2019-2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1

1、-1- 2.4抛物线 -2- 2.4.1抛物线及其标准方程 课前篇自主预习 【思考1】平面内,到两定点距离相等的点的轨迹是什么? 答案连接两定点所得线段的垂直平分线. 【思考2】平面内,到两个确定平行直线l1,l2距离相等的点的轨迹 是什么? 答案一条直线. 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点 的轨迹叫做抛物线.这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物 线的准线. 特别提醒抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线,且要求这 个定点不能在定直线上,否则轨迹就不再是一条抛物线,而是一条 直线(过定点且与定直线垂直的直线). 课前篇自主预习 【做一做1】

2、 若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相 等,则动点P的轨迹是() A.椭圆B.抛物线C.直线 D.双曲线 解析由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线. 答案B 【思考3】二次函数解析式是什么?其图象是什么? 答案二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a0),它的图象是抛物线. 课前篇自主预习 2.抛物线的标准方程 课前篇自主预习 名师点拨要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对 应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有 一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为2p; 若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就 在x轴的

3、正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴 上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正 的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y 轴的负半轴上(开口向下). 特别提醒抛物线标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到 准线的距离,所以p的值永远大于0,当抛物线标准方程中一次项的 系数为负值时,不要出现p0)或x2=-2py(p0). 若抛物线的标准方程为y2=-2px(p0),则由(-1)2=-2p(-3),解得 p= ; 若抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),则由(-3)2=-2p(-1),解得 p= . 课堂篇探究学习 探

4、究一探究二探究三当堂检测 (4)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4, 抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0). 当焦点为(0,-3)时, =3,p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y; 当焦点为(4,0)时, =4,p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x. 所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 反思感悟1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系. (2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=ny

5、,这样 可以减少讨论情况的个数. (3)注意p与 的几何意义. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 延伸探究将本例(4)改为焦点为圆x2+y2=4与坐标轴的交点,抛物 线方程为什么? 解由题意可知抛物线的焦点坐标分别为(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2),故 =2,p=4,所以抛物线方程分别为y2=8x,y2=-8x,x2=8y,x2=-8y. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 变式训练2根据下列条件确定抛物线的标准方程. (1)关于y轴对称且过点(-1,-3); (2)过点(4,-8); (3)焦点在x-2y-4=0上. 解(1)法一:设所求抛物线方程为x2=

6、-2py(p0),将点(-1,-3)代入方 程, 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 (2)法一:设所求抛物线方程为y2=2px(p0)或x2=-2py(p0),将点 (4,-8)代入y2=2px,得p=8;将点(4,-8)代入x2=-2py,得p=1.所以所求抛 物线方程为y2=16x或x2=-2y. 法二:当焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=nx(n0),又抛物线 过点(4,-8),所以64=4n,即n=16,抛物线的方程为y2=16x; 当焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=my(m0),又抛物线过点 (4,-8),所以16=-8m,即m=-2,抛物线的方程为x2=-2y.

7、 综上,抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-2y. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 所以所求抛物线的焦点坐标为(0,-2)或(4,0). 当焦点为(0,-2)时,由 =2,得p=4,所以所求抛物线方程为x2=-8y; 当焦点为(4,0)时,由 =4,得p=8,所以所求抛物线方程为y2=16x. 综上所述,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 探究三利用抛物线的定义解决轨迹问题探究三利用抛物线的定义解决轨迹问题 例3 已知动点M(x,y)满足5 =|3x-4y+2|,则动点M的 轨迹是() A.椭圆B.双曲线C.直线 D.抛物线

8、 到定直线3x-4y+2=0的距离,因此动点M(x,y)到定点(1,0)的距离等于 它到定直线3x-4y+2=0的距离,且定点(1,0)不在定直线3x-4y+2=0上, 故动点M的轨迹是以(1,0)为焦点,以3x-4y+2=0为准线的抛物线. 答案D 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 反思感悟定义法解决轨迹问题 根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距 离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析 其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 变式训练3一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则

9、动圆 圆心M的轨迹方程是. 解析设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因 为动圆和直线l:x=-2相切,所以圆心M到直线l:x=-2的距离d=R,即圆 心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线,且 A是焦点,l是准线,并且有 =2,所以p=4,故动圆圆心M的轨迹方程 是y2=8x. 答案y2=8x 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 思维辨析思维辨析 抛物线定义的应用 典例(1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程. (2)已知抛物线y2=4x的焦点是F,点P是抛

10、物线上的动点,对于定点 A(4,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的P点坐标. (3)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动 圆圆心M的轨迹方程. 思路分析(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程,再求m和准线方 程. (2)利用抛物线的定义,把|PF|转化为到准线的距离. (3)利用|MC|的长度比点M到直线y=2的距离大1求解. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 解(1)设所求抛物线方程为x2=-2py(p0),由 +3=5得p=4,因此抛 物线方程为x2=-8y,其准线方程为y=2,由m2=24得m=2 . (2)如图,作PNl于

11、N(l为准线),连接PF,PA,作ABl于B, 则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|AB|, 当且仅当P为AB与抛物线的交点时,取等号. (|PA|+|PF|)min=|AB|=4+1=5. 此时yP=2,代入抛物线得xP=1, P(1,2). (3)设动圆圆心为M(x,y),半径为r, 则由题意可得M到圆心C(0,-3)的距离与直线y=3的距离相等. 由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3 为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 规律方法抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意

12、一点到焦点 的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距 与点线距的相互转化,从而简化某些问题. (2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的 最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最 值问题. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 变式训练(1)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点 A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 (1)解析由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到 焦点的距离.由图可得, 点P到准线x=- 的距离d=|PF|, 易知点A(0,

13、2)在抛物线y2=2x的外部, 连接AF,交y2=2x于点P, 欲使所求距离之和最小,只需A,P,F共线, 答案A 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 1.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M到y轴的距离 是() A.6B.7C.8D.9 解析抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,抛物线y2=4x上的点M到焦点 的距离为10,可得xM=9,则点M到y轴的距离是9.故选D. 答案D 2.已知抛物线方程为x2=-2y,则其准线方程为() 解析抛物线x2=-2y的准线方程为y= ,故选C. 答案C 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三

14、当堂检测 3.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y) 的轨迹方程为() A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 解析依题意得点P(x,y)到点F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离 相等,并且点F(0,2)不在直线y+2=0上,所以点P的轨迹是抛物线,并 且F是焦点,y+2=0是准线,于是抛物线方程为x2=8y. 答案C 4.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O, 且过点P(2,4),则该抛物线的方程是. 解析由题意可设抛物线方程为y2=2ax.因为点P(2,4)在抛物线上,所 以42=4a,故a=4,即所求抛物线的方程为y2