学生建模报告-购物问题0001

1、7A 版优质实用文档 数学建模 购物问题 小组成员： 刘鹏昊( 20GG1090061 ) 王清刚( 20GG1090063 ) 周连杰( 20GG1090064 ) 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 购物问题 背景内容 ：人们常往何处购物？如果我们在一段时间观察某一地区居民的购物 路径，能否建立一个描述居民购物方式的模型呢？这一模型可能用来预测有关发 展计划的前景或者进行交通管制的依据。 提出问题 ：已知与购物消费有关的物质和经济数据，求出购物模式。 设想将一个居民区分成若干个社区（设为 n 个），每一社区都有一定数量的居 民和购物点，仅考虑地理位置、人口数和经济因素。 问题分析

2、：涉及的因素可能有：人口数、距离、商店类型、交通工具、路途花 费和购物习惯等。是什么原因使人们选择到一个特定的社区去购物呢？在于商店 的数量和交通是否便利，制约元素在于距离、路途花费和时间。 建立模型所涉及的因素由表 1 列出。 对象 类型 符号 单位 第 i 个社区的人口 参数 Pi 整数 社区与社区 j 间的距离 参数 di,j 英里 i 社区的商店数 参数 Ni 整数 从 i 地到 j 地的购物次数 变量 Gi,j 整数 其中 i,j=1,2,3 ,n 模型假设： 1. Gi,j 正比于 Pi（i 社区居民越多，从该社区外出购物的次数越多 ）。 2. Gi,j 正比于 Nj（j 社区商店

3、越多，被吸引来的顾客越多） 。 3. Gi,j 随 di,j 的增大而减少（远距离将会打消顾客前去购物的念头） 。 建立模型 ：前两条容易用数学语言描述，而假设 3 可以有以下可能的选择形 式： 1)Gi,j 1/d i,j 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 （2）Gi,j1/d 2i,j； （3）Gi,j1/d i,j 其中是参数； （4）Gi,jeGp（- d i,j）,其中 是参数。 一般来说，距离的影响十分显著，以致 Gi,j随 d i,j下降的速率比反比模型（ 1） 更快。利用更一般的形式（ 3 ）（4）建立的模型，可根据特殊情况对参数加以调 整，通常的值选在 1.5 3

4、间最合适。 为了简便期间，我们采用负二次方模型（ 2），把它与假设 1 、假设 2 结合起来 得 Gi,jPiN j/d 2i,j. Gi,j=KP iN j/d 2i,j.K是比例系数 数学求解 ：如果已确定参数 K 的值，就能计算出实际次数 Gi,j。但在资料不足 的情况下只能计算居民购物次数的百分比。 对所有的 i,j 计算 PiNj/d 2i,j， 并求和 S=ijPiNj/d 2i,j， 再计算购物次数的百分比 （PiNj/d 2i,j）/S=（P iNj/d 2i,j）/（ijPiNj/d2i,j） 实例分析 :表 2 给出了一个居民区中三个社区中心间的距离以及各个社区内平均 购物

5、行程。表 3 给出了人口及商店分布情况 表 2 购物距离 到A 到B 到C 从A 2 7 5 从B 7 3 4 从C 5 4 3 7A 版优质实用文档 3 7A 版优质实用文档 表 3 人口及商店分布情况 社区 A B C 居住人口数 5800 9400 10600 商店个数 22 80 220 利用以上模型计算居民的购物活动情况。运算结果见表 4 和表 5 表 4PiNj/d 2i,j 的值 PiNj/d 2i,j 22 80 220 Pi N1 N2 N3 5800 31900 9469 51040 9400 4200 83556 129250 10600 9328 53000 25911

6、1 表 5 购物次数百分比 从A 从B 从C 总计 到A 0.0506 0.0067 0.0148 0.0721 到B 0.0150 0.1324 0.0840 0.2314 到C 0.0809 0.2049 0.4107 0.6965 结果分析：用以上的模型预测， 在该居民区大约有 7的购物活动在 A 社区进 行， 23%在 B 社区， 70 在 C社区。 如果已确定参数 K 的值，就能计算出实际次数 Gi,j 。如果考虑相对不同的社区 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 设置不同的 K 值，模型会更实际。例如，若三个社区人均收入差异显著，我们 认为越富足的地区，人们在购物方面的花费越多，可对表中的三行分别设 K1,K2,K3 来反映不同的消费能力，当然必须平均收入方面的数据。 针对购物问题可以考虑用购物时间或费用取代社区间的距离