材料力学I第七章

1、1 7-1 概述 在第2章和第3章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不 同方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之 为一点处的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取 出的微小正六面体 单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体 内一点处的应力状态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力来 表示。 2 单向应力状态 2 0 coscos p 2sin 2 sin 0 p 3 纯剪切应力状态 2sin 2cos 4 研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以： 1. 了解材料发生破坏的

2、力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由 于在切应力最大的45 斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏 是由于在45 方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。 2. 在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力 状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律 的假设(称为强度理论)(theory of strength, failure criterion) 的基础。 5 本章将研究 . 平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态) 的概念； . 平面应力状态和三向应力状态下的应力应变关系广义胡克定律 (gene

3、ralized Hookes law)，以及这类应力状态下的应变能密度(strain energy density)； . 强度理论。 6 7-2 平面应力状态的应力分析主应力 平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存 在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平 面上都只有正应力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪切应 力状态就属于平面应力状态(参见3-4的“.斜截面上的应力”)。 7 对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内 的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，本节中的分析

4、结 果将表明A点也处于平面应力状态。 8 平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面 xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。 9 I. 斜截面上的应力 图b中所示垂直于xy平面的任意斜截 面ef 以它的外法线n与x轴的夹角 定义， 且角以自x 轴逆时针转至外法线n为正； 斜截面上图中所示的正应力 和切应力 均为正值，即 以拉应力为正，以 使其所作用的体元有顺时针转动趋势者 为正。 10 由图c知，如果斜截面ef的面积 为dA，则体元左侧面eb的面积为 dAcos，而底面bf 的面积为 dAsin。图d示出了作用于体元ebf 诸面上的力。 体元的平衡方程为 0sinsin

5、dcossind coscosdsincosdd0 n AA AAAF yy xx ， 0cossindsinsind sincosdsincosdd0 t AA AAAF yy xx ， 11 需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力y按规定为负值，但 在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的 y仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是x=y。 由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2为参变量的求 斜 截面上应力，的公式： 2sin2cos 22 x yxyx 2cos2sin 2 x yx (7-1) (7-2) 12 II. 应力圆

6、为便于求得、 ，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可 使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)(Mohrs circle for stresses)来 表示。 先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再 将两式各自平方然后相加即得： 2 2 2 2 22 x yxyx (1) 2sin2cos 22 x yxyx 2cos2sin 2 x yx 13 而这就是如图a所示的一个圆应力圆，它表明代表 斜截面上应力的点必落在 应力圆的圆周上。 O C 2 yx 2 2 2 x yx (a) D1 B1 2 2 2 2 22 x yxyx xx , 14 O C (b

7、) xx D, 1 yy D, 2 图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元体x截面上的应力 x,x按某一比例尺在坐标系（ 系）中定出点D1，依单元体y截面上的应力 y,y(取y = -x)定出点D2，然后连以直线，以它与 轴的交点C为圆心，并且以 或 为半径作圆得出。 1 CD 2 CD 2 yx 15 值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上 应力的点D1和D2所夹圆心角为180，它是单元体上相应两个面之间夹角的两 倍，这反映了前述、计算公式中以2 为参变量这个前提。 OC (b) xx D, 1 yy D, 2 16 利用应力圆求 斜截面(图a)上

8、的应力、时，只需将应力圆圆周上表 示x截面上的应力的点D1所对应的半径 按方位角的转向转动2角，得到 半径 ，那么圆周上E点的座标便代表了单元体斜截面上的应力。现证明 如下(参照图b)： 1 DC EC (a) 17 E点横座标 2sin2cos 22 2sin2sin2cos2cos 2sin2sin2cos2cos 22cos 0 1 0 1 00 0 x yxyx CDCDOC CECEOC CEOCCFOCOF 2sin2cos 22 x yxyx 2 yx 18 E点纵座标 2sin 2 2cos 2sin2cos2cos2sin 22sin 0101 0 yx x CDCD CEE

9、F 2cos2sin 2 x yx 19 III. 主应力与主平面 由根据图a所示单元体上的应力所作应 力圆(图b)可见，圆周上A1和A2两点的横座 标分别代表该单元体的垂直于xy平面的那组 截面上正应力中的最大值和最小值，它们的 作用面相互垂直(由A1和A2两点所夹圆心角 为180可知)，且这两个截面上均无切应力。 (b) 20 一点处切应力等于零的截面称为主平面 (principal plane)，主平面上的正应力称为主 应力(principal stress)。据此可知，应力圆圆 周上点A1和A2所代表的就是主应力；但除此之 外，图a所示单元体上平行于xy平面的面上也 是没有切应力的，所

10、以该截面也是主平面，只 是其上的主应力为零。 (b) 21 在弹性力学中可以证明，受力物体 内一点处无论是什么应力状态必定存在 三个相互垂直的主平面和相应的三个主 应力。对于一点处三个相互垂直的主应 力，根据惯例按它们的代数值由大到小 的次序记作1、2、3。图b所示应力圆 中标出了1和2，而3=0。 (b) 22 当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；平面应力状态下等 于零的那个主应力如下图所示，可能是1，也可能是2或3，这需要确定不等于 零的两个主应力的代数值后才能明确。 1 2 )0( 3 3 1 )0( 2 2 )0( 1 3 23 现利用前面的图b所示应力圆导出求不 等于

11、零的主应力数值和主平面位置方位角 0的解析式，由于 12 111 ACCO ACCOAO 2 2 2 2 2 1 4 2 1 2 4 2 1 2 xyx yx xyx yx 其中， 为应力圆圆心的横座标， 为应力圆的半径。故得 OC11 CDCA (7-3) (7-4) 2 yx 2 2 1 2 x yx AC 2 2 4 2 1 xyx 2 2 2 2 22 x yxyx 24 yx x BC DB 2 1 2tan 1 11 0 yx x 2 arctan2 0 或即 图c示出了主应力和主平面的方位。 (7-5) x 25 由于主应力是按其代数值排序记作1、2、3的，故在一般情况下由上 列

12、解析式求得的两个不等于零的主应力不一定就是1、2，所以应该把式中 的1、2看作只是表示主应力而已。 26 两端简支的焊接工字钢梁如图所示。试利用应力圆求危险横截面上a、b (图c) 两点处的主应力。 例题 7-2 27 1. 梁的剪力图和弯矩图如图d和e所示。危险截面为C偏左的横截面。 mkN80 kN200 S C C M F 例题 7-2 解: 28 2. 计算截面的几何性质 46 3 33 3 33 m1088 12 m10270m10111 12 m10300m10120 z I 36 3333* m10256 m105 . 7m10135m1015m10120 za S 例题 7-2

13、 29 3. 求C偏左横截面上a、b两点处的应力 MPa7 .122Pa107 .122 m135. 0 m1088 mN1080 6 46 3 a z C a y I M MPa6 .64Pa106 .64 m109m1088 m10256N10200 6 346 363* S dI SF z zaC a 例题 7-2 30 MPa4 .136 Pa104 .136m15. 0 m1088 mN1080 6 46 3 b z C b y I M 0 b 例题 7-2 31 分别围绕a、b两点用相邻的两个横截面和两个水平纵截面在梁中截取两个 单元体，如图f、g所示。 y x MPa6 .64

14、x MPa7 .122 x x x y y (f) a b (g) 例题 7-2 MPa7 .122 a MPa6 .64 a MPa4 .136 b 0 b 32 (h) 1 求a点处的主应力值和主平面方位。 在坐标系中，按选定的比例尺， 由图f所示单元体上x和y向的应力确定D1 和D2点，以 为直径画出应力圆如图 h所示。用比例尺在应力圆上量得 21D D MPa27 0,MPa150 3 21 量得2046.4o， 023.2o 主平面的方位如图i所示。 1 3 0 y x x x x x y y (i) 例题 7-2 33 b (g) 由b点的单元体(图g)可见，单元体的x 和y面上的

15、切应力均等于零，即x和y面 均为主平面，x为主应即 0 0 MPa4 .136 3 2 1 求b点处的主应力值和主平面方位。 例题 7-2 34 (1) a点处的主应力值和主平面方位 也可按应力圆上的几何关系来计算： MPa4 .150 22 2 2 1111 x xx DCCOACCOAO (h) 1 例题 7-2 35 4 .46 2/MPa7 .122 MPa4 .64 arctan 2 arctan2 0 x x 亦即 0-23.2。 MPa7 .27 22 2 2 1223 x xx DCCOACCOAO 例题 7-2 36 7-3 空间应力状态的概念 当一点处的三个主应力都不等于零

16、时，称该点处的应力状态为空间应力状态 (三向应力状态)；钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。 37 空间应力状态最一 般的表现形式如图b所 示；正应力x、y、z 的下角标表示其作用 面，切应力xy、xz、yx、yz、zx、zy的第一个下角 标表示其作用面，第二个下角标表示切应力的方向。 图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应力为正，切应力则如 果其作用面的外法线指向某一座标轴的正向而该面上的切应力指向另一座标轴的 正向时为正。 38 最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力分量，但根据切应力互等定理 有xyyx，yzzy ，xzzx，因而独立的应力分量为6个，即x、y、z、y

17、x、 zy、zx。 当空间应力状态的三个主应力1、2、3已知 时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即 平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可 用应力圆显示。 39 例如图a中所示垂直于主应力3所在平面的斜截面，其上的应力由图b所示分 离体可知，它们与3无关，因而 显示这类 斜截面上 应力的点 必落在以1 和2作出的 应力圆上(参 见图c)。 40 进一步的研究证明*，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面(图a中的abc截 面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。 同理，显示与2(或1)所在主平面垂直的那类斜截面上应力的点必落在以1 和3(或2和

18、3)作出的应力圆上。 41 据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力max=1 而最大切应力为: 31max 2 1 (7-6) (7-7) C 42 它的作用面根据应力圆点B的位置可知， 系与主应力2作用面垂直而与1作用面 成45，即下面图a中的截面abcd。 1 a b c d 45 3 2 2 1 (a) a c d 1 2 2 31 max 2 31 b 2 3 C 43 根据切应力互等定理可知，在与截面abcd垂直的截面efgh上有数值上与 max相等的切应力，如下面图b中所示。 max 45 (b) e f g h 2 2 3 1 a b c d 45 3 2 2 1 (a)

19、a c d 1 2 2 31 max 2 31 b 2 3 44 试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应 力的值及它们的作用面方位。 例题 7-3 45 1. 图a所示单元体的前后两面 (z截面)上无切应力，因而该面上的正应力z=20 MPa为已知的主应力。 例题 7-3 解: 46 2. 垂直于该主平面的各截面上的应力 与主应力z无关，故可根据x截面和y截面 上的应力画出应力圆。如图b所示。 (-20,20) (40, -20) (b) 510(MPa)0 比例尺 例题 7-3 ),( xx ),( yy 0 2 47 从圆上得出两个主应力分别为46 MPa和-2

20、6 MPa。这样就得到了包括z=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为146 MPa，220 MPa， 3-26 MPa。 由应力圆得20=34 ，0=17 ，由此 确定1的方向，其主单元体如图c所示。 例题 7-3 48 其作用面与2垂直与 1方向成45角(图c)。 MPa36 max CB 图b所示的应力圆的主应力为1和3，其半径 为 最大切应力，由应力圆量得 )( 2 1 31 CB (-20,20) (40, -20) (b) 5 10(MPa)0 比例尺 例题 7-3 49 7-4 应力与应变间的关系 前已讲到，最一般表现形式的空间应力状态有6个独立的应力分量： x 、

21、y 、z 、xy 、 yz 、zx；与之相应 的有6个独立的应变 分量：ex、ey 、ez、 gxy 、gyz 、gzx。 50 关于应力分量的正负已于7-3中讲述；至于应变分量的正负为了与应力分量的 正负相一致，规定：线应变ex , ey , ez以伸 长变形为正，切应变 gxy、gyz 、gzx 以使单 元体的直角xOy 、 yOz 、zOx减小 为正。 51 本节讨论在线弹性范围内，且为小变形的条件下，空间应力状态的应力分量 与应变分量之间的关系，即广义胡克定律。 52 I. 各向同性材料的广义胡克定律 对于各向同性材料，它在任何方向上的弹性性质相同，也就是它在各个方向 上应力与应变之间

22、的关系相同。因此，对于各向同性材料： (1) 在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包 含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变； (2) 在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直 的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。 53 现在来导出一般空间应力状态(图 a)下的广义胡克定律。因为在线弹性, 小变形条件下可以应用叠加原理，故 知x方向的线应变与正应力之间的关系 为(广义胡克定律) zyx z y x x EEEE e 1 同理有 yxzzzxyy EE ee 11 ， (7-8a) 54 至于切应变

23、与切应力的关系，则 根据前面所述可知，切应变只与 切应变平面内的切应力相关，因 而有 GGG zx zx yz yz xy xy g g g， (7-8b) 55 对于图b所示的那种平面应力状态(z0，xz=zx=0，yz=zy=0)，则胡克定 律为 G E E E xy xy yxz xyy yxx g g e e e e e e 1 1 y x xy yx (b) 各向同性材料的三个弹性常数E、G、 之间存在如下关系： 12 E G (7-8c) (7-10) zyxx E e 1 zxyy E e 1 yxzz E e 1 56 当空间应力状态如下图所示以主应力表示时，广义胡克定律为 2

24、133 3122 3211 1 1 1 e e e E E E 式中，e1、e2、e3分别为沿主应力1、2、3方向的线应变。 (7-9a) zyxx E e 1 57 对于各向同性材料由于主应力作用下，在任何两个主应力构成的平面内不 发生切应变，因而主应力方向的线应变就是主应变 一点处两个相互垂直方向 间不发生切应变时该两个方向的线应变。 213 122 211 1 1 e e e e e e E E E 在平面应力状态下，若30，则以主应力表示的胡克定律为 (7-9b) 3211 1 e E 2133 1 e E 3122 1 e E 58 已知构件受力后其自由表面上一点处x方向的线应变ex

25、240 10-6，y 方向 的线应变ey=-160 10-6，试求该点处x和y截面上的正应力x和y，并求自由表 面法线的线应变ez。已知材料的弹性模量E=210 GPa，泊松比0.3。 例题 7-A 59 1. 构件的自由表面上无任何应力，故知该点处于平面应力状态。 例题 7-A 解: (7-8c) 0 z yxz xyy yxx E E E e e e 1 1 60 2. 根据平面应力状态的胡克定律，得 MPa33.44Pa1033.44 101603 . 010240 3 . 01 Pa10210 1 6 66 2 9 2 yxx E eee e MPa3 .20Pa103 .20 102

26、403 . 010160 3 . 01 Pa10210 1 6 66 9 2 xyy E eee e 例题 7-A yxz xyy yxx E E E e e e 1 1 61 再根据平面应力状态的胡克定律求得 6 66 9 103 .34 Pa103 .20Pa103 .44 Pa10210 3 . 0 yxz E e e 需要注意的是，题文中给出了x和y方向的线应变，并未说明在xy平面内无 切应变，故不能把求得的x和y认为是主应力。 例题 7-A yxz E e 62 *II. 各向异性材料的广义胡克定律 各向异性材料受力时，正应力会引起切 应变，而切应力也会引起线应变。完全各向 异性的材

27、料在一般空间应力状态下，三个相 互垂直平面上的6个独立的应力分量x、y、 z、yz、zx、xy中的每一个都可引起6个应变 分量ex、ey、ez、gyz、gzx 、gxy。 63 xyzxyzzyxx CCCCCC e e 161514131211 xyzxyzzyxy CCCCCC e e 262524232221 xyzxyzzyxz CCCCCC e e 363534333231 xyzxyzzyxyz CCCCCC g g 464544434241 xyzxyzzyxzx CCCCCC g g 565554535251 xyzxyzzyxxy CCCCCC g g 66656463626

28、1 从而在线弹性范围内且小变形的条件下，应力分量与应变分量之间的关系可表达 为 (7-11) zyxx E e 1 G xy xy g 64 上式即是完全各向异性材料的广义胡克定律。式中的Cij为弹性常数，其第一 个下角标 i（1，2， ，6）表示它对应于应变分量ex、ey、ez、gyz、gzx、gxy中 的第几个，例如C24表示ey对应于yz的弹性常数。从式中可见，完全各向异性的材 料总共有36个弹性常数。 利用功的互等定理很容易证明，上列弹性常数中存在Cij=Cji这一互等关系， 也就是说，在上列一组式子中有(366)/215对弹性常数是互等的。可见完 全各向异性的材料只有361521个独

29、立的弹性常数。 65 对于完全各向异性的材料，若沿x、y、z方向的正应力为主应力1、2、3， 因而xy0，yz=0，zx=0，则按广义胡克定律有 343242141 g gCCC yz 353252151 g gCCC zx 363262161 g gCCC xy 可见在任何两个主应力构成的平面内均发生有切应变，所以主应力方向并 非主应变的方向，或者说，主应力方向和主应变方向不相重合。 xyzxyzzyxyz CCCCCC g g 464544434241 66 工程上应用的将单向排列碳纤维浇注于环氧树脂中形成的单向复合材料，它 们具有三个弹性性能对称面(参见下图)，从而具有三个弹性性能对称轴

30、，这种各 向异性材料称为正交异性材料(orthogonal composite material)。 67 当正交异性材料中一点处三个相互 垂直面上的六个独立应力分量均平行于 材料的弹性对称轴时，根据对称性原则 可知，这三个面上的正应力在弹性对称 轴方向只产生线应变，这三个面上的切 应力只在它们各自的自身平面内产生切 应变。 68 因此，当正交异性材料一点处的六个独立应力分量平行于材料的弹性对称轴x， y，z时，广义胡克定律为 zyxx CCC e e 131211 zyxy CCC e e 232221 zyxz CCC e e 333231 yzyz C g g 44 zxzx C g g

31、 55 xyyx C g g 66 考虑到上式中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交异性材料共有9个独立的弹性 常数。 (7-12) xyzxyzzyxx CCCCCC e e 161514131211 xyzxyzzyxyz CCCCCC g g 464544434241 69 III. 各向同性材料的体应变 材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应变q。 321 321332211 111 aaa aaaaaa V VV e ee ee e q q 取三个边长分别为a1、a2、a3的单元体，它在受 力而变形后边长分别为a1(1+e1)，a2(1+e2)， a3(1+e3)

32、，故体应变为 70 将上式展开并略去高阶微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性材料的广义 胡克定律得 321321 21 e ee ee eq q E (7-13a) 2133 3122 3211 1 1 1 e e e E E E 71 对于以最一般形式表达的空间应力状态，由于 单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当 于这个平面内的二向等值拉压(1，3， 20），从而从上列体应变公式中可见，它们 引起的体应变为零. 由此，对于各向同性材料，在一般空间应力状态下的体应变也只与三个线应变 之和有关，即 zyxzyx E e ee ee eq q 21 (7-13b)

33、321321 21 e ee ee eq q E 72 边长a =0.1 m的铜质立方体，置于刚性很大的钢块中的凹坑内(图a)，钢块 与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载F =300 kN时，铜 块内的主应力，最大切应力，以及铜块的体应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。 例题 7-B 73 1. 铜块水平截面上的压应力为 MPa30Pa1030 m1 . 0 N10300 6 2 3 A F y 例题 7-B 解: 74 2. 铜块在y作用下不能横向膨胀，即ex=0， ez0，可见铜块的x截面和z截面上必有x和 z存

34、在(图b) 。 按照广义胡克定律及ex0和ez0的条件有方程： 0 1 0 1 yxzz zyxx E E e e e e 例题 7-B 75 从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显然x=z。于是解得 MPa5 .15 Pa105 .15Pa1030 34. 01 34. 0 1 66 yzx 由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以x， y，z都是主应力，且 MPa30 MPa5 .15 3 21 例题 7-B 76 3. 铜块内的最大切应力为 MPa25. 7 MPa30MPa5 .15 2 1 2 1 31max 例题 7-B 77 4. 铜块的体应变为 4 666 9 321 109

35、5. 1 Pa1030Pa105 .15Pa105 .15 Pa10100 34. 021 21 q q E 例题 7-B 78 7-5 空间应力状态下的应变能密度 在第2章“轴向拉伸和压缩”中已讲到，应变能密度是指物体产生弹性变形时 单位体积内积蓄的应变能，并导出了单向拉伸或压缩应力状态下的应变能密度计 算公式： 2 2 222 1 e e ee E E v 在第三章“扭转”中讲到了纯剪切这种平面应力状态下的应变能密度： 2 2 222 1 g g gg G G v 在此基础上，本章讲述空间应力状态下的应变能密度。 79 空间应力状态下，受力物体内一点处的三个主应力有可能并非按同一比例 由零

36、增至各自的最后值，例如1先由零增至最后的值，然后2由零增至最后的 值，而3最后才由零增至最后的值。 但从能量守恒定律可知，弹性体内的应变能和应变能密度不应与应力施加 顺序有关而只取决于应力的最终值，因为否则按不同的加载和卸载顺序会在弹 性体内累积应变能，而这就违反了能量守恒定律。 80 把由主应力和主应变表达的广义胡克定律代入上式，经整理简化后得 133221 2 3 2 2 2 1 2 2 1 E v 为了便于分析，这里按一点处三个主应力按同一比例由零增至最后的值这 种情况，即通常所称的比例加载或简单加载情形，来分析以主应力显示的空间 应力状态下，各向同性材料在线弹性且小变形条件下的应变能密

37、度。此时： 332211 2 1 e e e e e e v (7-14) e 2 1 v 单向应力状态时 2133 3122 3211 1 1 1 e e e E E E 81 体积改变能密度和形状改变能密度 图a所示单元体在主应力作用下不仅其体积会 发生改变，而且其形状(指单元体三个边长之比) 也会发生改变。这就表明，单元体内的应变能密 度ve包含了体积改变能密度vv和形状改变能密度vd 两部分，即 vevvvd。 82 如果将图a所示应力状态分解为图b和图c所示两种应力状态，则可见： (1)图(b)所示的三个主应力都等于平均应力m=(1+2+3)/3 的情况下,单 元体只有体积改变而无形

38、状改变，其应变能密度就是体积改变能密度，而形状 改变能密度为零。 83 (2) 图c所示三个主应力分别为1-m，2-m，3-m的情况下，三个主应力 之和为零，单元体没有体积改变而只有形状改变，故该单元体的应变能密度就是 形状改变能密度，而体积改变能密度为零。 84 由以上分析可知： (1) 图a所示单元体的体积改变能密度就等于图b所示单元体的应变能密度， 故对图a所示单元体有 2 321 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 mV 6 21 2 213 2 2 1 | e EE E vv b单元体 (7-15) 133221 2 3 2 2 2 1 2 2 1 E v 85 2

39、13 2 32 2 21 m1m3 m3m2m2m1 2 m3 2 m2 2 m1 d 6 1 2 2 1 | E E vv c单元体 在下一节所讲的强度理论中要运用形状改变能密度。 (2) 图a所示单元体的形状改变能密度就等于图c所示单元体的应变能密度， 故对图a所示单元体有 (7-16) 133221 2 3 2 2 2 1 2 2 1 E v 86 7-6 强度理论及其相当应力 材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限，脆性材料的强度极限)总 可通过拉伸试验和压缩试验加以测定；材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强 度(剪切强度)可以通过例如圆筒的扭转试验来测定。 但是对于材料在一

40、般平面应力状态下以及三向应力状态下的强度，则由于不等 于零的主应力可以有多种多样的组合，所以不可能总是由试验加以测定。因而需要 通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强 度破坏的力学 87 材料的强度破坏有两种类型； . 在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂； . 产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。 工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为 . 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论 和最大伸长线应变理论； . 研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论 和形状改变能密度理论。 因素的假设强度理论，以便利用单向拉伸

41、、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强 度来推断复杂应力状态下材料的强度。 88 (1) 最大拉应力理论(第一强度理论) 受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应 力作用面等现象的启迪，第一强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处三个主 应力中的拉伸主应力1达到该材料在单轴拉伸试验或其它使材料发生脆性断裂的试 验中测定的极限应力u时就发生断裂。 可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为 u1 而相应的强度条件则是 1 其中，为对应于脆性断裂的许用拉应力，u/n，而n为安全因数。 (7-17) 89 (2)最大伸长线应变理论(第二强度理论) 从大理石等材料单轴压缩时在伸长 线应变最大的横向发生断裂(断裂面沿

42、施加压应力的方向，即所谓纵向)来判断， 第二强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处的最大伸长线应变e1达到该材 料在单轴拉伸试验、单轴压缩试验或其它试验中发生脆性断裂时与断裂面垂直的 极限伸长应变eu时就会发生断裂。 可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为 u1 e ee e 90 对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变eu， 如果是由单轴拉伸试验测定的(例如对铸铁等脆性金属材料)，那么eu u/E； 如果 是在复杂应力状态的试验中测定的(低碳钢在三轴拉伸应力状态下才会未 经屈服而发生脆性断裂)，则 与试验中发生脆性断裂时的三个主应力均有联系。 由广义胡克定理公式(7-9a) 3211 1

43、ee E u u e u e 91 EE u 321 1 亦即 u321 与前式比较得: 相应的强度条件为 321 按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力状态下反而比单轴拉 伸应力状态下不易断裂，而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。 将上式右边的 除以安全因数n,即 u ) 1(/nn u 代入上式并考虑安全因素,可列得 (7-18) 3211 1 ee E u 1 92 (3) 最大切应力理论(第三强度理论) 低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现 象，而滑移面又基本上是最大切应力的作用面(45 斜截面)。据此，第三强度理论 认为，在任何应力状态下当一点处的最大切应力max达到该

44、材料在试验中屈服时最 大切应力的极限值u时就发生屈服。 第三强度理论的屈服判据为 umax 对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限s，从而有us/2的材料(例如低碳钢),再与 (7-7)式比较,上列屈服判据可写为 22 s31 s31 即 31max 2 1 93 相应的强度条件则为 31 从上列屈服判据和强度条件可见，这一强度理论没有考虑复杂应力状态下的 中间主应力2对材料发生屈服的影响；因此它与试验结果会有一定误差(但偏于安 全)。 (4) 形状改变能密度理论(第四强度理论) 注意到三向等值压缩时材料不发生 或很难发生屈服，第四强度理论认为，在任何应力状态下材料发生屈服是由于一 点处的形状改变能

45、密度vd达到极限值vdu所致。 由上式并考虑安全因素,可列得 ) 1(/nn s 其中 s31 (7-19) 94 于是，第四强度理论的屈服判据为 dud vv 对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限s的材料，注意到试验中1 s， 23 0，而相应的形状改变能密度的极限值,将以上各值代入(7-16)式可列得 2 sdu 2 6 1 E v 2 13 2 32 2 21d 6 1 E v 而在一般的应力状态下由(7-16)可写为 2 s 2 13 2 32 2 21 2 6 1 6 1 EE 2 13 2 32 2 21d 6 1 E v 按照这一强度理论的观点的屈服判据 dud vv 比较可得 95

46、 此式中，1、2、3是构成危险点处的三个主应力，相应的强度条件则为 2 13 2 32 2 21 2 1 亦即 s 2 13 2 32 2 21 2 1 这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果， 但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。 ) 1(/nn s 其中 (7-20) 96 (5) 强度理论的相当应力 上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式： r 式中，r是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个值，它相当于单轴 拉伸应力状态下强度条件中的拉应力，通常称r为相当应力。表7-1示出 了前述四个强度理论的相当应力表达式。 97 相当应力表达式

47、强度理论名称及类型 第一类强度理论 (脆性断裂的理论) 第二类强度理论(塑 性屈服的理论) 第一强度理论 最大拉应 力理论 第二强度理论 最大伸长线应 变理论 第三强度理论 最大切应 力理论 第四强度理论 形状改变能密 度理论 1r1 321r2 313r 2/1 2 13 2 32 2 21r4 2 1 表7-1 四个强度理论的相当应力表达式 98 7-8 各种强度理论的应用 强度理论着眼于材料的破坏规律.实验表明,不同材料的破坏因素可能不同,而同 一种材料在不同的应力状态下也可能具有不同的破坏因素. 如带尖锐环形深切槽的低碳钢试样在单轴拉伸时， 由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的

48、应力状态,无明显的塑性变形,就沿切槽根部发生脆 性断裂。而对于像低碳钢一类的塑性材料，(没有 切槽的）单轴拉伸时，一般不会发生脆性断裂。 99 又如圆柱形大理石这样的脆性材料试样，在轴向压缩并利用液体径向施 压时会产生显著的塑性变形而失效。 100 1、前述各种强度理论是根据下列条件下材料强度破坏的情况作出的假设， 它们也是应用这些强度理论的条件：常温(室温)，静荷载(徐加荷载)，材料接 近于均匀,连续和各向同性。 需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应力状态有关。 根据试验资料可把各种强度理论的适用范围归纳如下: 2、不论是脆性或塑性材料，在三轴拉伸应力状态下都会发生脆性断裂，宜 采用最大拉

49、应力理论。 101 3、对于脆性材料在二轴拉应力状态下应采用最大拉应力理论。 4、对于像低碳钢一类的塑性材料，除三轴拉伸应力状态外，各种复杂应力状态 下都会发生屈服现象。一般以采用形状改变能密度理论为宜，但最大切应力理论 的物理概念较为直观，计算较为简捷，而且计算结果偏于安全，因而常采用最大 切应力理论。 5、在三轴压缩应力状态下，不论塑性材料还是脆性材料，通常都会发生屈服失 效，故一般应采用形状改变能密度理论。 102 上述的一些观点，目前在一般的工程设计规范中都有反映。例如，对钢梁 的强度计算一般均采用第四强度理论（形状改变能密度理论）；又如对承受内 压作用的钢管进行计算时多采用第三强度理

50、论（最大切应力理论）。 103 纯剪切平面应力状态下许用应力的推算: 纯剪切平面应力状态下，根据第三章68页的公式，可相应列得： ， 321 0 低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸应力状态下均发生塑性最大切应 力理论屈服，故可用单轴拉伸许用应力按第三或第四强度理论推算许用切应力 。按第三强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件将以上的值代入 可列得 可见 5 . 0 2 2 亦即 31 104 按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为 可见 577. 0 3 在大部分钢结构设计规范中就是按 =0.577 然后取整数来确定低碳钢的 许用切应力的。例如规定 170 MPa，而 100 MPa。

51、 222 00 2 1 3 亦即 2 13 2 32 2 21 2 1 ， 321 0 105 铸铁一类的脆性材料，纯剪切(圆杆扭转)和单向拉伸应力状态下均发生脆性 断裂，故可用单轴拉伸许用应力t按第一或第二强度理论推算许用切应力 。 按第一强度理论 ，纯剪切应力状态下的强度条件为 t 可见 t 1 ， 321 0 106 按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为 t 0 因铸铁的泊松比0.25，于是有 可见 t t 8 . 0 25. 1 t 25. 1 25. 1 t 亦即 321 ， 321 0 107 试校核图a所示焊接工字梁的强度。已知：梁的横截面对于中性轴z的惯 性矩为 Iz

52、= 88106 mm4；半个横截面对于中性轴z的静矩为S*z,max = 338103 mm3；梁的材料为Q235钢，其许用应力为 170 MPa， 100 MPa。 y 例题7-C 108 由FS和M图可见，C偏左截面为危 险截面，其应力分布如图d所示，max 在横截面的上、下边缘处，max在中 性轴处，a点处的a、a也比较大，且 该点处于平面应力状态。该梁应当进 行正应力校核、切应力校核，还应对 a点用强度理论进行校核。 (b) (c) y z a (e) a max max a (d) (a) 例题7-C 109 1. 按正应力强度条件校核 弯矩图如图c所示，可知最大弯矩为Mmax80

53、kNm。 最大正应力为 MPa4 .136 m1088 m10150mN1080 46 33 maxmax max z I yM 故该梁满足正应力强度条件。 (c) 例题7-C 110 2. 按切应力强度条件校核 此梁的剪力图如图b，最大剪力为FS,max=200 kN。 梁的所有横截面上切应力的最大值在AC段各横截面上的中性轴处： MPa4 .85 m109m1088 m10338N10200 346 363 * max,max,S max dI SF z z 它小于许用切应力,满足切应力强度条件。 (b) 例题7-C 111 3. 用强度理论校核a点的强度 a点的单元体如图f所示，a点的正

54、应力和切应力分别为 MPa7 .122 m1088 m10135mN1080 46 33 max z a a I yM MPa6 .64 m109m1088 m10)5 . 7135(m1015m10120N10200 346 3333 * ,max,S dI SF z az a a a a (f) y 例题7-C 112 由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第四强度理论校核a点的强 度。 MPa166)MPa6 .64(3)MPa7 .122( 3 %5%6 . 4%100 178 170-178 MPa178)MPa6 .64(4)MPa7 .122( 4 22 22 r4 22

55、22 r3 aa aa 所以a点的强度也是安全的。 例题7-C 113 1. 在腹板和翼的交界处是有应力集中的，按上述方法对a点进行强度校核只是 一种实用计算方法。对工字型钢不需要对腹板和翼缘交界处的点用强度理论进 行强度校核。因为该处有圆弧过度，增加了该处截面的厚度。 例题7-C a a a (f) y 114 2. 图示平面应力状态为工程中常见的应力状态，其主应力分别为 0,) 2 ( 2 2 22 1 3 将它们分别代入r3=1-3及 )()()( 2 1 2 13 2 32 2 21r4 后，得 在解题时，可直接引用以上两式，而不必推导。 22 r4 22 r3 3,4 例题7-C 115 图示两端密封的圆筒形薄壁压力容器，内压力的压强为p。试按第四强度 理论写出圆筒内壁的相当应力表达式。 例题 7-D 116 图示受内压力作用得圆筒 形薄壁容器，由于两端得 内压力作用使圆筒产生轴 向拉伸，所以其横截面上 有均匀分布的拉应力 ； 由于径向内压力的作用使 圆筒的周长增加，因此其径向截面上有均匀分布的