, 因为AP与O相切于点P, 所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点,所以OMBC. 于是OPA+OMA=180.由圆心O在PAC的内部,可知四边形 APOM的对角互补, 所以A,P,O,M四点共圆. (2)解 由(1)知,A,P,O,M四点共圆,所以OAM=OPM. 由(1)知OPAP,而圆心O在PAC的内部,可知 OPM+APM=90, 所以OAM+APM=90. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIAN

11、CE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 变式训练3 如图,已知AB是O的直径,DE切O于C,并且ADDE于 D,BEDE于E. 求证:(1)CD=CE;(2)以C为圆心,CD为半径的C和AB相切. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三 证明(1) 如图,连接OC, DE切O于C,OCDE. 又ADDE,BEDE, ADOCBE. O为AB的中点,CD=CE. (2)如图,过C点作CFAB于F,过A点作AGOC于G, ADDE,OCDE,AGOC,四边形AGCD为矩形

12、,AG=CD. OA=OC,OGA=OFC=90,AOG=COF, AOG COF,AG=CF.CF=CD,即CF为C的半径.又 CFAB于F,故C与AB相切于点F. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 12345 1.已知AB是O的切线,在下列给出的条件中,能判定ABCD的是( ) A.AB与O相切于直线CD上的点C B.CD经过圆心O C.CD是直线 D.AB与O相切于C,CD过圆心O 解析由图可知,根据选项A,B,C中的条件都不能判定ABCD; 因为圆的切线垂直于经过切点的半径,所以选项D正确(如图). 答案D

13、 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 12345 2.如图所示,PB与O相切于点B,PO交O于点A,BCOP于C,若 OA=3 cm,OP=4 cm,则AC等于() XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 12345 解析 答案C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 12345 3.如图所示,直线AB与O相切于点P,CD是O的直径,C,D与AB的 距离分别为4 cm,2 cm,则O的半径为. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 12345 4.如图所示,DB,DC是O的两条切线,A是圆上一点,已知D=46, 则A=. 解析如图所示,连接OB,OC, 则OBBD,OCCD, 故DBO+DCO=90+90=180, 则四边形OBDC内接于一个圆. 则BOC=180-D=180-46=134, 答案67 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJI