2019-2020学年北京市首师大附中高一(下)期中数学试卷(A卷)

1、2019-2020 学年北京市首师大附中高一（下）期中数学试卷（A 卷）一、选择题（本大题共10 小题，共 30.0分）10 ，则 tan(2? -?()1.已知?4) =， 2?-?=2A.4B. -7C. -3D.13472.已知 ? 0， ?0 ，2?+?= 2，则 xy 的最大值为 ()A.1C. 2212B. 1D. 43.设?=1,2345，?=2,5，?=2,3，4，?(? ?)= ()， ，?A. 5B. 1,2， 3，4， 5C. 1, 2， 5?2?(?D. ?0) ，则 ?(4.已知函数 ?(?)=1)?) 的值是 (3(? 0)4A.11C. 4D. 99B. 45.已

2、知 a、 b 为实数，则2? 2?log 2 ?的 ()是 log 2A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充要条件2D. 既不充分也不必要条件6.?- 12 0 ， ?=?|-4 ?A. -2,-1B. -1,2)C. -1,1D. 1,2)9.某位居民站在离地20m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60 ，小高层底部的俯角为 45，那么这栋小高层的高度为()A. 20(1+ 3)?B.20(1+ C.10(33)?2 +6)? D. 20(2 +6)?10.关于函数 ?(?)=?+ ?，下列说法错误的是()A. ?(?)是奇函数B. ?(?)是周期函数C. ?(?)有零点?D

3、. ?(?)在 (0, 2 )上单调递增二、填空题（本大题共5 小题，共15.0 分）11.2设函数 ?(?)是定义在 R 上的偶函数，记?(?)= ?(?)- ?，且函数 ?(?)在区间 0, +)上是增函数，则不等式?(?+2) - ?(2) 2? + 4?的解集为 _112.设 ?+ ?=3 ，不等式 ?-cos2?- ? 0对满足条件的 ?，?恒成立，则实数 m 的最小值为_第1页，共 12页13.在平面直角坐标系xOy 中， ?在 x 轴、 y 轴正方向上的投影分别是-3 、 4，则与 ?平行的单位向量是_14. 为了了解家庭月收入 ?(单位：千元 ) 与月储蓄 ?(单位：千元 )的

4、关系，从某居民区随机抽取 10 个家庭，根据测量数据的散点图可以看出x 与 y 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为?，若该居民区某家庭月收入为7 千元，据此估计?= 0.3?- 0.4该家庭的月储蓄为_千元15. 已知函数 ?(?)= 2 ?- 1? 0 ，若 ?(?)= 1 ，则实数 a 的值是 _ -?2 - 2? 0，试确定 a 的取值范围第3页，共 12页第4页，共 12页答案和解析1.【答案】 B【解析】【分析】首先把已知等式两边平方，然后化弦为切，求得?，进而求得 ?2?，从而求出?tan(2? - 4 )的值本题考查的知识要点：三角关系式的恒等式变换，解方程等运算问题【解答】

5、解：已知等式两边平方得2254?cos=，?- 4?+224sin?cos?=322即 3?-2 (?+ ?)，即 3tan 2?-4tan? =3(tan2?+ 1) ，228?-3 = 0 ，即 3?-解得 ?=3 或 ?=-1，3所以 tan2? =2tan?3，1-tan 2 ?= -4从而故选： B2.【答案】 A【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值，熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键属于基础题利用基本不等式的性质即可得出【解答】解： ? 0， ? 0，且 2?+ ?= 2 ，112?+?2 =1，当且仅当 ?=1，?= 1时取等号，?= (2?)()22222故则 xy 的最

6、大值为1，2故选： A3.【答案】 C【解析】【分析】考查列举法的定义，以及补集、并集的运算依次进行补集、并集的运算即可【解答】第5页，共 12页解： ?= 1,5 ；?(? ?)= 1,2， 5 故选： C4.【答案】 A【解析】 解：由分段函数可知11-2= -2，?( ) = ?2= ?22441-21所以 ?(= 3=) = ?(-2)94故选： A利用分段函数，先求11?() 的值，然后求 ?() 的值即可44本题主要考查分段函数的应用，以及指数函数和对数函数的求值问题，比较基础5.【答案】 A【解析】【分析】分别解出 2 ? 2?， log 2? log 2?中 a， b 的关系，

7、然后根据 a， b 的范围，确定充分条件，还是必要条件本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题【解答】解： 2? 2? ? ?，当 ? 0或 ? log 2?，反之由 log 2 ?log 2 ?即： ? ? 0 可得 2?2成立故选 A6.【答案】 D2= ?|? 4 ，【解析】 解：集合 ? = ?|?- ?- 12 0? = ?|- 4 ?5 ，? ?= (-4,-3)(4,5) 故选： D求出集合M， N，由此能求出 ?本题考查交集的求法，考查并集、交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.【答案】 B【解析】 解：表示一组数据?，?

8、，?的稳定程度是方差或标准差12?故选： B利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度本题考查了利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度，是基础题8.【答案】 A2，【解析】 解： 集合 ?= ?|?- 2?- 3 0 = ?|? -1 或 ? 320 = ?|? 2 ，则 ?= -2,2 ，又 ?= ?|?- 4 则 ?(? ?) = -2,-1，?故选： A解一元二次不等式得集合A， B，再求 ?= -2,2 ，进而求交集第6页，共 12页本题主要考查集合的基本运算，比较基础9.【答案】 B【解析】 解：依题意作图如下：?= 20?，仰角 ?= 60 ，俯角 ?= 45 ，在等腰直角 ?中， ?

9、= ?= 20?，在直角 ?中， ?= 60，?= ?60=20 3?，小高层的高度为?= (20 + 203) = 20(1 + 3)?故选： B由题意作出图形，解三角形即可得出所求本题考查了解三角形的应用问题，也考查了作图与运算能力，是基础题10.【答案】 B【解析】 解：根据题意，函数 ?(?)= ?+ ?，依次分析选项：对于AR，且 ?(-?)= -? - ?= - ?(?)，则 ?(?)为奇函数，故A， ?(?)的定义域为正确；对于 B，根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，故B 错误；?对于 C，因为 ?(0) =0 + ?0= 0，?(?)在(- 2 , 2) 上有零点，故 C

10、 正确；对于 D，由于 ?(?)= 1 + ?0，故 ?(?)在(- ,+)上单调递增，故 D 正确；故选： B根据题意，依次分析选项，综合即可得答案本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性的判断，涉及函数的零点，属于基础题11.【答案】 (- ,-4)(0, +)2【解析】 解：根据题意， ?(?)= ?(?)- ?，且 ?(?)是定义在 R 上的偶函数，则 ?(-?) = ?(-?) -(-?)22= ?(?)- ? = ?(?)，则函数 ?(?)为偶函数，22?(2) - 4 ? ?(?+ 2) ?(2)，?(?+ 2) - ?(2) ? + 4? ?(?+ 2) - (?+ 2)又由 ?(

11、?)为增函数且在区间0, +)上是增函数，则 |?+ 2| 2 ，解可得： ? 0 ，即 x 的取值范围为 (- ,-4)(0, +)；故答案为： (- ,-4)(0, +)根据题意，分析可得?(?)为偶函数，进而分析可得?(?+ 2) -2?(?+?(2) ? + 4?2) -(?+ 2) 2 ?(2)- 4 ?(?+ 2) ?(2)，结合函数的奇偶性与单调性分析可得|?+2| 2，解可得x 的取值范围，即可得答案第7页，共 12页本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用， 注意分析 ?(?)的奇偶性与单调性， 属于基础题412.【答案】 911【解析】 解： ?+ ?=3，?=3 - ?，-

12、1 ?12 ?1，由 1，可得 -1 3 - ?13?-cos2?=1- ?-(1 - sin 2?)=12-113(?-)，212当 ?=-2 时，上式取得最大值，且为4，39等式 ?-cos 2 ?-? 0 对满足条件的?， ?恒成立，可得 ? ?-cos2 ?的最大值，可得 ? 4，即 m 的最小值为 499故答案为： 4 9等式 ?-cos 2 ?-? 0 对满足条件的?，?恒成立，可得 ? ?-cos2 ?的最大值，1根据所给的函数式， 整理出 ?= 3 - ?，求得 ?的范围，代入要求的三角函数式，整理出关于 ?的二次函数形式，根据正弦函数的值域，得到函数的最大值，可得所求范围本题

13、考查三角函数的化简求值和二次函数的性质， 本题解题的关键是整理出关于正弦函数的二次函数的形式，问题转化成二次函数的最值，考查变形能力和运算能力，属于中档题3413.【答案】 (- 5 ,5 )【解析】 解： ?在x轴、y轴正方向上的投影分别是4，| ?| =-3 、 ， ?= (-3,4)22= 53+ 4? 3 4则 ?的单位向量 |?| = (- 5 , 5).34故答案为： (- 5 , 5).首先由题意可得?= (-3,4)，再除以向量的模，再考虑反向的情况即可本题考查的知识要点：向量的求法及应用，单位向量的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题14.【答案】 1

14、.7?【解析】 解：由 ?= 0.3?-0.4 ，?取 ?= 7，得 ?= 0.3 7 - 0.4 = 1.7估计该家庭的月储蓄为1.7千元故答案为： 1.7 直接把 ?= 7 代入线性回归方程得答案第8页，共 12页本题考查线性回归方程，是基础的计算题15.【答案】 1【解析】 解：因为 ?(?)= 1 ，且 ?(?)= 2?-1? 0-?2 - 2?0所以当 ? 0 时，有 ?(?)= 2?- 1 = 1 ? 2?= 2 ? ?=1 ；当 ? 0时，有 ?(?)= -?2 - 2?= 1 ? (?+1)2= 0?= -1 综上得： ?= 1故答案为： 1因为函数 ?(?)为分段函数， 所以

15、须分 ? 0以及 ? 0两种情况分别代入对应的解析式来求出 a，最后综合即可本题考查有理指数幂的化简求值以及分段函数函数值的求法，是基础题?16.【答案】 解： ( )由题意得 100 = 0.15 ，?= 15，又 35 + 25 + ?+ 10 + ?= 100，解得 ?= 15 ( )设事件 A 为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1 名顾客分4 期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4 期付款的概率为0.1，12?(?)= ?30.1 09 = 0.243 ( )记分期付款的期数为?，依题意得 ?(?= 1) = 0.35 ，?(?= 2) = 0.25 ， ?(?=3) = 0.

16、15 ， ?(?= 4) = 0.1， ?(?= 5) =0.15 ，?的可能取值为1000元， 1500 元，2000 元，?(?= 1000)=?(?=1)= 0.35 ，?(?= 1500)=?(?=2)+ ?(?= 3) = 0.4，?(?= 2000)=?(?=4)+ ?(?= 5) = 0.25 ，?的分布列为：X100015002000P0.350.40.25?= 1000 0.35 + 1500 0.4 + 2000 0.25 = 1450【解析】 ( )由题意得 ? = 0.15，由此能求出a， b100( )设事件 A 为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1 名顾客分4 期

17、付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4 期付款的概率为0.1 ，由此能求出“购买手机的3 名顾客中 (每人仅购买一部手机) ，恰好有 1 名顾客分4 期付款”的概率( )记分期付款的期数为?，依题意得 ?(?= 1)= 0.35 ， ?(?= 2) = 0.25 ，?(?= 3) =0.15 ，?(?= 4) = 0.1， ?(?= 5)= 0.15 ，X 的可能取值为 1000 元， 1500 元， 2000 元，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望本题考查统计表的应用，考查概率的求法， 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中

18、都是必考题型之一17.【答案】 解： (1) 法一： ?+ ?=?，由正弦定理，可得 ?+ ?= ?，?即sin(? + ?)=?，又 ?+ ?= ?- ?，?= ?，又 ?，? (0, ?)，?= ?或 ?+ ?= ?(舍去 ) ，?= ?第9页，共 12页法二： ?+ ?=?，2222222? +? -? +? -?由余弦定理可得 ?2?+ ?2?= ?，整理可得2? = 2?，?= ?，?=?2?(2)?=6，由 (1) 可知 ?=?- (?+ ?)=3 ，又 ?的面积为3 = 1?，2，且?=13222? = 3，?= ?=2，2221，由余弦定理可得 ? =? + ? - 2?= 4

19、 + 4 - 2 2 2 (- ) = 122?= 2 3，?的周长为 4 + 2 3 【解析】 (1) 法一：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式可得 ?= ?，结合范围 A，?(0, ?)，可证 ?=?法.二：由余弦定理化简已知等式即可证明 ?=?2?a b(2) 由已知及 (1) 可知 ?= 3，利用三角形的面积公式可求， 的值，利用余弦定理可求c 的值，即可得解三角形的周长本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.【答案】 (本题满分为

20、12分)解： (1) 在?中， ?=45，?= 22，?= 52222?45， 由余弦定理得， ? =? + ? -得2? - 4?+ 3 = 0 ，解得 ?= 1 或 ?= 3 (2) 设 ?= ?， 0 ? 60 ，在 ?中，由正弦定理，得：?=? ，sin ? sin ?所以 ?=?45 = 26 - 22，同理?= 2 6 - 22，?751故 ?=?sin ?= 8 - 4 3， ?2即 ?= 30时， ?的面积的最小值为8 -43【解析】(1)在?2222 ?45，解 中，由余弦定理得， ? = ? + ? -得 MP 即可(2) ?= ?， 0 ? 60 ，在 ?中，由正弦定理求

21、出OM ，同理求出 ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过?的范围求出面积的最大值本题考查正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数的在解三角形中应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题19.【答案】 解： (1)5， ?(0, ?)由 ?= 5第10 页，共 12页得 ?= 25，所以 ?= 2 ，5- 1+2?+?3于是 tan(? + ?)=2= 11-?1+ 31(2) 因为 ?= - 3 ,?(0, ?)1, ?= -3， ?(?)= -355?+525?=所以 ?=105?-5?-1055- 5?故 ?(?)的最大值为 5 【解析】 本题主要考查两角和与差的三角函数公式(1) 先由 ?求?，进而求 ?，再利用公式 tan(? + ?)=?+?解之；1-?(2) 先由 ?求出 ?、?，再利用公式 sin(? - ?)= ?-?与cos(?+ ?)= ?-?化简函数 ?(?)，最后根据 -1 ?1求出 ?(?)的最大值20.【答案】 (本题满分 12 分 )解： (1) 当 ? 0时， ?(?)= 2 ?+ ? ,?(1) = 52?2? 2即?(1)= 2 + 2 = 5，?= 1-(2分)