2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二(下)期中数学试卷

1、2018-2019 学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4 小题，共12.0 分）1.设 z1， z2 是复数，则下列命题中的假命题是（）A.C.若 |z1 -z2|=0，则 =B. 若 z1= ，则 =z2若 |z1 |=|z2|，则 z1? =z2?D. 若 |z1|=|z2|，则 z12=z222.已知 ，是两个不同的平面，直线l? ，则“ l”是“ ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 过平面 外一点 A 引线段 AB，AC 以及垂段 AO，若 AB 与 所成角是 30

2、 ，AO=6，ACBC，则线段 BC 长的范围是（）A. （ 0，6）B. （ 6， +）C. （0，6）D. （6，+）4. 如图，已知正四面体 D-ABC（所有棱长均相等的三棱锥） ，P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点， AP=PB， = =2 ，分别记二面角 D -PR-Q，D -PQ-R，D-QR-P 的平面角为 、 ，则（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12 小题，共 36.0 分）5. 复数（ 1-2i）（ 3+i ）的虚部为 _6. 如图所示， 在复平面内， 网格中的每个小正方形的边长都为 1，点 A、B 对应的复数分别是z1、 z2，则=_7 .复数 i

3、 +i 3+i5+ +i 2019=_8.一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是_9. 复数 z 满足 |z+i|+|z-i|=2，则 |z+i+1|的最小值是 _10.在复数集中因式分解42x -6x +25=_ 11.设z是复数，azzn是最小正整数n，则=_（ ）表示满足=1第1页，共 19页12.已知 是实系数一元二次方程22| | ，2则实x -（ 2m-1） x+m +1=0 的一个虚数根，且数 m 的取值范围是 _13.圆锥底面半径为 10，母线长为 30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是 _14.已知直三棱柱 ABC -A1B1C1 中， A

4、BC=120， AB=2， BC=CC1=1，则异面直线 AB 1与 BC1 所成角的余弦值为 _15.设m n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，对于以下命题：（1）若 mn， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等；（ 2）若 mn，m， n，则 ；（ 3）若 m， ，则 m；（ 4）若 m， ，则 m其中正确命题的序号是_16.四面体 ABCD 中，面 ABC 与面 BCD 成 60 的二面角， 顶点 A 在面 BCD 上的射影H是 BCD 的垂心， G 是 ABC 的重心，若AH =4， AB=AC，则 GH =_三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17. 已

5、知复数 z=（ - i ） 2 是一元二次方程 mx2+nx+1=0 （ m， nR）的一个根（ 1）求 m 和 n 的值；（ 2）若 z1=（ a-2i） z， aR， z1 为纯虚数，求 |a+2i|的值18. 如图，已知正方体 ABCD -A B CD 的棱长为 1（ 1）正方体 ABCD -AB C D 中哪些棱所在的直线与直线 A B 是异面直线？（ 2）若 M， N 分别是 AB， BC的中点，求异面直线 MN与 BC 所成角的大小19. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶

6、一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马如图所示，在P-ABCD 中， PD 底面ABCD （ 1）若 AD=CD=4m，斜梁 PB 与底面 ABCD 所成角为 15，求立柱 PD 的长（精确到 0.0lm）；第2页，共 19页（ 2）证明：四面体 PDBC 为鳖臑；（ 3）若 PD=2 ，CD=2，BC=1，E 为线段 PB 上一个动点， 求 ECD 面积的最小值20. 如图，四棱柱 ABCD -A1 B1 C1D 1 中，侧棱 A1A底面 ABCD ，ABDC，ABAD ，AD =CD =1，AA1=AB=2，E 为棱 AA1的中点（ ）证明 B1C1CE；（ ）求二面角 B1-CE-C1 的正

7、弦值（ ）设点 M 在线段 C1E 上，且直线 AM 与平面 ADD 1A1所成角的正弦值为，求线段AM 的长21.设 zC，且（ 1）已知 2f（ z） +-4z=-2+9 i（ zC），求 z 的值；（ 2）若 Rez0，设集合 P1-2i?f（ z）+2i ?-12=0 ，zC ，P2= | =iz= z|f（ z）?，zP1 ，求复平面内P2 对应的点集表示的曲线的对称轴；（ 3）若 z1=u（ uC），是否存在u，使得数列z1，z2， 满足 zn+m=zn（ m 为常数，且 mN* ）对一切正整数 n 均成立？若存在，试求出所有的 u，若不存在，请说明理由第3页，共 19页第4页，共

8、 19页答案和解析1.【答案】 D【解析】对，则，所以为真；解： （A ），若|z1-z2|=0z1-z2=0 z1=z2对（）若则z1和 z互为共轭复数，所以为真；B，2对（C）设 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，若|z1|=|z2|，则，所以为真；对（D）若z1=1，z2=i，则 |z1|=|z2|为真，而，所以为假故选：D题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命 题的真假，只要依据 课本基本概念逐一核 对即可得到正确答案本题考查了复数的模，考查了复数及其共 轭复数的关系，解答的关 键是熟悉课本基本概念，是基本的概念 题2.【答案】 B【解

9、析】解：由，是两个不同的平面，直“l”?“与 相交或平行 ”，“”?“l”，是两个不同的平面，直 线 l?线 l? ，知：，则“l”是“”的必要而不充分条件故选：B“l”?“与 相交或平行 ”，“”?“l”由此能求出 结果本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3.【答案】 C【解析】第5页，共 19页解：如图，AO ，则 AO BC，又 AC BC，BC平面 AOC，则 BCOC，在 RtAOB 中，由已知可得 OB=，则在平面 中，要使OCB 是以 OB 为斜边的直角三角形，则 BC（0

10、，6 ）故选：C由已知画出 图形，可得OCB 是以 OB 为斜边的直角三角形，求出 OB 的距离，则线段 BC 长的范围可求本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思 维能力，是中档题4.【答案】 B【解析】图间直角坐标设解法一：如 所示，建立空系 底面ABC 的中心为 O不妨设 OP=3则 O（0，0，0），P（0，-3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），B（3，-3，0）Q，R，=， =（0，3，6）， =（ ，6，0）， =，=设平面 PDR 的法向量 为=（x，y，z），则，可得，第6页，共 19页可得=，取平面 ABC 的法向量=（0，0，1）则 cos=，取

11、 =arccos同理可得：=arccos=arccos解法二：如图所示，连接 OP，OQ，OR，过点 O 分别作垂线：OEPR，OFPQ，OGQR，垂足分别为 E，F，G，连接 DE，DF，DG设 OD=h则 tan = 同理可得：tan =，tan =由已知可得：OE OGOFtan tan tan ，为锐 角故选：B解法一：如图所示，建立空间直角坐标系设底面 ABC 的中心为 O不妨设则），Q，ROP=3 O（0，0，0），P（0，-3，0），C（0，6，0），D（0，0，6，利用法向量的夹角公式即可得出二面角解法二：如图所示，连接 OP，OQ，OR，过点 O 分别作垂线：OEPR，OFP

12、Q，OGQR，垂足分别为 E，F，G，连接 DE，DF，DG可得tan =tan =，tan =由已知可得：OEOGOF即可得出本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性 质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与 计算能力，属于难题5.【答案】 -5【解析】解：复数（1-2i）（3+i）=（3-2i2）+（i-6i ）=5-5i，所以它的虚部 为 -5第7页，共 19页故答案为：-5根据复数代数形式的运算法则，化简（1-2i）（3+i ）即可本题考查了复数的代数运算 应用问题，是基础题6.【答案】 5【解析】解：由题意，z1=i ，z2=2-i ，=|=|=故答案为：5由已知求得 z1、z2，

13、代入，再由复数代数形式的乘除运算及求模公式计算本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数的代数表示法及其几何意 义，考查复数模的求法，是基 础题7.【答案】 0【解析】解：根据题意，i3520172019 i=i ，i=-i ，=-i ，i =i，则 i+i 3+i5+ +i 2019=（-i+i ）+（-i+i ）=0；故答案为：0题单位 i 的性质可得 i3520172019根据意，由虚数=-i， i=i，=-i，进而相i =ii加即可得答案本题考查复数的计算，关键是掌握 i 的性质，属于基础题 8.【答案】 【解析】解：设圆柱的底面半径 为 r，高为 h，则其侧面展开图是正方形，即 2r

14、=h，它的高与底面直径的比 值是=故答案为：设圆柱的底面半径 r 和高 h，利用侧面展开图是正方形求出 r 与 h 的关系，再第8页，共 19页计算高与底面直径的比本题考查了圆柱的结构特征与 应用问题，是基础题9.【答案】 1【解析】解：复数z 满足 |z+i|+|z-i|=2，则复数 Z 表示的点到（0，1），0（，-1）两点的距离之和 为 2，而（0，1），0（，-1）两点间的距离为 2，设 A 为（0，1），B（0，-1），则 Z 表示的点的集合 为线段 AB ，|z+i+1|的几何意 义为点 Z 到点 C（-1，-1）的距离，分析可得，Z 在点（0，-1）时，|z+i+1|取得最小 值

15、，且其最小值为 1根据题意，分析可得满足|z+i|+|z-i|=2 的点 Z 几何意义为线段 AB ，进而分析|z+i+1|的几何意 义，进而由图示分析可得答案本题考查复数的模的 计算，一般有两种方法， 利用复数的几何意 义，转化为点与点之 间的距离， 设出复数的代数形式，由模的 计算公式进行求解10.【答案】 （ x-2- i）（ x+2+ i）（ x-2+i ）（ x+2- i ）【解析】解：在复数集中因式分解，令 x42，利用求根公式可得： 2=-6x +25=0x=34ix4-6x2+25= x2-3-4ix2-3+4i），（）（3+4i=（2+i23-4i=（2-i2），原式 =（x

16、-2-i ）（x+2+i ）（x-2+i ）（x+2-i ）故答案为：（x-2-i ）（x+2+i ）（x-2+i ）（x+2-i ）利用求根公式及其平方差公式即可得出第9页，共 19页本题考查了求根公式及其平方差公式、因式分解方法，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题11.【答案】 4【解析】解：由，且i 4k=1 =4故答案为：4利用复数代数形式的乘除运算化简结合 i4k=1得答案，本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位 i的性质础题，是基12.【答案】【解析】解：是实系数一元二次方程 x2-（2m-1）x+m2+1=0 的一个虚数根，则 也是实系数一元二次方程 x 2-（2m-1

17、）x+m2+1=0 的一个虚数根，=- （2m-1）2-4（m2+1）0，解得 m22=| |=m +14，解得则则实数 m 的取值范围是故答案为：是实系数一元二次方程 x2-（2m-1）x+m2+1=0 的一个虚数根，可得 也是实系数一元二次方程 x2-（2m-1）x+m2+1=0 的一个虚数根，由 0，22=| |=m +14，解得 m 范围 本题考查了实系数一元二次方程虚数根成对原理及其与判 别式的关系，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题13.【答案】 30【解析】第10 页，共 19页解：圆锥的侧面展开图为半径为 30，弧长为 20的扇形AOB ，最短距离 为 AB 的长扇形的圆心

18、角为=，AB=30故答案为：30作出侧面展开图，则扇形的弦 长为最短距离本题考查了圆锥的结构特征，最短距离求解，将曲面 转化为平面是解 题关键，属于中档 题14.【答案】【解析】解：以A 为原点，在平面 ABC 内过 A作 AC 的垂线为 x 轴，AC 为 y 轴，AA 1为 z 轴，建立空间直角坐标系，过 B 作 BDAC，交AC 于点 D，直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，ABC=120，AB=2 ，BC=CC1=1，AC=，BD=，AD=，A（0，0，0），B1（，1），B（，0），C1（0，1）， =（ ，1）， =（- ， ，1），设异面直线 AB 1 与 BC1 所成角为 ，第

19、11 页，共 19页则 cos=异面直 线 AB 1 与 BC1 所成角的余弦 值为故答案为：以 A 为原点，在平面 ABC 内过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，AC 为 y 轴，AA 1 为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直 线 AB 1 与 BC1 所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形 结合思想，是中档题15.【答案】 （ 1）（ 2）【解析】解：设 m、n 是两条不同的直 线，、是两个不同的平面，（1）若mn，那么 m 与 与 n 与 所成的角相等， n 与 和 n 与 所成的

20、角相等，可得 正确；（2）若mn，m，n，m，n 平移为相交直线，确定一个平面与 、相交使得交线垂直，由面面垂直的定 义可得 ，可得（2）正确；（3）若m，则 m或 m? ，故（3）错误；（4）若m，由线面平行的性 质定理可得 m 平行于过 m 且与 相交的交线，可能 m，故（4）错误 故答案为：（1）（2）在（1）中，由线线 、面面平行和线面所成角定 义可判断；在（2）中，运用线面垂直的判定和性 质，面面垂直的定义即可判断；在（3）中，由面面垂直的性质定理可判断；在（4）中，运用线面平行的性 质定理和面面垂直的性 质定理可判断第12 页，共 19页本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，考查

21、平行和垂直的判定和性 质定理的运用，以及推理能力，属于基 础题16.【答案】【解析】解：连结 AG ，并延长交 BC 于 M ，连结 DM ，如图所示；则 AM 是ABC 的中线， AB=AC ，AM BC，连结 HM ，则 HM 是 AM 在平面 BCD 上的射影；根据三垂 线逆定理，BCHM ，H 是 BCD 的垂心，GM 在 BC 边上的高线 DH 上，即 DM 是 BC 边上的高，DM 是 BC 的垂直平分 线，DB=DC ，AMD 是二面角 A-BC-D 的平面角，AMD=60，=sin60 ，AM=，MH=，在AMH 上作 GNAH ，交MH 于 N，根据三角形平行比例 线段性质，

22、= ，根据三角形重心的性 质，=，MNG MHA ， = ，GN= ，同理，=，MN=?=，NH=MH-MN=-=，第13 页，共 19页在 RtGNH 中根据勾股定理，GH2=GN2+NH 2，GH2=+=GH=故答案为：根据题意，画出图形，结合图形，把 GH 放在三角形中，借助于三角形的 边角关系，即可求出它的大小来本题考查了空间中的两点 间的距离的求法 问题，解题时应画出图形，结合图形，把两点间的距离放在三角形中，利用 边角关系进行解答，是难题17.【答案】 解：（ ）（- i）2 =是一元二次方程mx2+nx+1=0的一1 z=个根，是一元二次方程mx2+nx+1=0 的另一个根，则

23、m=1，得 n=1；（ 2） z1=（ a-2i ） z=（ a-2i）（） =（） +（ 1-） i 是纯虚数，则，即 a=|a+2i|=|=【解析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化 简 z，再由实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解；（2）化简 z1=（a-2i）z，由实部为 0 且虚部不 为 0 求得 a 值，然后利用复数模的 计算公式求解本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与模的求法，是基 础题18.【答案】 解：（ 1）正方体 ABCD -A B CD 中，直线 A B 是异面直线的棱所在直线有：AD ， BC， CD

24、， C D， DD ， CC，共 6 条（ 2） M， N 分别是 AB， BC的中点，以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 为 z 轴，建立空第14 页，共 19页间直角坐标系，则 A（ 1， 0，1）， B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 1， 1），M（ 1， ， ）， N（）， B（ 1， 1，0）， C（ 0，1， 0），=（ -， 0），=（ -1， 0， 0），设异面直线MN 与 BC 所成角的大小为，则 cos= ， =45，异面直线MN 与 BC 所成角的大小为45 【解析】（1）利用列举法能求出直 线 AB是异面直 线的棱所在直 线 （2）M ，

25、N 分别是 AB ，BC的中点，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直 线 MN 与 BC 所成角的大小本题考查异面直线的判断，考果异面直 线所成角的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查推理能力与 计算能力，是中档题19.【答案】 （ 1）解： 侧棱 PD 底面 ABCD ，侧棱 PB 在底面 ABCD 上的射影是DB ，PDB 是侧棱 PB 与底面 ABCD 所成角，PBD=15 ，在 PBD 中，PDB =90，DB =（ m），由 tanPDB= ，得 tan15 = ，解得 PD1.52

26、（ m），立柱 PD 的长约 1.52m；（ 2）证明：由题意知底面 ABCD 是长方形， BCD 是直角三角形，侧棱 PD底面 ABCD， PD DC， PD DB， PD BC，PDC， PDB 是直角三角形，BC DC ， BCPD ， PDDC =D ，BC 平面 PDC ，PC? 平面 PDC， BCPC，PBC 是直角三角形，四面体 PDBC 为鳖臑；（ 3）解： PB 与 CD 是两异面直线，CD AB，则 CD平面 PAB，则两异面直线PB 与 CD 的距离等于 CD 到平面PAB 的距离也即 D 到平面PAB 的距离，等于D 到直线 PA的距离，PD =2， AD=1，PA=

27、 ，则 D到 PA 的距离为第15 页，共 19页线段 PB 上动点 E 到 CD 距离的最小值为则 ECD 面积的最小值为【解析】（1）推导出侧棱 PB 在底面 ABCD 上的射影是 DB ，从而PDB 是侧棱 PB 与底面 ABCD 所成角，PBD=15，由此能求出立柱 PD 的长；（2）底面ABCD 是长方形，从而BCD 是直角三角形，推导出 PDDC， PDDB ，PDBC，从而PDC，PDB 是直角三角形，由 BC平面 PDC，得 PBC 是直角三角形，由此能 证明四面体 PDBC 为鳖臑；（3）利用转化法求出异面直 线 CD 与 PB 的距离，即可求得 ECD 面积的最小值本题考查

28、空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查异面直线距离的求法，考查推理能力与 计算能力，是中档题20.【答案】 （ ）证明：以点A 为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（ 0，0， 0）， B（ 0，0， 2）， C（ 1，0，1），B1（ 0， 2，2）， C1（1，2，1）， E（0，1， 0）则，而=0所以 B1C1CE；（ ）解：，设平面 B1CE 的法向量为，则，即，取 z=1，得 x=-3 ， y=-2 所以由（ ）知 B1C1 CE，又 CC1B1C1，所以 B1C1平面 CEC1，故为平面 CEC 1 的一个法向量，于是=第16 页，共 19页从而=所以二面角

29、B1-CE-C1 的正弦值为（ ）解：，设01，有取为平面 ADD 1A1 的一个法向量，设 为直线 AM 与平面 ADD 1 A1 所成的角，则=于是解得所以所以线段AM 的长为【解析】（）由题意可知，AD ，AB ，AA 1 两两互相垂直，以 a 为坐标原点建立空 间直角坐标标标后，求出和，由得到 B1C1CE；系， 出点的坐（）求出平面B1CE 和平面 CEC1 的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角 B1-CE-C1 的正弦值可求；（）利用共线向量基本定理把 M 的坐标用 E 和 C1 的坐标及待求系数 表示，求出平面 ADD 1A

30、1 的一个法向量，利用向量求 线面角的公式求出直 线 AM 与平面 ADD 1A 1 所成角的正弦 值，代入求出 的值，则线段 AM 的长可求本题考查 了直线 与平面垂直的性 质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关 键是建立正确的空 间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求 线面角及面面角的正弦 值和余弦值公式，是中档题21.【答案】 解：（1）设z=a+bi，（， ），则Rez=a，a b R若 a0，则 f（ z） =z，由已知条件可得-a-3bi=-2+9 i，第17 页，共 19页a， bR，即： -a=-2 ， -3b=9 ；解得： a=2， b=-3 ，z=2-

31、3 i ，若 a 0，则 f（ z） =-z，由已知条件可得-7a-5bi =-2+9 i，a， bR， -7a=-2 ， -5b=9；解得 a= （舍去）， b=- ，综上可得z=2-3i ，（ 2）：设 z=a+bi，（ a，bR），则 Rez=a， a0，集合 P1= z|f（ z）?-2i?f（z）+2i?-12=0 ，zC ，解得：（ a+bi ）（ a-bi）-2i（ a+bi）+2 i （a-bi ）-12=0 ；即： a2+b2+4b-12=0，且 a0a2+（b+2）2=16 ；则有（ a，b）是表示在以（0，-2）为圆心，半径为4 的右侧圆周上的点；P2= | =iz， z

32、P1 ，解得： =iz=-b+ai，复平面内P2 对应的点集为：（-b， a）有（ a， b）是表示在以（0，-2）为圆心，半径为4 的圆周上的点；所以：（ -b， a）与（ a， b）关于 y=-x 对称的（ -b， a）是表示在以（ 2， 0）为圆心，半径为 4 的圆周上的点； a0 故对称轴为： x=2；（ 3）设存在 uC 满足题设要求，令an=Rezn，bn=Imzn，（ nN* ），易的对一切nN* 均有 an0，22n+1） bn|；（），且 an+1=|an+an=+1- bn |； |b n+1|=|（ 2a（ i）若 u- i ，i ，则 zn 显然为常数数列，故 u=i 满足题设要求，（ii）若u- i，in