2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷

1、2018 年上海市黄浦区高考数学一模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4 小题，共12.0 分）1.若x Rx1”是“”的（） ，则“A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A.B.C.D.3.一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 74. 已知 a1， a2， a3， a4 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，若线段l 1， l 2，l3， l 4 的长分别为 a1， a2， a3， a4，则（）A. 对任意的 d，均存在以 l1 ，l 2，

2、 l3 为三边的三角形B. 对任意的 d，均不存在以为 l1， l2 ， l3 三边的三角形C. 对任意的 d，均存在以 l2 ，l 3， l4 为三边的三角形D. 对任意的 d，均不存在以 l2 ，l 3， l4 为三边的三角形二、填空题（本大题共12 小题，共 36.0分）5.已知全集 U=R，集合，则（ ?UB） A=_6.函数的定义域是 _第1页，共 17页7.若复数 z 满足（ i为虚数单位），则 z=_8.已知sin（+ =-0tan =）， （， ），则9.若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为_10.若函数 y=a+sinx 在区间 ，2上有且只有一个零点，

3、则 a=_ 11. 已知向量 =（ x，y）（ x，yR）， =（1，2），若 x2+y2=1，则 | - |的最小值为 _12. 已知函数y=f x）是奇函数，且当x0 fx =log 2（ x+1）若函数 y=g（ x）（时，（ ）是 y=f（ x）的反函数，则 g（ -3） =_13. 已知 m，n， ， R，mn， ，若 ，是函数 f（ x） =2（ x-m）（ x-m） -7 的零点，则 m，n，四个数按从小到大的顺序是 _（用符号“连接起来） 14.已知点OA B F的中心、 左顶点、 上顶点、， ， ， 分别为椭圆右焦点，过点 F 作 OB 的平行线，它与椭圆 C 在第一象限部分

4、交于点P，若，则实数 的值为 _15.已知 xR，定义： A（x）表示不小于 x 的最小整数如，A（ -1.1） =-1（理科）若A2x Ax）=5，则正实数x的取值范围是_（?（216. 已知点 M（ m， 0）， m 0 和抛物线 C： y =4x过 C 的焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，若=2，且 |=|，则 m=_三、解答题（本大题共5 小题，共 74.0 分）17. 在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中， AB=AA1=4，BC=3 ，E，F 分别是所在棱 AB， BC 的中点，点 P 是棱 A1B1 上的动点，联结 EF ， AC1如图所示（ 1）求异面直线 EF

5、 ，AC1 所成角的大小 （用反三角函数值表示）；（ 2）求以 E， F ，A， P 为顶点的三棱锥的体积18. 如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边， OA为终边的角设为OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，将（ 1）用 表示 A， B 两点的坐标；（ 2） M 为 x 轴上异于 O 的点，若 MAMB ，求点 M 横坐标的取值范围第2页，共 17页19. 已知函数g x）=x Ry=fxy=gx）的反函数（， ，函数（ ）是函数（ 1）求函数 y=f （ x）的解析式，并写出定义域D；（ 2）设 h（ x）=，若函数 y=h（ x）在区间（0，1）内的图象是不间

6、断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（ -1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且-120. （理科）定义：若各项为正实数的数列 an 满足，则称数列n a 为“算术平方根递推数列”已知数列 xn 满足，且，点（xn+1，xn）在二次函数 （fx）=2x2+2x的图象上（ 1）试判断数列 2 xn+1 （ nN* ）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（ 2）记 yn=lg （ 2xn+1）（ nN* ），求证：数列 yn 是等比数列，并求出通项公式yn；（ 3）从数列 yn 中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列 zn ：第3页，共 17页若数列 z

7、n 是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列 zn 各项的和为，求正整数k、 m 的值21.已知椭圆：+=1（a b 0），过原点的两条直线l 1 和 l2 分别与 交于点 A、B和 C、 D，得到平行四边形 ACBD （ 1）当 ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S；（ 2）若直线 l1 和 l 2 关于 y 轴对称，上任意一点 P 到 l 1 和 l2 的距离分别为d1 和 d2，当 d12+d22 为定值时，求此时直线l 1 和 l 2 的斜率及该定值2 2（ 3）当 ACBD 为菱形，且圆 x +y =1 内切于菱形 ACBD 时，求 a，b 满足的关系式第4页，共 17页答案和解析

8、1.【答案】 A【解析】解：由x1，一定能得到 得到 1，但当 1 时，不能推出 x 1 （如x=-1 时），故 x1 是 1 的充分不必要条件，故选：A根据充分必要条件的定 义判断即可本题考查充分条件、必要条件的定 义，通过给变量取特殊 值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法2.【答案】 C【解析】解：作为基底不共 线即可，共线，共线，不共线，共线，故选 C作为基底不共 线即可，判断四组向量是否共 线本题考查了平面向量基本定理的 应用，属于基础题3.【答案】 A【解析】解：模拟执行程序框 图，可得k=0，S=0满足条件 S1000，S=1，k=1满足条件 S1000，S=1+2

9、=3，k=2满足条件 S1000，S=1+2+23=11，k=3第5页，共 17页满 足条件 S1000，S=1+2+23+211，k=4不满足条件 S1000，退出循环，输出 k 的值为 4故选：A模拟执行程序框 图，依次写出每次循环得到的 S，k 的值，当S=1+2+23+211 时，不满足条件 S1000，退出循环，输出 k 的值为 4本题主要考查了程序框 图和算法，正确得到每次循 环 S 的值是解题的关键，属于基础题4.【答案】 C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及其性 质、三角形两边之和大于第三 边，即可判断出 结论本题考查了等差数列的通 项公式及其性 质、三角形两边之和大于第

10、三 边，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题【解答】解A：对任意的 d，假设均存在以 l1，l2，l3 为三边的三角形，a1，a2，a3，a4 是各项均为正数的等差数列，其公差 d 大于零，a2+a3a1，a3+a1=2a2 a2，而 a1+a2-a3=a1-d 不一定大于 0，因此不一定存在以 为 l 1，l2，l3 三边的三角形，故不正确；B：由A 可知：当a1-d0 时，存在以为 l1，l2，l3 三边的三角形，因此不正确；C：对任意的 d，由于 a3+a4，a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3 0，a2+a3-a4=a10，因此均存在以l2，l3，l4 为三边的三角形，正

11、确；D由 C 可知不正确故选：C5.【答案】 x|-1x【解析】解：A=x|-1 x1 ，?UB=x|x ，则（?UB） A=x|-1x ，第6页，共 17页故答案为：x|-1 x ，求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行计算即可本题主要考查集合的基本运算，要求熟 练掌握集合的交，并，补运算，比较基础6.【答案】 （ 1，+）【解析】解：要使函数有意义，需满足解得 x1故答案为：（1，+）令被开方数大于等于0，真数大于 0，分母不为 0 得到不等式 组，求出x 的范围写出区间形式本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题7.【答案】 1+2i【解析】解：由，得 z=1+2i故答案为：1+2i

12、直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查 了复数代数形式的乘除运算，是基 础题 8.【答案】 -2【解析】解：sin（+ ）=cos，sin（+ ）=，cos =，又 （-，0），sin =-，tan =-2故答案为：-2由 （-，0）sin（+ ）=，利用诱导公式可求得 cos，从而可求得 sin 与第7页，共 17页tan 本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数 间的基本关系，属于中档题9.【答案】【解析】解：设数列中的任意一 项为 a，由无穷等比数列中的每一 项都等于它后面所有各 项的和，得 a=，即 1-q=qq=故答案为： 设数列中的任意一 项为 a，利用无穷等比数列

13、中的每一 项都等于它后面所有各项的和列方程，即可求得公比本题考查数列的极限，解题的关键是利用无 穷等比数列的求和公式，是基 础的计算题10.【答案】 1【解析】解：作函数 y=sinx 在区间 ，2上的图象如下，结合图象可知，若函数 y=a+sinx 在区间 ，2上有且只有一个零点，则 a-1=0，故 a=1；第8页，共 17页故答案为：1作函数 y=sinx 在区间 ，2上的 图象，从而结合图象解得本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想 应用11.【答案】-1【解析】解：设 O（0，0），P（1，2），|-|=| |-1=-1=-1，|-|的最小值为-1利用 |- |=| |-1

14、，即可求出本题考查了向量的模的 计算公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题12.【答案】 -7【解析】解：反函数与原函数具有相同的奇偶性g（-3）=-g（3），反函数的定 义域是原函数的 值域，log2（x+1）=3，解得：x=7，即 g（3）=7，故得 g（-3）=-7故答案为：-7根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定 义域是原函数的 值域，即可求解本题考查了反函数与原函数的性 质关系属于基础题13.【答案】 m n 【解析】解：、是函数 f（x）=2（x-m ）（x-n）-7 的零点，、是函数 y=2（x-m ）（x-n）与函数y=7的交点的横坐标，且 m、n

15、是函数 y=2（x-m）（x-n）与x 轴的第9页，共 17页交点的横坐 标，故由二次函数的 图象可知，m n ；故答案为：m n 由题意可知 、是函数 y=2（x-m ）（x-n）与函数y=7 的交点的横坐 标，且 m、n是函数 y=2（x-m）（x-n）与x 轴的交点的横坐 标，从而判断大小关系本题考查了函数的零点与函数 图象的关系 应用，属于基础题14.【答案】【解析】解：如图，A （-a，0），B（0，b），F（c，0），则 P（c， ），由，得，即 b=c，a2=b2+c2=2b2，则故答案为：由题意画出图形，求出的坐标，代入结隐含条件求得， 合实数 值的本题考查椭圆的简单性质，考查

16、了直线与椭圆位置关系的 应用，训练了平面向量在求解 圆锥曲线问题中的应用，是中档题第10 页，共 17页15.【答案】 （ 1， 【解析】解：当A （x）=1 时，0 x1，可得 42x5，得2x，矛盾，故A （x）1，当 A （x）=2 时，1 x2，可得 44x5，得1x ，符合题意，故 A （x ）=2，当 A （x）=3 时，2 x3，可得 46x5，得x，矛盾，故A （x）3，由此可知，当 A （x）4时也不合题意，故 A （x）=2正实数 x 的取值范围是（1，故答案为：（1，由 A （x）表示不小于 x 的最小整数分 类讨论可得 2x?A（x）的取值范围，解不等式验证可得本题考查

17、新定义的理解，涉及分类讨论的思想，正确 A （x）取值意义是解决本题的关键，属中档题16.【答案】【解析】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知 A （x1，y1），可知 B（x2，y2），=2，可得：2（x2-1，y2）=（1-x1，-y1），可得 y2=-，x2=，第11 页，共 17页解得 x1=2，y1=2|=|，可得 |m-1|=，解得 m=故答案为：画出图形，利用已知条件求出 A ，B 的坐标，通过向量关系求出 m 值即可本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力17.12 分）本题共有2个小题，第 1 小题满【答案】 （本题满分分（ 6 分），第 2

18、小题满分（ 6 分）解：（ 1）联结 AC，在长方体 ABCD -A1B1C1D 1 中，有 ACEF 又 CAC1 是直角三角形ACC1 的一个锐角，CAC1 就是异面直线EF， AC1 所成的角由 AB=AA1=4， BC=3 ，得 AC =5 tanCAC1= = ，即异面直线EF ， AC1 所成角为arctan （ 2）由题意可知，点P 到底面 ABCD 的距离与棱AA1 的长相等，=【解析】（1）联结 AC ，则 ACEF，CAC 1 就是异面直 线 EF，AC 1 所成的角，由此能求出异面直 线 EF，AC1 所成角（2）由题意可知，点 P 到底面 ABCD 的距离与棱 AA 1

19、 的长相等由此能出以 E，F，A，P 为顶点的三棱 锥的体积本题考查异面直 线所成角的求法，考 查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题第12 页，共 17页18.【答案】解：（ 1）点 A 是单位圆上一点， 且位于第一象限， 以 x 轴的正半轴为始边，OA 为终边的角设为， （ 0，）可得 A（ cos， sin ），将 OA 绕坐标原点逆时针旋转至 OB可得 B（ cos（），sin （），即 B（-sin ， cos）（ 2）设 M（x， 0）， x0，

20、=（ cos -x， sin ），=（ -sin -x， cos ）MA MB，可得（ cos-x）（ -sin -x） +sin cos=02，xsin -xcos +x=0可得 -x=sin -cos= sin（） （-1， 1）综上 x（ -1， 0） （0， 1）点 M 横坐标的取值范围：（ -1， 0）（ 0，1）【解析】（1）利用三角函数的定义直接表示 A ，B 坐标；（2）设出 M ，利用向量的数量 积为 0，得到关系式，然后求解点 M 横坐标的取值范围本题考查平面向量的数量 积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及 计算能力19.【答案】 （本题满分 14 分）本题共有 2 个

21、小题，第 1 小题满分（ 7 分），第 2 小题满分（ 7 分）解：（ 1） 函数 g（x） =1-，g（ x） （-1， 1）令 y=g（ x）=1-，则=1- y，即，即 x=，f（x） =， x（-1， 1）证明：（2）由（ 1）可知， h（ x） = -， x（ -1， 0） （0， 1）h（ -x） +h（ x）=- -+ -=0，所以，函数h（ x）是奇函数当 x（ 0，1）时，单调递减，=-1+单调递减，第13 页，共 17页于是单调递减因此，函数h（ x）单调递减依据奇函数的性质，可知，函数 h（ x）在（ -1， 0）上单调递减又 h（ - ） =-2+lg3 0， h（ -

22、） =-+lg199 0，所以，函数h（ x）在区间（ -1，0）上有且仅有唯一零点t，且 -1【解析】（1）由函数g（x）=，xR，结合指数的运算性 质，求出函数的值域，可得反函数的定 义域，利用反函数表示法，可得函数 y=f （x）的解析式；（2）分析函数 h（x）=的单调性和奇偶性，利用零点存在定理，可得 结论本题考查的知识点是反函数，熟练掌握反函数性质过，原函数 （a，b）点，反函数过（b，a）点，是解答的关键【答案】 解：（ 1）数列 2 xn+1 （ nN* ）是否为算术平方根递推数列，证明如下：20.2点（ xn+1， xnf（ x） =2x+2x 的图象上，）在二次函数xn=2

23、xn+12+2xn+1，2xn（2xn+1+1）2，+1=xn0， nN* ，2xn+1 +1=，数列 2 xn+1 （ nN* ）是否为算术平方根递推数列；（ 2） yn=lg （ 2xn+1）， 2xn+1+1=，yn+1= yn，y1=lg （ 2x1+1） =1 ，数列 yn 是首项为1，公比为等比数列，通项公式yn=（ ） n -1（ 3）由题意可得数列 zn 的首项为，公比为， = ， +=16，第14 页，共 17页若 m-13，则 + + + 16，矛盾，m-12，m-1=0 或 1 时， + 16，m-1=2 ，m=3，k=6【解析】（1）数列2x n+1 （nN* ）是否为

24、算术平方根递推数列，利用点（xn+1，xn）在二次函数 f（x）=2x2+2x 的图象上，可得 xn=2xn+12+2xn+1，即可证明 2xn+1+1=，从而数列2x n+1 （nN* ）是否为算术平方根递推数列；2）由yn=lg（2xn+1），2xn+1+1=，可得 yn+1=yn，即可证明 数列 yn（是首项为 1，公比为 等比数列，从而求出通 项公式 yn；题，公比为，可得 +=16，再（3）由 意可得数列 z n 的首项为分类讨论，可得正整数 k、m 的值 本题考查新定义，考查等比数列的性 质，考查学生分析解决 问题的能力，属于中档题21.【答案】 解：（ 1） ACBD 为正方形，直线 l1 和 l 2 的方程为y=x 和 y=- x，设点 A、 B 的坐标为（ x1， y1）、（ x2 ，y2 ），解方程组，得=，由对称性可知，S=4=；（ 2）由题意，不妨设直线 l1 的方程为