利用空间向量解立体几何完整版

1、向 量 法 解 立 体 几 何 、基本工具 1. 数量积：a b a|b cos 2. 射影公式：向量a在b上的射影为a b lb 3. 直线Ax By C 0的法向量为 A,B，方向向量为B, A 4. 平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1. 平行关系 线线平行两线的方向向量平行 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行两面的法向量平行 2. 垂直关系 线线垂直(共面与异面)两线的方向向量垂直 线面垂直线与面的法向量平行 面面垂直两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1. 点点距离 点 P %, %,召与Q x2, y2,Z2 的 距离为 PQ 7(x2_xi)2 (

2、y2yj2 亿_Z)2 2. 点线距离 求点P x,y至U直线l:Ax By C 0的距离： 方法：在直线上取一点Q x, y , 则向量PQ在法向量n A,B上的射影 uuu PQ n = |AXg By。c n VA2 b2 即为点P到l的距离. 3. 点面距离 求点P xo,yo到平面的距离： 方法：在平面 上去一点Q x,y，得向量PQ 计算平面的法向量n， 计算PQ在 上的射影，即为点P到面 的距离. 四、用向量法解空间角 1. 线线夹角（共面与异面） 线线夹角 两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2. 线面夹角 求线面夹角的步骤： 先求线的方向向量与面的法向量的夹角， 若为锐角角即可

3、，若 为钝角，则取其补角； 再求其余角，即是线面的夹角. 3. 面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法 向量同进同出，贝匸面角等于法向量的夹角的补角 实例分析 亠、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b所成角B,只要在两条异面直线 a, b 上各任取一个向量 uuir uuirr .ujir unr亠 AA和BB，则角 =0 或 n - 0, 因为 uuur uuir 9是锐角，所以COS 0 = BBr ,不需要用法向量 AA BB 1、运用法向量求直线和平面所成角 线AB和平面a所成的角0的正弦值为 设平面a的法向量为n= (X, y, 1

4、)，则直 uuu r sin 0 = cos( - 0) = |cos AB , n 二 2 uuu r AB ? n -tutur- AB ? n 2、运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为n ,n2 ,则n 1, n2 或n - ni,n2是所求 角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定口,n2 是所求，还是n - n1, n2是所求角。 二、运用法向量求空间距离 1、求两条异面直线间的距离 设异面直线a、b的公共法向量为n 在a、b上任取一点A、B,则异面直线a 离 uuu r d =AB cos / BAA =|AB-?n| |n| 略证：如图，EF为a、b的公垂线

5、段，a为过F与a平行的直 线， / / / / 在a、b上任取一点A B,过A作AA = EF,交a于A , ULULT r/LLin r 则AA?/n，所以/ BAA = (或其补角) / UUU T 异面直线 a、b 的距离 d =AB cos/ BAA =|A?n| * |n| 其中，n的坐标可利用a、b上的任一向量a,b (或图中的AE.BF ), 及n的定义得 TTT T 解方程组可得n nan?a0 TTT T nbn?b0 2、求点到面的距离 求A点到平面a的距离，设平面a的法向量法为n (x, y,1)，在a UUL T 内任取一点b,则a点到平面a的距离为d二wBz, n的坐

6、标由n与 |n| 平面a内的两个不共线向量的垂直关系， 得到方程组(类似于前面所 述，若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设n (1,y,0), 下同)。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a到平面a的距离，设平面a的法向量法为 n (x,y,1)，在 直线a上任取一点A,在平面a内任取一点B,则直线a到平面a的 UUT T 距离d =孝山 |n| 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面a、B的公共法向量法为n (x,y,1),在平面a、 UJU T B内各任取一点 A B,则平面a到平面B的距离d = |n| 、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a和平面a、

7、 (3,两个面a、B的法向量为n-i,n2 , 四、应用举例: 例1 如右下图，在长方体ABCA1B1GD中，已知AB=4, AD=3, AA= 2. E、F分别是线段 AB BC上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C- DE-Ci的正切值; 求直线EC与FD所成的余弦值. (I )以A为原点， (2) 解： 建立空间直角坐标系, 贝S D(0,3,0) C(432) uur 于是，DE 设法向量n 、D(0,3,2) uir uur uurr AB,AD,AA1分别为X轴, 、E(3,0,0)、F(4,1,0) uur (3, 3,0), EC1 (x,y,2)与平面CDE垂直，则

8、有 umr (1,3,2), FD1( 4,2,2) y轴,z轴的正向 (II )设EG与FD所成角为B,则 例2:如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABC兎菱 形，/ DAB=60, PDL平面 ABCD PD=AD 点 E为 AB中点，点 F为PD中点。 (1)证明平面 PEDL平面 PAB (2)求二面角 P-AB-F的平面角的余弦值 证明：(1)V 面 ABCD菱形，/ DAB=60 ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD / EDB=30, / BDC=60EDC=90 如图建立坐标系 D-ECP设AD=AB=1贝S PF二FD2 , ED3 , 2 2 P (0, 0，1)，E

9、(萼, 0), B (亦 uuruur PB=(竝,丄，-1 ) , PE = 2 2 -1 ), uuir 平面PED的一个法向量为DC = (0, 1, 0) 设平面 PAB的法向 量为n= (X, y, 1) r uuu n PB r uuu n PE 运1 (X,yJ)?,? 1) (x,y,1)? ,0, 1) X 2 X 2 1y1 2 3 0 ；,0, 1) lur uuur / DC n=0 即 DC 丄 n 二平面 PEDL平面 PAB (2)解：由(1)知：平面PAB的法向量为 r 2 n=煌，0, 1), 设平面 FAB的法向量为n1二(X, y, -1), 由(1)知:

10、 urn F( 0, 0,寸),FB = / 3 (T, i), ur FE n1 uuu FB uuu FE (X, y, (x, y, 73 1 1 亍孑1) (怕0,2) 1 尹 1 0 2 r 一 /1 n1= (- .3 ,0, -1) .二面角 P-AB-F的平面角的余弦值COS 0 = |cos| 5.7 14 例3:在棱长为4的正方体ABCD-AiCD中，C是正方形ABGD的中 心，点P在棱CG上，且CG=4CP. （I ）求直线AP与平面BCGB所成的角的大小（结果用反三角函数值表 示）； （II）设C点在平面DiAPh的射影是H,求证：DH丄AP; （皿）求点P到平面ABD

11、的距离. 解：（I ）如图建立坐标系D-ACD A (4, 0, 0), B(4, 4, 0), P (0, 4, 1) - uur 显然 DC = (0, 4, 0) uuu AP = (-4, 4, 1), 为平面BCGB的一个法向量 直线AP与平面BCGB1所成的角B的正弦值 sin 0 = |cosi=1L J42 42 1?V? 33 P “为锐角直线AP与平面BC所成的角。为a 堺 (皿)设平面ABD的法向量为n= (x, y, 1), uuu /、 ADi = (-4 , 0, 4) uuu /、 AB= (0, 4, 0), 丄 r uuu rujun 由n丄AB , n丄AD

12、1 得 y4x04 0 n= ( 1,0, 1), 点P到平面ABD勺距离d = uuu AP -r n 3、2 2 例4:在长、宽、高分别为 2, 2, 3的长方体ABCD-AiGD中，0 是底面中心，求AO与BC的距离。 解：如图, 建立坐标系 D-ACD,则0（ 1, 1, (2, 2, 3), uujr 二 AO ( 1,1, C(0, 2, 0) uiur 3) B1C ( 2,0, 设AO与BC的公共法向量为n r uiur n AO r uiur n B1C (x,y,1)?( 1,1, 3)0 (x, y,1)?( 2,0, 3) 0 x 2x -3 ,1) 2 2 A1O与B

13、C的距离为 uuuj r d =IABr?n| |n| 3 3 0,2,0?3,3,1 2 2 :3232 1 ；22 3 11 3 22 11 例5:在棱长为1的正方体ABCD-/BCD1中, 的中点，求A到面BDFE的距离。 解：如图，建立坐标系 D-ACD,则B（ 1, E (1 , 1, 1) 2 uuuuuu BD( 1, 1,0) BE 1 （丹） uur AB 设面BDFE勺法向量为n (x,y,1), 二 n (2, 2,1) A 至U面 BDFE的 luuu 3)A1B1(0,2,0) E、F分别是BC、 1, 0)，Ai (1, 0, 距离为 CD 1）， (0,1, uuur r = IAB?n| O,1, 1 ? 2, 2,11 |n|:2 2 13 五、课后练习: 1、如图,已知正四棱柱 ABCD-A1CD, AB=1,AA=2,点E为CG中点， 点F为BD中点.(1)证明EF为BD与CG的公垂线；(2)求 点D到面BDE的距离. 2、已知正方形ABCD边长为1过D作PDL平面 E、F分别是AB和BC的中点，(1)求D到平面PEF 直线AC到平面PEF的距离 3、在长方体 ABCD-ABCD 中，AB=4 BC=3