2018年上海市长宁区高考数学二模试卷

1、2018 年上海市长宁区高考数学二模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.“ x=2”是“ x1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2.参数方程t为参数，且0t3）（）所表示的曲线是（A. 直线B. 圆弧C. 线段D.双曲线的一支3. 点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上运动， M 是 CD 的中点，则当 P 沿 A-B-C-M 运动时，点 P 经过的路程 x 与 APM的面积 y 的函数 y=f（ x）的图象的形状大致是图中的（）A.B.C.D.4. 在计算机语言中，有一种函数y=IN

2、T （ x）叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示 y 等于不超过 x 的最大整数，如 INT （ 0.9） =0， INT（ 3.14 ）=3，已知 an=INT （10n）， b1=a1， bn=an-10an-1 （ nN* ，且 n2），则 b2018 等于（）A. 2B. 5C. 7D. 8二、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）5. 已知集合A=12m，B=2，4，若A B=1234，则实数m=_， ， ， ，第1页，共 16页6. （ x+ ） n 的展开式中的第 3 项为常数项，则正整数 n=_7. 已知复数 z满足 z2=4+3i（ i 为虚数单位），则 |z|=_8.

3、已知平面直角坐标系xOy中动点Px y1 0）的距离等于P到定直线（ ， ）到定点（，x=-1 的距离，则点P 的轨迹方程为 _9.已知数列 an 是首项为 1，公差为2的等差数列， Sn 是其前 n 项和，则=_10.设变量 x、 y 满足约束条件，则目标函数z=3x-y 的最大值为 _11. 将圆心角为 ，面积为 3的扇形围成一个圆锥的侧面， 则此圆锥的体积为 _12.三棱锥 P-ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱PB 的长为 _13. 某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0123的四个相同小球、 、的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两

4、个小球的编号相加之和等于 6，则中一等奖，等于 5 中二等奖，等于4 或 3 中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为 _14. 已知函数 f（ x） =lg （+ax）的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是 _15. 在 ABC 中，M 是 BC 的中点，A=120 ， ? =- ，则线段 AM 长的最小值为 _16. 若实数 x、 y 满足 4x+4 y=2x+1+2y+1，则 S=2x+2 y 的取值范围是 _三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）17. 已知函数 f（ x） =2sin2x+sin（ 2x+ ）（ 1）求函数 f（ x）的最小正周期和值域；（ 2）设 A，B， C

5、 为 ABC 的三个内角，若cosB= ， f（A） =2 ，求 sinC 的值18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，BAD =90，ADBC，AB=2，AD=1，PA =BC=4，PA平面 ABCD （ 1）求异面直线 BD 与 PC 所成角的大小；第2页，共 16页（ 2）求二面角A-PC-D 的余弦值19.某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10 万元到 1000 万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9 万元，同时奖金不超过收益的20%（ 1）若建立函数y=f（ x）模型制定

6、奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数 f（ x）模型的基本要求，并分析y=+2 是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（ 2）若该团队采用模型函数f（ x） =作为奖励函数模型，试确定最小的正整数 a 的值 +=1（ab 02，点P0 2）关于直线y=-x的对20. 已知椭圆： ）的焦距为（ ，称点在椭圆上（ 1）求椭圆 的方程；（ 2）如图，过点P 的直线 l 与椭圆 交于两个不同的点C，D（点 C 在点 D 的上方），试求 COD 面积的最大值；（ 3）若直线 m 经过点 M（ 1， 0），且与椭圆交于两个不同的点 A， B，是否存在直线 l 0：x=x0（其中 x0 2），使

7、得 A，B 到直线 l0 的距离 dA，dB 满足=恒成立？若存在，求出x0 的值；若不存在，请说明理由第3页，共 16页21.已知数列 an 的各项均为正数，其前n 项和为 Sn，且满足 4Sn=（ an+1） 2，若数列 bn 满足 b1=2， b2=4，且等式 bn2=bn-1bn+1 对任意 n2成立（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）将数列 an与 bn的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2， ， anbn， ，设该新数列为 cn ，求数列 cn 的通项公式和前2n 项的和 T2 n；（ 3）对于（ 2）中的数列 cn 前 n 项和 Tn，若 Tn?cn 对任意 nN*

8、都成立，求实数的取值范围第4页，共 16页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：当x=2 时，满足 x1，当 x=3 时，满足 x1但 x=2 不成立，即 “x=2”是“x1的”充分不必要条件，故选：A根据不等式的关系， 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合不等式的关系是解决本题的关键2.【答案】 C【解析】解：根据题意，参数方程，若0t 3，则有：4x31，-2y7，又由参数方程，则 y+2=（x-4），即x-3y=10，又由 4x31，-2y7，则参数方程表示的是 线段；故选：C根据题意，由参数方程中 t 的范围分析可得 x、y 的范围，结合

9、参数方程消去参数可得 x-3y=10，结合 x、y 的范围分析可得答案本题考查参数方程与普通方程的 转化，注意 t 的取值范围3.【答案】 A【解析】题）=，解：根据 意得 f （x分段函数 图象分段画即可，第5页，共 16页故选：A随着点 P 的位置的不同，讨论三种情形即在 AB 上，在 BC 上，以及在 CM 上分别建立面积的函数，分段画出图象即可本题主要考查了分段函数的 图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略4.【答案】 D【解析】解：an=INT （ 10n），b1=a1，bn=an-10an-1（nN* ，且 n2），a1=2=b1，a2=28，b2=28-

10、10 2=8，同理可得：b3=5，b4=7，b5=1，b6=4，b7=2，b8=8， ，可得：bn+6=bn则 b2018=b3366+2=b2=8故选：Dan=INT （ 10n），b，b（nN*，且n2），可得a：，a，1=a1n=an-10an-11=2=b1 2=28b2=28-10 2=8， ，可得：bn+6=bn利用周期性即可得出本题考查了数列递推关系、取整函数、数列的周期性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 5.【答案】 3【解析】解：集合A=1 ，2，m ，B=2 ，4 ，若 A B=1 ，2，3，4 ，则实数 m=3故答案为：3根据并集的定 义与性质，直接写出 m 的值

11、 本题考查了并集的定 义与应用问题，是基础题6.【答案】 4【解析】第6页，共 16页解：=展开式中的第 3 项为常数项，n-4=0，得n=4故答案为：4写出二项展开式的通 项，结合已知可得 r=2 时，x 的指数为 0，则答案可求本题考查二项式系数的性 质，关键是熟记二项展开式的通 项，是基础题7.【答案】【解析】解：由z2=3+4i，得|z2|=|z|2=5，|z|=故答案为：直接把等式两 边求模，然后开方即可求得 |z|本题考查了复数代数形式的乘除运算，考 查了复数模的求法，是基 础题8.【答案】 y2=4x【解析】解：动点 P（x，y）到定点（1，0）的距离等于P 到定直线 x=-1

12、的距离，满足抛物线的定义，p=2，所以 y2=4x所以动点 P 的轨迹方程 为：y2=4x故答案为：y2=4x 利用已知条件通 过抛物线的定义，写出动点 P 的轨迹方程本题考查点的轨迹方程的求法，考查了抛物线的定义的应用，是基本知识的考查9.【答案】【解析】解：等差数列的通项公式 an=1+2（n-1）=2n-1，n 项和公式 S22，前n=n+2=n+n -n=n第7页，共 16页则=，故答案为： 根据等差数列的定 义求出数列的通 项公式和前 n 项和公式，利用极限的定 义进行求解即可本题主要考查数列极限的求解，结合等差数列的通 项公式和前 n 项和公式是解决本题的关键10.【答案】 4【解

13、析】解：作出满足不等式 组的可行域，如图所示的阴影部分由 z=3x-y 可得 y=3x-z 可得 -z 为该直线在 y 轴上的截距，截距越小，z 越大，作直线 L：3x-y=0，可知把直线平移到A（2，2）时，Z 最大，故 zmax=4故答案为：4作出满足不等式 组的可行域，由 z=3x-y 可得 y=3x-z 可得 -z 为该直线在 y 轴上的截距，截距越小，z 越大，结合图形可求 z 的最大值本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意 义求最值，属于基础题11.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆锥的体积的求法，圆锥的侧面展开图，数形结合的解题思想方法，属于中档题.先由题意画出图形，再求

14、出圆锥底面半径和高，即可求出此圆锥的体积.【解答】解：如图：第8页，共 16页设扇形的半径为则，即R=3，R，圆锥的母线长为 3，设圆锥的底面半径 为 r，由，解得r=1，则圆锥的高为，圆锥的体积为 V=.故答案为.12.【答案】 4【解析】解：由主视图知 CP平面 ABC ，设 AC 中点为 E，则 BEAC ，且AE=CE=2 ；由左视图知 CP=4，BE=2，在 RtBCE 中，BC=4，在 RtBCP 中，BP=4 故答案为：4由主视图知 CP平面 ABC 、B 点在 AC 上的射影 为 AC 中点及 AC 长，由左视图可知 CP 长及ABC 中边 AC 的高，利用勾股定理即可求出棱

15、BP 的长 本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空 间想象能力，考查学生分析解决 问题的能力13.【答案】【解析】解：规定每位顾客从装有 0、1、2、3 的四个相同小球的抽 奖箱中，每次取出一球 记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的 编号相加之和等于6，则中一等奖，第9页，共 16页等于 5 中二等奖，等于 4 或 3 中三等奖，基本事件 总数 n=44=16，顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有：（0，3），3（，0），1（，2），2（，1），1（，3），3（，1），2（，2），共7 种，顾客抽奖中三等奖的概率为 p=故答案为：基本事件 总数 n=44=1

16、6，利用列举法求出顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有 7 种，由此能求出顾客抽奖中三等奖的概率本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题14.【答案】 -1， 1【解析】解：函数f （x）=lg（+ax）的定义域为 R， +ax 0 恒成立， -ax 恒成立，即（1-a2）x 2+10 恒成立；1-a20，解得 -1a1；实数 a 的取值范围是 -1，1故答案为：-1 ，1根据对数函数的真数大于0，得出+ax0 恒成立，再求此不等式恒成立 时 a 的取值范围本题考查 了不等式恒成立 问题 ，是基础题 15.【答案】【解析】解：ABC 中，点 M 是

17、 BC 中点，=（+）；第10 页，共 16页再由 A=120，?=-，可得 |?|?cos120 =-，|?|=1；又=（+2?+）=（+2（-） （2|?|-1）=，|，即线段 AM 的最小值是故答案为： 根据题意表示出向量，利用基本不等式求出的最小值，即可得出线段 AM 的最小值本题主要考查了平面向量的 线性运算与数量 积运算问题，是基础题16.【答案】 （ 2，4【解析】xy（xy 2x y 2x yx+1 y+1（xy）=2s，解：4）-2?22 =s -2?2 2，2+2+4= 2+2=22+2故原式变形为 s2-2?2x2y =2s，即2?2x2y=s2-2s，x y22x y时

18、02?2 2 2?（，即0s-2s ，当且仅当2 =2，即x=y取等号；）解得 2s4，故答案为（2，4根据指数式的运算性 质结合基本不等式可把条件 转化为关于 s 的不等关系式，进而可求出 s 的取值范围 利用基本不等式，构造关于某个 变量的不等式，解此不等式便可求出 该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定 该变量的最值，这是解决最 值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握17.【答案】 解：（ 1） f（ x） =2sin2x+sin（ 2x+ ） =1-cos2x+sin2xcos +cos2xsin=T=，第11 页，共 16页-1，函数值域为 0， 2；（ 2） A， B， C

19、 为 ABC 的三个内角，由 cosB= ，得 sinB=，又 f（ A） =2，即，则，2A= ，得 A= sinC=sin （A+B） =sinAcosB+cosAsinB=【解析】（1）利用倍角公式及两角和的正弦化 简变形，再由周期公式求得周期，结合正弦函数的 值域求得原函数 值域；（2）由已知求得 sinB，再由f （A）=2 求得 A ，结合 sinC=sin（A+B ），展开两角和的正弦求解本题考查三角函数中的恒等 变换应用，考查函数的周期及其最 值的求法，训练了两角和的正弦的 应用，是中档题18.【答案】 解：（ 1）在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， BAD

20、 =90，AD BC，AB=2，AD=1，PA =BC =4，PA 平面 ABCD 以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，B（ 2，0， 0），D（ 0，1， 0）， P（ 0， 0，4）， C（ 2， 4，0），=（ -2， 1， 0），=（ 2， 4，-4）， =-4+4+0=0 ，BD PC，异面直线 BD 与 PC 所成角的大小为 （ 2） =（0， 0， 4），=（ 2， 4， 0），=（0， -1， 4），=（ 2， 3， 0），设平面 APC 的法向量 =（ x， y， z），第12 页，共 16页则，取 x=2，得=（ 2，

21、 -1，0），设平面 PCD 的法向量=（ x， y， z），则，取 z=1，得=（ -6， 4， 1），设二面角A-PC-D 的平面角为 ，cos =二面角 A-PC-D 的余弦值为【解析】（1）以A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐 标系，利用向量法能求出异面直线 BD 与 PC 所成角的大小（2）求出平面 APC 的法向量和平面 PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角 A-PC-D 的余弦值本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦 值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力

22、，考查函数与方程思想、数形 结合思想，是中档题1 f x）满足的基本要求是：f x10，1000上的增函19.【答案】 解：（ ） （ ）是定义域数， f（ x）的最大值不超过9， f（ x） 在 10，1000 上恒成立若 f（ x） =+2，则当 x=10 时， f（ 10） = +2 2，而 =2，故不满足条件，y= +2 不符合团队要求的奖励函数模型（ 2） f（ x） =10-（ 10x1000）f（x）是增函数，3a+20 0，即 a -f（x）的最大值为 f（ 1000）=10-9，解得： a令 在 10， 1000 上恒成立，即2x -48x+15a0在 10， 1000上恒成

23、立，242-48 24+15a0，解得 a第13 页，共 16页综上， a又 a 为正整数， 符合条件的最小正整数a 的值为 328【解析】（1）根据条件得出 f（x）的三个条件，并判断 y=+2 是否满足 3 个条件；（2）根据（1）的三个条件列不等式即可确定a 的范围满足条件的最，从而可求小的正整数 a 的值 本题主要考查函数模型的选择实质是考查函数的基本性质时，其，同 ，确定函数关系 实质就是将文字语言转化为数学符号 语言-数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结键题变实际意义符号化果，关 是理解意，将 量的20.=1（a b 0）的焦距为 2，【答案】 解：（ 1）椭圆 ： +2c=

24、2，即 c= ，P（ 0， 2）关于直线y=-x 的对称点在椭圆上，（ -2， 0）在椭圆上，a=2，222b =a -c =1， +y2=1 ；（ 2）设过点P（0， 2）的直线方程为y=mx+2，联立方程组可得，消 y 可得（ 1+4m2） x2+16mx+12=0，=4m2-3 0，设 C（xC， yC）， D （ xD， yD），xC+xD =-， xCxD =，|CD |=?=?，点 O到直线 CD 的距离 d=，=|CD |?d=4，SCOD设 1+4m2=t ，则 t 4，SCOD =4=4=4，当 t=8 时，取得最大值，即为 1，（ 3）设直线 l 的方程为 y=k（ x-1

25、），第14 页，共 16页联立方程组，整理得：（ 1+4k2） x2-8k2x+4 k2-4=0 ，设 A（x1 ， y1）， B（ x2， y2）（ x1 x2），即有 x1+x2=， x1x2=，存在直线l 0： x=x0（其中 x0 2），使得 A， B 到 l0 的距离 dA， dB 满足：=恒成立，=，即为 2x1x2+2x0-（ 1+x0）（ x1+x2） =0，即有+2 x0-（ 1+x0） =0，222即为 8k -8+2 x0（ 1+4k ） -8k （ 1+x0） =0，故存在这样的x0 的值： x0=4【解析】（1）根据椭圆的焦距求出 c，由P（0，2）关于直线 y=-x 的对称点在椭圆 上可得 a=2，即可求出 b2，可得椭圆方程，（2）设过点 P（0，2）的直线方程为 y=mx+2，代入椭圆方程，运用韦达定理，弦长公式和点到直 线的距离，表示出三角形的面 积，再根据函数的性质即可求出最值（3）设直线 l 的方程为 y=k（x-1），代入椭圆方程，运用