2015年中考数学复习课件+教学案+练习第21讲特殊三角形

1、陕西省 数 学 第五章图形的性质(一) 第21讲特殊三角形 要点梳理 1等腰三角形 (1)性质： 相等， 相等，底边 上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”； (2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三 角形是等腰三角形 两腰两腰 两底角两底角 要点梳理 2等边三角形 (1)性质： 相等，三内角都等于 ； (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 三边三边60 要点梳理 3直角三角形 在ABC中，C90. (1)性质：边与边的关系(勾股定理)：a2b2 ； (2)角与角的关系：AB ； 90 c2 要点梳理 (3)边与角的关系：若A30，则 a1 2c

2、，b 3 2 c； 若 a1 2c，则A30； 若A45，则 ab 2 2 c； 若 a 2 2 c，则A45； 斜边上的中线 m1 2cR(其中 R 为三角形外接圆的半 径) 要点梳理 (4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如 果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个 三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等 于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 一个方法 面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一，使 用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法 或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明 的结论 两个特殊角：在直角三角形中斜边上中线等于斜边 的一半，同时

3、这条中线将直角三角形分成了两个等 腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三 角形中，含锐角30、45这两类是较为特殊的， 它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在 心 三个防范 (1)在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上 的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因 实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形 (2)有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和 腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行 讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在 底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角 还是底角进行讨论注意运用分类讨论的方法，将 问题考虑全面，不能想当然 (3)在已知三角形三边

4、的前提下，判断这个三角形是否 为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根 据勾股定理的逆定理来判定在解题时，往往受思维 定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就是斜边 ，从而造成误解 等腰三角形有关边角的讨论 【例1】(1)(2014盐城)若等腰三角形的顶角为40 ，则它的底角度数为( ) A40B50 C60D70 (2)(2014潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的 另两条边的边长是关于x的一元二次方程x212xk 0的两个根，则k的值是( ) A27 B36 C27或36 D18 D B 【点评】在等腰三角形中，如果没有明确底边和 腰，某一边可以是底，也可以是腰同样，某一角 可以

5、是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论 1(1)(2014宜昌)如图，在ABC中，ABAC， A30，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交 AC于点D，连接BD，则ABD( ) A30 B45 C60 D90 B (2)(2013黔西南州)如图，已知ABC是等边三角形 ，点B，C，D，E在同一直线上，且CGCD，DF DE，则E 度 (3)(2013白银)等腰三角形的周长为16，其一边长 为6，则另两边为 15 6,4或或5,5 等腰三角形的性质 【例2】(2014杭州)在ABC中，ABAC，点 E，F分别在AB，AC上，AEAF，BF与CE相交 于点P.求证：PBPC，并直接写出图中其他相等 的

6、线段 解：在ABF 和ACE 中， ABAC， BAFCAE， AFAE， ABF ACE(SAS)，ABFACE(全等三角形的对应角相等)，BF CE(全等三角形的对应边相等)，ABAC，AEAF，BECF， 在BEP 和CFP 中， BPECPF， PBEPCF， BECF， BEPCFP(AAS)， PBPC， BFCE， PEPF， 图中相等的线段为PEPF， BECF，BFCE 【点评】在证明线段相等时，利用全等三角形的 对应角相等向两腰转化构造等腰三角形是常用的解 题方法之一 2(2012肇庆)如图，已知ACBC，BDAD，AC 与BD交于点O，ACBD.求证：(1)BCAD； (

7、2)OAB是等腰三角形 解：(1)ACBC，BDAD，DC90， 在RtACB和RtBDA中，ABBA，ACBD， ACB BDA(HL)，BCAD (2)由ACB BDA得CABDBA， OAB是等腰三角形 等边三角形 【例3】(2013聊城)如图，在等边ABC中，AB 6，D是BC的中点，将ABD绕点A旋转后得到ACE ，那么线段DE的长度为 【点评】在解题的过程中要充分利用等边三角形 特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可 以让我们轻松找到证明全等所需的条件 3(1)(2014益阳)如图，将等边ABC绕顶点A顺时 针方向旋转，使边AB与AC重合得ACD，BC的中 点E的对应点为F，

8、则EAF的度数是 60 (2)(2012荆州)如图，ABC 是等边三角形，P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PEAB 于点 E，线段 BP 的垂直 平分线交BC 于点 F，垂足为点 Q.若 BF2，则 PE 的长 为( ) A2 B2 3 C. 3 D3 C 直角三角形、勾股定理 【例4】(1)(2014无锡)如图，ABC中，CDAB 于D，E是AC的中点若AD6，DE5，则CD的长 等于 8 (2)(2013山西)如图，在矩形纸片ABCD中，AB12 ，BC5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A 落在对角线BD上的点A处，则AE的长为_ 【点评】在线段的长无法直接求出时，可利 用另

9、一线段把这一线段表示出来，然后利用勾 股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾 股定理解决线段长的常用方法 4(1)(2014东营)如图，有两棵树，一棵高12米 ，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树 的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞 行 米 10 (2)(2013绥化)已知：如图在ABC，ADE中，BAC DAE90，ABAC，ADAE，点C，D，E三点在同一 条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：BDCE； BDCE；ACEDBC45；BE22(AD2AB2) ，其中结论正确的有( C ) A1个 B2个 C3个 D4个 试题在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求ABC的度数 错解 解：如图，在RtBHD和RtACD中，CCAD90，CHBD 90，HBDCAD.又BHAC，BHD ACD，BD AD.ADB90，ABC45. 正解 解：这里的ABC有两种情况，ABC是锐角(图)或ABC是钝角(图 )如图，在RtBHD和RtACD中，易得DCADHB.又ACBH， DHB DCA，ADDB，DBA45，ABC135.综上： ABC45或ABC135. 试题已知ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC 边长的一半，试求BAC的度数 错解 解：如图，ADBC，ADBCBDCD，BADB CCAD45，