[高考]解析几何压轴题

1、13椭圆例1如图：直线l：与椭圆c：交于a、b两点，以oa、ob为邻边作平行四边形oapb。求证：椭圆c：与直线l：总有两个交点。当时，求点p的轨迹方程。（3）是否存在直线l，使oapb为矩形？若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，说明理由。解：(1)由得椭圆c：与直线l：总有两个交点。(2)设,与交于点，则有即，又由（1）得， （2）得 （3）将（3）代入（2）得点p的轨迹方程为当时，这样的直线不存在；当时，存在这样的直线，此时直线为例2. 设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在一点，使得直线与垂直.（1）求实数的取值范围；（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点，若，求直线的方程.解：（）

2、由题设有 设点p的坐标为由pf1pf2，得 化简得 将与联立，解得 由 所以m的取值范围是.（）准线l的方程为设点q的坐标为，则 将 代入，化简得 由题设 ，得 ， 无解.将 代入，化简得 由题设 ，得 .解得m=2. 从而，得到pf2的方程 例3.（08安徽）设椭圆过点，且左焦点为（）求椭圆的方程；（)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足。证明：点q总在某定直线上。解：（）由题意：，解得.所求的求椭圆的方程.（)方法一：设点，由题设，、均不为0，且，又四点共线，可设，于是 ，由于，在椭圆上，将分别带入的方程，整理得：由-得 .，.即点总在直线上.方法二：设点，由题设，、均

3、不为0，记，则且.又四点共线，从而，于是：，；，.从而 又点在椭圆上，即+2并结合，得，即点总在直线上.14.双曲线例1.已知双曲线设过点的直线l的方向向量当直线l与双曲线c的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；证明：当时，在双曲线c的右支上不存在点q使之到直线l的距离为。解：（1）双曲线c的渐近线，即 直线的方程 直线与m的距离 （2）证法一：设过原点且平行于的直线则直线与的距离，当时，。 又双曲线c的渐近线为，双曲线c的右支在直线的右下方，双曲线c右支上的任意点到直线的距离大于。故在双曲线c的右支上不存在点q到到直线的距离为 证法二：假设双曲线c右支上存在点q到直线的距离为，

4、则 由（1）得， 设当时，： 将代入（2）得， （*），方程（*）不存在正根，即假设不成立，故在双曲线c的右支上不存在点q到直线的距离为 例2. （07江西）设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点解：（1）在中，即，即（常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线方程为：（2）解法一：设，当垂直于轴时，的方程为，在双曲线上即，因为，所以当不垂直于轴时，设的方程为由得：，由题意知：，所以，于是：因为，且在双曲线右支上，所以由知，解法二：设，的中点为当时，因为，所以；当时，又所以

5、；由得，由第二定义得所以于是由得因为，所以，又，解得：由知15.抛物线例1已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点处的切线与平行；（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由解：（）如图，设，把代入得，xay112mnbo由韦达定理得，点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，即（）假设存在实数，使，则，又是的中点，由（）知轴，又 ，解得即存在，使例2. 如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点abcpqo如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向

6、上一点任作一直线，与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点（1）若，求的值；（5分）（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由（4分）xyl（1）若，求的值； （2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由 解：（1）设直线的方程为，将该方程代入得令，则因为，解得，或（舍去）故（2）由题意知，直线的斜率为又的导数为，所以点处切线的斜率为，因此，为该抛物线的切线（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设若为该抛物线的切线，则，又直线的斜率为，所以，得，因，有故点的横坐标为，即点是线段

7、的中点16 解析几何中的参数范围问题1、已知圆锥曲线的一个焦点为（1，0），对应这个焦点的准线方程为，又曲线过，ab是过f的此圆锥曲线的弦；圆锥曲线中心在原点，其离心率，一条准线的方程是。（1）求圆锥曲线和的方程。（2）当不超过8，且此弦所在的直线与圆锥曲线有公共点时，求直线ab的倾斜角的取值范围。分析：本题主要考察直线、椭圆、抛物线、不等式等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题等价转化的思想方法解：过p作直线x=-1的垂线段pn.曲线是以为焦点，x=-1为准线的抛物线,且.曲线

8、；依题意知圆锥曲线为椭圆，.又其焦点在y轴上，圆锥曲线： （2）设直线ab：,.由抛物线定义得：，又由得，其时，。依题意有即，则直线ab的倾斜角。2. 如图，在rtabc中，cba=90，ab=2，ac=。doab于o点，oa=ob，do=2，曲线e过c点，动点p在e上运动，且保持| pa |+| pb |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线e的方程；（2）过d点的直线l与曲线e相交于不同的两点m、n且m在d、n之间，设， 试确定实数的取值范围分析：本题主要考察直线、椭圆、不等式的性质等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。

9、函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题分类讨论思想方法 数形结合思想方法讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 . | pa |+| pb |=| ca |+| cb | y c =a o b动点p的轨迹是椭圆 . 曲线e的方程是 . （2）设直线l的方程为 , 代入曲线e的方程，得 设m1（, 则 i) l与y轴重合时， ii) l与y轴不重合时， 由得 又, 或 01 , . 而 , ,的取值范围是 . 3. 已知向量，动点到定直线的距离等于，并且满足，其中是坐标原点，是参数。（1）求动点的轨迹方程；（2）当时，若直线与动点的轨迹相交于、两点，线段的垂直平分线交轴，求的取值

10、范围；（3）如果动点的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率满足，求的取值范围。分析：本题主要考察直线、椭圆的方程、向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题分类讨论思想方法 数形结合思想方法解：（1）设，则由，且是原点，得，从而，根据得，即为所求轨迹方程。（2）当时，动点的轨迹方程是，即，的方程为，代入，或，。的中点为，垂直平分线方程为，令得，（）（3）由于，即，所以此时圆锥曲线是椭圆，其方程可以化为当时，此时，而，；当时，此时，而，而时，可解得。综上可知的取值范围是4. 如图，为半圆，ab为半圆直径，o为半圆圆心，且odab，

11、q为线段od的中点，已知|ab|=4，曲线c过q点，动点p在曲线c上运动且保持|pa|+|pb|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线c的方程；(2)过d点的直线l与曲线c相交于不同的两点m、n，且m在d、n之间，设=，求的取值范围.分析：本题主要考察直线、椭圆的方程、不等式的性质等基础知识，以及应用数学知识分析解决问题能力。函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题分类讨论思想方法 数形结合思想方法解：(1)以ab、od所在直线分别为x轴、y轴，o为原点，建立平面直角坐标系， |pa|+|pb|=|qa|+|qb|=2|ab|=4.曲线c为以原点为中心，a、b为焦点的椭圆.设

12、其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1.曲线c的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+2,代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.=(20k)2415(1+5k2)0,得k2.由图可知=由韦达定理得将x1=x2代入得两式相除得m在d、n中间，1又当k不存在时，显然= (此时直线l与y轴重合).17 解析几何中的最值问题1.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为（）设点的坐标为，证明：；（）求四边形的面积的最小值解：（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在

13、且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为分析：本题主要考察直线、椭圆、不等式的性质等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题分类讨论思想方法2. （09湖南）在平面直角坐标系xoy中，点p到点f（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当p点运动时，d恒等于点p的横坐标与18之和 （）求点p的轨迹c； （）设过点f的直线i与轨迹c相交于m，n两点，求线段mn长度的最大值。分析：

14、本题主要考察直线、椭圆、不等式的性质等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，以及综合应用数学知识分析问题、解决问题能力。函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题分类讨论思想方法解（）设点p的坐标为（x，y），则3x-2由题设 当x2时，由得 化简得 当时 由得 化简得 故点p的轨迹c是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（）如图2所示，易知直线x=2与 ，的交点都是a（2，），b（2，），直线af，bf的斜率分别为=，=.当点p在上时，由知. 当点p在上时，由知 若直线l的斜率k存在，则直线l的

15、方程为（i）当k，或k，即k-2 时，直线i与轨迹c的两个交点m（，），n（，）都在c 上，此时由知mf= 6 - nf= 6 - 从而mn= mf+ nf= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*mn=12 - （+）=12 - 因为当 当且仅当时，等号成立。（2）当时，直线l与轨迹c的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则知， 设直线af与椭圆的另一交点为e 所以。而点a，e都在上，且 有（1）知若直线的斜率不存在，则=3，此时综上所述，线段mn长度的最大值为。18 解析几何中的定值问题1如右图，中心在原点o的椭圆的右焦点为，右准线的方

16、程为：.（）求椭圆的方程；ofp3p2p1（）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值.分析：本题主要考查椭圆的定义、方程及几何性质、余弦三角函数等基础知识、基本方法和分析问题、灵活解决问题的能力。 数形结合思想方法aq1ofp3p2p1解：（）设椭圆方程为.因焦点为，故半焦距.又右准线的方程为，从而由已知，因此.故所求椭圆方程为.（）记椭圆的右顶点为a，并设，不失一般性，假设，且.又设在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有.解得.因此，故为定值.2. 已知椭圆两焦点分别为f1、f2，p是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过p作倾斜角互补的两条直线pa、pb分别交椭圆于a、b两点.（）

17、求p点坐标；（）求证直线ab的斜率为定值；（）求pab面积的最大值.yoxbapf1f2分析：本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、平面向量的数量积等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力函数与方程思想方法解：（）由题可得，设则，点在曲线上，则，从而，得.则点p的坐标为.（）由题意知，两直线pa、pb的斜率必存在，设pb的斜率为，则bp的直线方程为：.由得 ，设，则，同理可得，则，.所以：ab的斜率为定值.（）设ab的直线方程：.由，得，由，得p到ab的距离为，则。当且仅当取等号三角形pab面积的最大值为。19 解析几何与向量1.设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，

18、求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.分析：本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 pbqmfoaxy故由、得或2oyx1lf（07福建）如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足

19、为点，且（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，求的值；分析：本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力 函数与方程的思想， 等价转化思想方法解法一：（）设点，则，由得：，化简得（）设直线的方程为：设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：由得：，即3如图所示，已知圆为圆上一动点，点p在am上，点n在cm上，且满足的轨迹为 曲线e. （i）求曲线e的方程； （ii）若过定点f（0，2）的直线交曲线e于不同的两点g、h（点g在点f、h之间）， 且满足，求的取值范围. 分析：本小题主要考查直线、圆、椭圆、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力 函数与方程的思想， 等价转化思想方法解：（i） np为am的垂直平分线，|na|=|nm|.又动点n的轨迹是以点c（1，0），a（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2